1、- 1 -陕西省城固县第一中学 2019 届高三数学上学期第一次月考试题 理（A 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D.2、已知复数1zi，则 z（ ）A. B. 2C. 32D. 23、在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，若 sin3iAB， 5c，且5cos6C，则 a（ ）A.2 B.32C.3 D.44、圆 C的圆心在 y轴正半轴上，且与 x轴相切，被双曲线213yx的渐近线截得的弦长为 3，则圆 的方程为（ ）A. 221xB. 223yC.
2、yD. 224x5、已知 ，则（ ）A. B. C. D. 6、已知向量 a， b的夹角为 60，且 2a，27，则 （ ）A. B. 3 C. D. 37、如果执行下面的程序框图，那么输出的 S（ ）A.2548 B.-2550C.2550 D.-25528、某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三- 2 -角形的面积和是（ ）A2 B4 C 52 D 5249、九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8步和 15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
3、（ ）A. 310B. 320C. 30D. 32010、将函数sin4fxx的图象向右平移 （ ）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线 4x对称，则 的最小值为（ ）A. 34B. C. 8D. 3811、由半椭圆12byax（ x0）与半椭圆12cxby（ 0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中 2c， a0由右椭圆12byax（ 0x）的焦点 0F和左椭圆12cxby（ 0）的焦点 F， 确定的 12叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆12byax（ 0x）的离心率的取值范围为（ ）A)1,3(B)1,3(C
4、),3(D)3,(12、已知函数 f（x）=ax 33x 2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是( )A（2，+） B（1，+） C（，2） D（，1）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知实数错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。则错误！未找到引用源。的取值范围是 .14、（1x） 6（1+x） 4的展开式中 x2的系数是 15、已知函数 ()sin()0,)fxA的部分图像如- 3 -图所示，则曲线 ()fx在 0,()f 处的切线方程为 16、在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，
5、每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 三、解答题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17、已知在等差数列 na中， 2564,1a（1）求数列 的通项公式；（2）设2nab，求 1210b 18、微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用
6、微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：微信控 非微信控 合计男性 26 24 50女性 30 20 50合计 56 44 100（1）记“微信控”的“理性指数”为 5，“非微信控”的“理性指数”为 6，根据以上数据，求全体被调查用户的“理性指数”的平均数。（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人，并从选出的 5 人中再随机抽取3 人每人赠送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望19.如图，三棱锥 P- A
7、BC 中，PC平面 ABC，PC=3，ACB= 。D,E- 4 -分别为线段 AB,BC 上的点，且 CD=DE= ,CE=2EB=2 。(1)证明：DE平面 PCD；(2)求二面角 A-PD-C 的余弦值。20、已知椭圆 （ab0）上的动点 P 到两个焦点的距离之和为 6，且到右焦点距离的最小值为 （）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l 和椭圆 C 交于 M、N 两点，A 为椭圆的右顶点， ，求AMN 面积的最大值21、已知函数2flnx2ax,aR(1)当 a=1 时，求函数 的单调区间；(2)若 1,x时，函数 fx的最小值为 0，求 a 的取值范围。（二）选考题：共 10 分。请考生在
8、第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22、在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)在极坐标系 (与直tyx21角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 )中，曲线 C 的方程为2sin4cos()求曲线 C 的直角坐标方程；()设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为(1,1)，求 PAB的值23、已知函数 21fxxa.（1）当 a时，解不等式 f；（2）当 ,0x时， x有解，求 的取值范围.- 5 - 6 -城固一中 2019 届高三第一次月考 （理科数学 A 卷）参考答案一、
