1、1第 2 课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用1掌握极坐标系中圆锥曲线的方程2会求简单的圆锥曲线的极坐标方程3感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一基础初探圆锥曲线的统一极坐标方程 ，(*)ep1 ecos 其中 p 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距当 0 e1 时，方程 表示椭圆；ep1 ecos 当 e1 时，方程(*)为 ，表示抛物线；p1 cos 当 e1 时，方程 表示双曲线，其中 R.ep1 ecos 思考探究1用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】 应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为 1 时，cos 的系数的绝对值才表
2、示曲线的离心率如果该常数不是 1，一定要将其转化为 1，再去判别，例如方程 的离心率不是 1，其不表示抛物线，将方程变形为42 cos ，则 e ，表示椭圆4121 12cos 122我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线质疑手记2预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_疑问 4：_解惑：_椭圆极坐标方程的应用已知 A、 B 为
3、椭圆 1( a b0)上两点， OA OB(O 为原点)x2a2 y2b2求证： 为定值1OA2 1OB2【自主解答】 以 O 为极点， x 轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x cos ， y sin ，代入 1 中得 .设 A( 1， )， Bx2a2 y2b2 1 2 cos2a2 sin2b2. (为定值)( 2， 2) 1OA2 1OB2 1 21 1 2 1a2 1b2再练一题1本例条件不变，试求 AOB 面积的最大值和最小值【解】 由例题解析得， S AOB 1 2，12而 1 ，aba2sin2 b2cos2 2 ，aba2cos2 b2sin2 S AOB 12 a
4、2b2 a2sin2 b2cos2 a2cos2 b2sin2 12 a2b2 b2 c2sin2 a2 c2sin2 312a2b2 c4(sin2 12)2 a2b2 14c4当 sin2 1 时，( S AOB)max ab；12当 sin2 时，( S AOB)min .12 a2b2a2 b2双曲线极坐标方程的应用过双曲线 1 的右焦点，引倾斜角为 的直线，交双曲线于x24 y25 3A、 B 两点，求 AB.【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出 A、 B 两点极坐标，进而求 AB.【自主解答】 双曲线 1 中， a2， b ， c3，所以 e ， p .x24 y25 5 32
5、 b2c 53取双曲线的右焦点为极点， x 轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为 .ep1 ecos 代入数据并化简，得 .52 3cos 设 A ， B ，于是( 1， 3) ( 2， 3)AB| 1 2| .|52 3cos 352 3cos( 3)| 807应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便椭圆和抛物线中，该弦长都表示为 1 2，而双曲线中，弦长的一般形式是| 1 2|.再练一题2已知双曲线的极坐标方程是 ，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线94 5cos 方程【解】 双曲线方程 可以化为 ，所以 e ， p .94 5cos 54951 54cos
6、54 954设 c5 r， a4 r，则 b2 c2 a29 r2.由 p ，得 r1.所以 2a8,2 b6.b2c 95所以双曲线的实轴长为 8，虚轴长为 6.准线方程 cos p，即 cos ；或 cos p2 ，即 cos 95 a2c .415抛物线极坐标的应用已知抛物线 y24 x 的焦点为 F.(1)以 F 为极点， x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；(2)过 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若 AB16，运用抛物线的极坐标方程，求直线 l 的倾斜角【自主解答】 (1)极坐标方程为 .21 cos (2)设 A( 1， )， B( 2， )AB 1
7、 2 21 cos 21 cos 16，即 sin2 得 sin .4sin2 14 12故 l 的倾斜角为 或 . 6 56再练一题3平面直角坐标系中，有一定点 F(2,0)和一条定直线 l： x2.求与定点 F 的距离和定直线 l 的距离的比等于常数 的点的轨迹的极坐标方程12【导学号：98990015】【解】 过定点 F 作定直线 l 的垂线，垂足为 K，以 F 为极点， FK 的反向延长线 Fx 为极轴，建立极坐标系由题意，设所求极坐标方程为 ，ep1 ecos 定点 F(2,0)，定直线 l： x2， p 为 F 点到直线 l 的距离，为 2(2)4.又常数 e，12所求点的轨迹的极
8、坐标方程为 ，即 .ep1 ecos 1241 12cos 42 cos 5真题链接赏析(教材第 33 页习题 4.2 第 10 题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为 439 km 和 2 384 km.若地球半径取 6 378 km，试写出卫星运行轨道的极坐标方程已知双曲线的极坐标方程为 ，过极点作直线与它交于31 2cos A， B 两点，且 AB6，求直线 AB 的极坐标方程【命题意图】 本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程【解】 设直线 AB 的极坐标方程为 1， A( 1， 1)， B( 2， 1)则
9、 1 ，31 2cos 1 2 .31 2cos 1 31 2cos 1AB| 1 2| |31 2cos 1 31 2cos 1| |6，61 4cos2 1 1.11 4cos2 1cos 10 或 cos 1 .22故直线 AB 的极坐标方程为 或 或 . 2 4 341抛物线 ( 0)的准线方程为_41 cos 【答案】 cos 42设椭圆的极坐标方程是 ，则 的取值范围是_42 cos 【导学号：98990016】【解析】 ，42 cos 21 2cos 所以离心率 e ， 26由 0 1，得 (0,2) 2【答案】 (0,2)3椭圆 的焦距是_42 cos 【答案】 834双曲线 的焦点到准线的距离为_42 3cos 【答案】 43我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
