1、- 1 -陕西省城固县第一中学 2019 届高三数学上学期第一次月考试题 理（B 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 ，集合 ,则 （ ）A. B. C. D.2.复数 i1等于( )A. B.i C. 1D. i3.在 中，三个角 A,B,C 对应的三边分别是 a,b,c，若 ,则角 A 等于（ ）A. B. C. D. 4.双曲线2yx-148的渐近线方程是（）A. B. 2yxC. 2yx D. 5.已知24.0,1log6lcba，则（ ）A. B. C. D. 6.已知向量 a， b的夹角为
2、 60，且 2a，27，则 （ ）A. B. 3 C.2 D.37.如果执行下面的程序框图，那么输出的 S（ ）A.2550 B.-2550C. 2548 D.-2552- 2 -8.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A2 B.4 C 52D 5249.九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8步和 1步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A. 310B. 320C. 310D. 32010.将函数sin4fx的图象向右平
3、移 （ ）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线 4x对称，则 的最小值为（ ）A. 34B. 38C. 2D. 811.由半椭圆12byax（ x0）与半椭圆12cxby（ 0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中 c， a0由右椭圆 2bya（0x）的焦点 0F和左椭圆12xby（ ）的焦点 1F， 2确定的 12叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆1bya（ x）的离心率的取值范围为（ ）A ),3(B),32(C)1,3(D)3,0(12.已知函数 f（x）=ax 33x 2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0
4、，且 x00，则 a 的取值范围是( )A（，2） B（，1） C（2，+）D（1，+）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。- 3 -13.已知实数 xy， 满足203 ， ， ，则 zxy的取值范围是 .14、（1x） 6（1+x） 4的展开式中 x2的系数是 15、已知函数 ()sin()0,)fA的部分图像如图所示，则 x的解析式为 16、在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 三、解答题：共 70 分。解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）已知在等差数列 na中， 2564,1a（1）求数列 na的通项公式；（2）设2b，求 1210b 18.（12 分）如图，三棱锥 P- ABC 中，PC平面 ABC，PC=3，ACB= 。DE 分别为线段2AB,BC 上的点，且 CD=DE= ,CE=2EB=2 。2(1)证明：DE平面 PCD；(2)求二面角 A-PD-C 的余弦值。19.（12 分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图
6、片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：- 4 -微信控 非微信控 合计男性 26 24 50女性 30 20 50合计 56 44 100（1）记“微信控”的“理性指数”为 5，“非微信控”的“理性指数”为 6，根据以上数据，求全体被调查用户的“理性指数”的平均数。（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人，并从选出的 5 人中再随机抽取 3 人每人赠
7、送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望20.已知椭圆 （ab0）上的动点 P 到两个焦点的距离之和为 6，且到右焦12yxC：点距离的最小值为 3（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l 和椭圆 C 交于 M、N 两点，A 为椭圆的右顶点， ，求AMN 面积的最大值21.已知函数Raxxaxf ,22ln)(1)当 a=1 时，求函数 在点（1， )处的切线方程；)(f(2)若 时，函数 的最小值为 0，求 a 的取值范围。,1xxf（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.
8、在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)在极坐标系（与直角tyx21- 5 -坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C 的方程为 cos4sin2()求曲线 C 的直角坐标方程；()设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为(1,1)，求 的值|PBA23.已知函数 .|12|)(axxf（1）当 a=1 时，解不等式 ；)(f（2）当 时， 有解，求 的取值范围.)0,(xx- 6 -城固一中 2019 届高三第一次月考 （理科数学卷）参考答案一、单项选择1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、D
9、 7、C 8、C 9、D10、B 11、A 12、A二、填空题13、 -5,7 14、 -3 15、 16、84 三、解答题17、（1） ；（2） .解析：（1）由题意可知 ， ， ；（2） ，18、（1）见解析；（2）解析：（1）证明：由 PC 平面 ABC，DE 平面，故 PC DE由 CE，CD=DE 得 为等腰直角三角形，故 CD DE由 PC CD=C，DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线，故 DE 平面 PCD（2）解：由（）知， CDE 为等腰直角三角形， DCE ，如（）图，过点作 DF 垂直 CE 于，易知 DFFCEF，又已知 EB，故 FB2.由 ACB 得 DF A
10、C， ，故 AC DF 以为坐标原点，分别以 的方程为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则（0,0,0,），（0,0,3），（ ,0,0）,（0,2,0），（1,1,0），- 7 -设平面 的法向量 ，由 ， ，得 .由（1）可知 DE 平面 PCD，故平面 PCD 的法向量 可取为 ,即 .从而法向量 ， 的夹角的余弦值为，故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为 .19、【答案】解：（1）由列表可知， 即为所求全体被调查用户的“理性指数”的平均数。4 分（2）依题意知，所抽取的 5 位女性中“微信控”有 3 人，“非微信控”有 2 人。 2 分X 的所有可能取值为 1，2，
11、3； 且 P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ， X 的分布列为：X 1 2 3P（X）（注：每正确一个概率给 1 分，分布列全对给 4 分。）4 分X 的数学期望为 EX=1 +2 +3 = 2 分20、【答案】（1）由已知得：2a=6a=3 ， ，b=1- 8 -椭圆C的方程为：（2）设l AM：y=k（x3）不失一般性，设k0 ，则 l AN：由点A（3，0）在AM上，设M（x 1，y 1） ）用 替换k得： = =当且仅当64k 2=9（k 2+1） 2，即： 成立 21、【答案】(1) (2) 试题解析：()当 时， ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为
12、，即 .() 当 时， ，所以函数在 上为减函数，而 ，故此时不符合题意；当 时,任意 都有 ，所以函数在 上为减函数，而 ，故此时不符合题意；- 9 -当 时，由 ，得： 或 时， ，所以函数在 上为减函数，而 ，故此时不符合题意；当 时，此时函数在 上为增函数，所以 ，即函数的最小值为 0，符合题意，综上 a 的取值范围是 .22、【答案】 ； . 曲线 C 的方程为 ，即把 代入上式可得 ，曲线 C 的直角坐标方程为 直线 l 经过点 时 ，把直线 l 的参数方程 为参数 代入抛物线方程整理得得： ，设 A、B 两点对应的参数分别为 ，则 ， 23、【答案】(1) ；(2) .（1）当 时， ，当 时， ，解得 ，所以 ；当 时， ，解得 ，所以 ；当 时， ，无解，- 10 -综上所述，不等式 的解集为 .（2）当 时， 有解， 有解 有解有解，因为 ，所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