9、单项选择1、C 2、B 3、C 4、A 5、A 6、D 7、A 8、C 9、D 10、D11、B 12、C二、填空题13、-5,7 14、3 15、 6320xy16、84 三、解答题17、（1） 2na； （2） 1.解析：（1）由题意可知 1495ad， 13,ad， 2na；（2）2nanb，102310110 22102 考点：等差数列的基本概念；分组求和法.18、解：（1）由列表可知，4.51065x即为所求全体被调查用户的“理性指数”的平均数。4 分（2）依题意知，所抽取的 5 位女性中“微信控”有 3 人，“非微信控”有 2 人。 2 分X 的所有可能取值为 1，2，3；且 P（
10、X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，X 的分布列为：X 1 2 3P（X）（注：每正确一个概率给 1 分，分布列全对给 4 分。）4 分X 的数学期望为 EX=1 +2 +3 = 2 分19、【答案】（1）见解析；（2）- 7 -解析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由 平面 ，可知 ，再分析已知由 得 ，这样与 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于 ， 平面 ，因此 两两垂直，可以他们为 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面 和平面 的法向量 ，向量
11、 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论试题解析：（1）证明：由 PC 平面 ABC，DE 平面，故 PC DE由 CE，CD=DE 得 为等腰直角三角形，故 CD DE由 PC CD=C，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故 DE 平面 PCD（2）解：由（）知， CDE 为等腰直角三角形， DCE ，如（）图，过点作 DF 垂直 CE 于，易知 DFFCEF，又已知 EB，故 FB2.由 ACB 得 DF AC， ，故 AC DF 以为坐标原点，分别以 的方程为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则（0,0,0,），（0,0,3），（ ,0,0）,（0,2,0），（
12、1,1,0），设平面 的法向量 ， 由 ， ，得 .- 8 -由（1）可知 DE 平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 可取为 ,即 .从而法向量 ， 的夹角的余弦值为 ，故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为 .20、【答案】（1）由已知得：2a=6a=3 ， ，b=1椭圆C的方程为：（2）设l AM：y=k（x3）不失一般性，设k0 ，则l AN：由点A（3，0）在AM上，设M（x 1，y 1） ）用 替换k得： =当且仅当64k 2=9（k 2+1） 2，即： 成立 - 9 -21、【答案】(1)1() 2+2fx 的 单 调 递 增 区 间 为 ： （ 0， ） 和 （ ， ） ；单
13、 调 递 减 区 间 为 ： （ ， ） 。(2) ，试题分析：（1）15fx，通过导函数的正负确定。（2）2fax，对字母 a 分类讨论研究函数 fx的单调性，从而确定函数的最小值，得到结果.试题解析：()当 a1时，215flnxx，定义域为：x0.2/ 5()2()fx,/00;12.fx或 时 ，时 ， 1() 2+2fx的 单 调 递 增 区 间 为 ： （ 0， ） 和 （ ， ） ；单 调 递 减 区 间 为 ： （ ， ） 。()21f2axxa当 a0时，1f0x，所以函数在 ， 上为减函数，而 f10，故此时不符合题意；当 时,任意 ， 都有 f，所以函数在 1 ， 上为减
14、函数，而 f，故此时不符合题意；当 0a2时，由 f0x，得：12或2x1aa； ，时， f0x，所以函数在 1 ， 上为减函数，而 f，故此时不符合题意；当 a2时，1f2axx此时函数在 1 ， 上为增函数，所以 f0，即函数的最小值为 0，符合题意，综上 a 的取值范围是 ， .- 10 -22、【答案】 (2)4yx； ( )6.解析：( )曲线 C 的方程为2sincos，即2in4cos.把 sin,coyx代入上式可得 yx，曲线 C 的直角坐标方程为24( )直线 l 经过点 1(0Pt， 时 )，把直线 l 的参数方程2 (1xty为参数 )代入抛物线方程整理得得：260tt
15、，设 A、B 两点对应的参数分别为 12t， ，则 12t， 126t211()46Pttt23、【答案】(1) |x；(2) 3,.解析：（1）当 a时，1,2213, 1xfxx，当 2x时， 1x，解得 1x，所以 2x；当 时， 32，解得 ，所以1；当 x时， ，无解，综上所述，不等式 1fx的解集为 |x.（2）当 ,0时， 有解， 2a有解 2xax有解3xa有解，因为 ，所以 1x，所以 ，即实数 a的取值范围是 3,1.- 11 -点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
