1、- 1 -课时跟踪检测（四十九） 直线与圆、圆与圆的位置关系一、题点全面练1圆 x2 y22 x4 y0 与直线 2tx y22 t0( tR)的位置关系为( )A相离 B相切C相交 D以上都有可能解析：选 C 直线 2tx y22 t0 恒过点(1，2)，1 2(2) 2214(2)50，点(1，2)在圆 x2 y22 x4 y0 内部，直线 2tx y22 t0 与圆 x2 y22 x4 y0 相交2(2018河南八市质检)过点(3,1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A2 x y50 B.2x y70C x2 y50 D x2 y70解析：选 B
2、由题意，过点(3,1)作圆( x1) 2 y2 r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得 r25，圆的方程为( x1) 2 y25，则过点(3,1)的切线方程为(x1)(31) y(10)5，即 2x y70.3(2019六安模拟)已知过原点的直线 l与圆 C： x2 y26 x50 相交于不同的两点A， B，且线段 AB的中点坐标为 D(2， )，则弦长为( )2A2 B.3C4 D5解析：选 A 将圆 C： x2 y26 x50，整理，得其标准方程为( x3) 2 y24，圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为 2.线段 AB的中点坐标为 D(2， )，2| CD| ，| AB|
3、2 2.故选 A.1 2 3 4 34已知圆 O1的方程为 x2( y1) 26，圆 O2的圆心坐标为(2,1)若两圆相交于 A， B两点，且| AB|4，则圆 O2的方程为( )A( x2) 2( y1) 26B( x2) 2( y1) 222C( x2) 2( y1) 26 或( x2) 2( y1) 222D( x2) 2( y1) 236 或( x2) 2( y1) 232解析：选 C 设圆 O2的方程为( x2) 2( y1) 2 r2(r0)因为圆 O1的方程为x2( y1) 26，所以直线 AB的方程为 4x4 y r2100.圆心 O1到直线 AB的距离 d，由 d22 26，
4、得 2，所以 r2148， r26 或 22.故圆 O2的方|r2 14|42 r2 14 232程为( x2) 2( y1) 26 或( x2) 2( y1) 222.- 2 -5(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP面积的取值范围是( )A2,6 B.4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析：选 A 设圆( x2) 2 y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P到直线 x y20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)， r ，所以圆心 C到直线 x y20 的距离为 2 ，2|2 2|2 2可得 dmax
5、2 r3 ， dmin2 r .2 2 2 2由已知条件可得| AB|2 ，2所以 ABP面积的最大值为 |AB|dmax6，12 ABP面积的最小值为 |AB|dmin2.12综上， ABP面积的取值范围是2,66若直线 l： y kx1 被圆 C： x2 y22 x30 截得的弦最短，则直线 l的方程是_解析：依题意，直线 l： y kx1 过定点 P(0,1)圆 C： x2 y22 x30 化为标准方程为( x1) 2 y24.故圆心为 C(1,0)，半径为 r2.则易知定点 P(0,1)在圆内由圆的性质可知当 PC l时，直线 l： y kx1 被圆 C： x2 y22 x30 截得的
6、弦最短因为 kPC1，所以直线 l的斜率 k1，即直线 l的方程是 x y10.1 00 1答案： x y107已知圆 C过点(1,0)，且圆心在 x轴的正半轴上，直线 l： y x1 被圆 C所截得的弦长为 2 ，则过圆心且与直线 l垂直的直线的方程为_2解析：由题意，设所求的直线方程为 x y m0，圆心坐标为( a,0)(a0)，则由题意知 22( a1) 2，(|a 1|2 )解得 a3 或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以 30 m0，解得 m3，故所求的直线方程为 x y30.答案： x y308已知直线 x y a0 与圆 C： x2 y2
