1、12.3.2 双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的几何性质(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点) 3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形范围 x a 或 x a y a 或 y a对称性 对称轴： x 轴， y 轴，对称中心：原点 O顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a)离心率 e ca渐近线 y xba y xab2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离
2、心率 e .23离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线 1( a0， b0)为例x2a2 y2b2e ，故当 的值越大，渐近线 y x 的斜率越大，双曲线的开口ca a2 b2a 1 b2a2 ba ba越大， e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大基础自测1判断正误：(1)等轴双曲线的离心率是 .( )2(2)方程 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x.( )y2a2 x2b2 ba(3)离心率越大，双曲线 1 的渐近线斜率绝对值越大( )x2a2 y2b22【解析】 (1).因为 a b，所以 c a，所以 e .2ca 2(2).由 1，得
3、 y x，所以渐近线方程为 y x.y2a2 x2b2 ab ab(3).由 (e1)，所以 e 越大，渐近线 y x 斜率的绝对值越ba c2 a2a e2 1 ba大【答案】 (1) (2) (3)2双曲线 x2 1 的渐近线方程为_，离心率 e_. y23【导学号：95902117】【解析】 a1， b ，渐近线方程为 y x，3 3离心率 e 2.ca 1 31【答案】 y x 23合 作 探 究攻 重 难由双曲线的标准方程求几何性质求双曲线 nx2 my2 mn(m0， n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程思路探究 化 为 标 准方 程 形 式 求 出
4、a、 b、 c 得 双 曲 线 的几 何 性 质【自主解答】 把方程 nx2 my2 mn(m0， n0)，化为标准方程 1( m0， n0)，x2m y2n由此可知，实半轴长 a ，虚半轴长 b ， c ，m n m n焦点坐标( ，0)，( ，0)，离心率 e .m n m nca m nm 1 nm顶点坐标为( ，0)，( ，0)渐近线的方程为 y x x.m mnm mnm规律方法 1由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a、 b 的值(3)由 c2 a2 b2求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质2(1
5、)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆3a2 b2 c2，而对双曲线则是 c2 a2 b2；对椭圆 e ，对双曲线则是 e ca 1 b2a2 ca.1 b2a2(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到跟踪训练1求双曲线 x23 y2120 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【导学号：95902118】【解】 将方程 x23 y2120 化为标准方程为 1， a2， b2 ， c4，因此顶点 A1(0，2)， A2(0,2)，焦点坐标 F1(0，4)，y24 x212 3F2(0,4)，实轴长 2a4，虚轴长 2
6、b4 ，离心率 e2，渐近线方程为 y x.333由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 ；3(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x；32(3)与双曲线 x22 y22 有公共的渐近线，且过点 M(2，2)思路探究 分 析 双 曲 线的 几 何 性 质 求 a， b， c 确 定 讨 论 焦 点 位 置 求 双 曲 线 的 标 准 方 程【自主解答】 (1)依题意， b ， 2 a1， c2，3ca双曲线的方程为 x2 1 或 y2 1.y23 x23(2)设以 y x 为渐近线的双曲线方程为 ( 0)32 x24 y29当
7、 0 时， a24 ，2 a2 6 ；494当 0， b0)和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲线的离x2a2 y2b2 x216 y29心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_. 【导学号：95902119】【解析】 由题意知，椭圆的焦点坐标是( ，0)，离心率是 .故在双曲线中 c774， e ，故 a2， b2 c2 a23，故所求双曲线的方程是 1.7274 ca x24 y23【答案】 1x24 y23双曲线的离心率探究问题1双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？【提示】 e ，因为 c2 a2 b2，所以 c a0，所以 e 1.ca ca2利用 a， b，
8、 c 的关系 c2 a2 b2，双曲线的离心率还有其它表达方式吗？【提示】 e 或 e .3根据探究 2 可知，求双曲线的离心率并不一定要求出 a， b， c 的具体数值，只要知道 a， b， c 三个参数中任意两个的比值就可以求出离心率，如果 c2 ac2 a20，那么双曲线的离心率是什么？【提示】 由 c2 ac2 a20 可得 20，即 e2 e20，(ca)2 ca所以( e1)( e2)0，因为 e1，所以 e2.4如何求双曲线的离心率的取值范围？【提示】 解关于离心率 e 的不等式，或者利用基本不等式、双曲线上点的坐标的范围求出 或 的取值范围可求离心率的取值范围ca ba5(1)
9、设 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b 0)的左、右焦点，双曲线上x2a2 y2b2存在一点 P 使得( PF1 PF2)2 b23 ab，则该双曲线的离心率为_(2)已知双曲线 1( a0， b0)的左右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲线右支上x2a2 y2b2的任意一点，若 的最小值为 8a，则双曲线离心率的取值范围是_PF21PF2思路探究 (1)( PF1 PF2)2 b23 ab 4a2 b23 ab 双 曲 线 的 定 义 离心率 a， b， c的 关 系 (2)利用双曲线的定义及基本不等式寻找 a， c 之间的不等关系，可求出双曲线离心率的取值范围【自主解答】 (1
10、)由双曲线的定义知，( PF1 PF2)24 a2，又( PF1 PF2)2 b23 ab，所以 4a2 b23 ab，等号两边同除 a2，化简得 3 40，解得 4，或(ba)2 ba ba1(舍去)故离心率 e .ba ca c2a2 a2 b2a2 17(2)因为 P 为双曲线右支上的任意一点，所以 PF12 a PF2，所以 PF2 4 a2 4 a8 a，PF21PF2 4a2PF2 PF24a2PF2当且仅当 PF22 a， PF14 a，可得 2a4 a2 c 解得 e3，又因为双曲线离心率大于 1，故答案为(1,3【答案】 (1) (2)(1,317规律方法 求双曲线离心率的两
11、种方法1 直接法：若已知 a， c，可直接利用 e 求解，若已知 a， b，可利用 eca求解.1 (ba)2 2 方程法：若无法求出 a， b， c 的具体值，但根据条件可确定 a， b， c 之间的关系，可通过 b2 c2 a2，将关系式转化为关于 a， c 的齐次方程，借助于 e ，转化为关于 eca的 n 次方程求解.跟踪训练3双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为x2a2 y2b2_【解析】 依题意 1， a b.则 e2 2， e .(ba) ( ba) c2a2 a2 b2a2 26【答案】 2构建体系当 堂 达 标固 双 基1双曲线 2x2 y
12、28 的实轴长是_【解析】 双曲线的标准方程为 1， a24，2 a4.x24 y28【答案】 42已知双曲线 1( m0)的离心率为 ， 则 m_. x2m2 3 y24m 2【导学号：95902120】【解析】 这里 a2 m23， b24 m， c2 m24 m3， 2，解得 m1 或 m3.m2 4m 3m2 3【答案】 1 或 33已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点 P(1,3)，离心率为 的双曲线的标准2方程为_【解析】 由离心率为 ， e2 1 2，即 a b，2c2a2 a2 b2a2 b2a2双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为 x2 y2 ( 0)，又点P(1
13、,3)在双曲线上，则 198，所求双曲线的标准方程为 1. y28 x28【答案】 1y28 x284在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1( m0)的离心率为 ，则该双曲线x22 y2m 62的两条渐近线方程是_7【解析】 a22， b2 m， c22 m，又 e ， e2 ，即 ，得 m1，故ca c2a2 32 2 m2渐近线方程为 y x x.ba 22【答案】 y x225双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，它的一条渐近线为 y x，求双曲线的标准x216 y264方程和离心率. 【导学号：95902121】【解】 由椭圆 1，知 c2641648，且焦点在 y 轴上，x216 y264双曲线的一条渐近线为 y x，设双曲线方程为 1.又y2a2 x2a2c22 a248， a224.所求双曲线的方程为 1.y224 x224由 a224， c248，得 e2 2，又 e0， e .c2a2 2