7、2 x4 y40 相交于 A， B两点，且 AC BC，则实数 a的值为_- 3 -解析：由 x2 y22 x4 y40 得( x1) 2( y2) 29，所以圆 C的圆心坐标为 C(1,2)，半径为 3，由 AC BC，可知 ABC是直角边长为 3的等腰直角三角形，故可得圆心 C到直线 x y a0 的距离为 ，322由点到直线的距离公式可得 ，| 1 2 a|2 322解得 a0 或 a6.答案：0 或 69已知圆 C经过点 A(2，1)，与直线 x y1 相切，且圆心在直线 y2 x上(1)求圆 C的方程；(2)已知直线 l经过原点，并且被圆 C截得的弦长为 2，求直线 l的方程解：(1
8、)设圆心的坐标为 C(a，2 a)，则 . a 2 2 2a 1 2|a 2a 1|2化简，得 a22 a10，解得 a1. C(1，2)，半径 r| AC| . 1 2 2 2 1 2 2圆 C的方程为( x1) 2( y2) 22.(2)当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x0，此时直线 l被圆 C截得的弦长为 2，满足条件当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y kx，由题意得 1，解得 k|k 2|1 k2，34直线 l的方程为 y x，即 3x4 y0.34综上所述，直线 l的方程为 x0 或 3x4 y0.10已知以点 C 为圆心的圆与 x轴交于点 O， A，与 y轴
9、交于点 O， B，其中 O为坐(t，2t)标原点(1)求证： OAB的面积为定值；(2)设直线 y2 x4 与圆 C交于点 M， N，若| OM| ON|，求圆 C的方程解：(1)证明：由题意知圆 C过原点 O，半径 r| OC|.| OC|2 t2 ，4t2设圆 C的方程为( x t)2 2 t2 .(y2t) 4t2- 4 -令 y0，得 x10， x22 t，则 A(2t,0)令 x0，得 y10， y2 ，则 B .4t (0， 4t) S OAB |OA|OB| |2t|4，12 12 |4t|即 OAB的面积为定值(2)| OM| ON|，| CM| CN|， OC垂直平分线段 M
10、N. kMN2， kOC ，直线 OC的方程为 y x.12 12 t，解得 t2 或 t2.2t 12当 t2 时，圆心 C的坐标为(2,1)， r| OC| ，5此时圆心 C到直线 y2 x4 的距离 d ，15 5圆 C与直线 y2 x4 相交于两点当 t2 时，圆心 C的坐标为(2，1)， r| OC| ，5此时圆心 C到直线 y2 x4 的距离 d ，95 5圆 C与直线 y2 x4 不相交圆 C的方程为( x2) 2( y1) 25.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1设圆 C1， C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离| C1C2|等于( )A4 B.4 2
11、C8 D8 2解析：选 C 因为圆 C1， C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为( a， a)，则| a| ，解得 a52 或 a52 ，可 a 4 2 a 1 2 2 2取 C1(52 ，52 )， C2(52 ，52 )，故| C1C2| 8，故选 C.2 2 2 2 42 2 42 22已知圆 C：( x )2( y1) 21 和两点 A( t,0)， B(t,0)(t0)，若圆 C上存在点3P，使得 APB90，则实数 t的最小值为( )A4 B.3C2 D1解析：选 D 由 APB90得，点 P在圆 x2 y2 t2上，因此由两圆有交点得|t1
12、| OC| t1| t1|2 t11 t3，即 t的最小值为 1.3已知 ABC的三个顶点的坐标分别为 A(2,3)， B(2，1)， C(6，1)，以原点- 5 -为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )A x2 y21 B.x2 y24C x2 y2 D x2 y21 或 x2 y237165解析：选 D 如图所示， A(2,3)， B(2，1)， C(6，1)过 A， C的直线方程为 ，化为一般式为 x2 y40.点y 13 1 x 6 2 6O到直线 x2 y40 的距离 d 1，| 4|5 455又| OA| ，| OB| ，| OC| 2 2 32 13 2 2 1
13、2 5 .62 1 2 37以原点为圆心的圆若与 ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，圆的半径分别为 1或 ，则圆的方程为 x2 y21 或 x2 y237.374过点 A(3,5)作圆 C： x2 y22 x4 y10 的切线，则切线的方程为_解析：圆 C的标准方程为( x1) 2( y2) 24，其圆心为(1,2)，| CA| 2，点 A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线 3 1 2 5 2 2 13与圆相切，即切线方程为 x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为 y5 k(x3)，即 kx y53 k0.又圆心为(1,2)，半径 r2，而圆心到切线的距
14、离 d 2，即|3 2k|k2 1|32 k|2 ， k ，故所求切线方程为 5x12 y450 或 x30.k2 1512答案：5 x12 y450 或 x305已知圆 M：( x1) 2( y1) 24，直线 l： x y60， A为直线 l上一点，若圆 M上存在两点 B， C，使得 BAC60，则点 A的横坐标的取值范围为_解析：由题意知，过点 A的两直线与圆 M相切时，夹角最大，当 BAC60时，|MA| 4.设 A(x，6 x)，所以( x1) 2(6 x1) 216，解得 x1|MB|sin BAM 2sin 30或 x5，因此点 A的横坐标的取值范围为1,5答案：1,5(二)难点
15、专练适情自主选6已知圆 H被直线 x y10， x y30 分成面积相等的四部分，且截 x轴所得线段的长为 2.(1)求圆 H的方程；(2)若存在过点 P(a,0)的直线与圆 H相交于 M， N两点，且| PM| MN|，求实数 a的取值范围- 6 -解：(1)设圆 H的方程为( x m)2( y n)2 r2(r0)，因为圆 H被直线 x y10， x y30 分成面积相等的四部分，所以圆心 H(m， n)一定是两互相垂直的直线 x y10， x y30 的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以 m2， n1.又圆 H截 x轴所得线段的长为 2，所以 r21 2 n22.所以圆 H的方程为(
16、x2) 2( y1) 22.(2)设 N(x0， y0)，由题意易知点 M是 PN的中点，所以 M .(x0 a2 ， y02)因为 M， N两点均在圆 H上，所以( x02) 2( y01) 22，2 22，(x0 a2 2) (y02 1)即( x0 a4) 2( y02) 28，设圆 I：( x a4) 2( y2) 28，由知圆 H与圆 I有公共点，从而 2 | HI|2 ，2 2 2 2即 3 ，2 a 2 2 1 2 2 2整理可得 2 a24 a518，解得 2 a1 或 3 a2 ，17 17所以实数 a的取值范围是2 ，13,2 17 177已知圆 C经过点 A ， B ，直
17、线 x0 平分圆 C，直线 l与圆 C相切，(74， 174) ( 318， 338)与圆 C1： x2 y21 相交于 P，Q 两点，且满足 OP OQ.(1)求圆 C的方程；(2)求直线 l的方程解：(1)依题意知圆心 C在 y轴上，可设圆心 C的坐标为(0， b)，圆 C的方程为x2( y b)2 r2(r0)因为圆 C经过 A， B两点，所以 2 2 2 2，(74) (174 b) ( 318) (338 b)即 b b2 b b2，解得 b4.716 28916 172 3164 1 08964 334则 r2 2 2 ，(74) (174 4) 12所以圆 C的方程为 x2( y
18、4) 2 .12- 7 -(2)当直线 l的斜率不存在时，由 l与 C相切得 l的方程为 x ，此时直线 l与 C122交于 P，Q 两点，不妨设 P点在 Q点的上方，则 P ，Q 或 P ，Q(22， 22) (22， 22) ( 22， 22)，则 0，所以 OP OQ，满足题意(22， 22) OP OQ 当直线 l的斜率存在时，易知其斜率不为 0，设直线 l的方程为 y kx m(k0， m0)， P(x1， y1)，Q( x2， y2)，将直线 l的方程与圆 C1的方程联立，得Error!消去 y，整理得(1 k2)x22 kmx m210，则 4 k2m24(1 k2)(m21)4
19、( k2 m21)0，即 1 k2 m2，则 x1 x2 ， x1x2 ，2km1 k2 m2 11 k2所以 y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 m2k2 m2 11 k2 2k2m21 k2，m2 k21 k2又 OP OQ，所以 0，OP OQ 即 x1x2 y1y2 0，m2 11 k2 m2 k21 k2故 2m21 k2，满足 0，符合题意因为直线 l： y kx m与圆 C： x2( y4) 2 相切，12所以圆心 C(0,4)到直线 l的距离 d ，|m 4|1 k2 22即 m28 m16 ，故 m28 m16 m2，得 m2，1 k22故 1 k28，得 k .7故直线 l的方程为 y x2.7综上，直线 l的方程为 x 或 y x2.22 7- 8 -
