1、- 1 -课时跟踪检测（四十） 空间点、线、面之间的位置关系一、题点全面练1下列四个命题：存在与两条异面直线都平行的平面；过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；过直线外一点可作无数个平面与该直线平行其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 C 将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且与该平面平行，故正确；当点在两条异面直线中的一条上时，这个平面不存在，故不正确；正确；正确故选 C.2已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )
2、A必要不充分条件 B.充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则由“直线 a 和直线 b 相交”可得“平面 和平面 相交” ，反之不成立所以“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件故选 B.3已知 l1， l2， l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A l1 l2， l2 l3l1 l3B l1 l2， l2 l3l1 l3C l1 l2 l3l1， l2， l3共面D l1， l2， l3共点 l1， l2， l3共面解析：选 B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故
3、 A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故 B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故 D 错4(2019广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题： AF GC； BD 与 GC 是异面直线且夹角为 60； BD MN； BG 与平面 ABCD 所成的角为 45.其中正确的个数是( )- 2 -A1 B.2C3 D4解析：选 B 将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故正确；对于， BD 与 GC 显然是异面
4、直线如图，连接 EB， ED，则EB GC，所以 EBD 即为异面直线 BD 与 GC 所成的角(或其补角)在等边 BDE 中， EBD60，所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60，故正确；对于， BD 与 MN 为异面垂直，故错误；对于，由题意得， GD平面 ABCD，所以 GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角但在 RtBDG 中， GBD 不等于 45，故错误综上可得正确5如图， ABCDA1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( )A A， M， O 三点共线 B.A， M， O， A1不共面C A，
5、 M， C， O 不共面 D B， B1， O， M 共面解析：选 A 连接 A1C1， AC，因为 A1C1 AC，所以 A1， C1， C， A四点共面，所以 A1C平面 ACC1A1，因为 M A1C，所以 M平面ACC1A1，又 M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，所以 A， M， O 三点共线6若平面 ， 相交，在 ， 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面解析：如果这四点在同一平面内，那么确定 1 个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定 1 个平面，所以可确定 4 个
6、答案：1 或 47在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若 BAC90， AB AC AA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于_- 3 -解析：如图，延长 CA 到点 D，使得 AD AC，连接 DA1， BD，则四边形 ADA1C1为平行四边形，所以 DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角又 A1D A1B DB，所以 A1DB 为等边三角形，所以 DA1B60.答案：608如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E， H 分别是边 AB， AD 的中点，点 F， G 分别是边 BC， CD 上的点，且 ，有以下四个结论CFCB CGCD 23 EF 与 GH 平行； EF
7、与 GH 异面； EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上其中正确结论的序号为_解析：如图所示连接 EH， FG，依题意，可得 EH BD， FG BD，故 EH FG，所以 E， F， G， H 共面因为 EH BD， FG BD，故 EH FG，12 23所以四边形 EFGH 是梯形， EF 与 GH 必相交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上同理，点 M 在平面 ACD 上，所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一
8、定在直线 AC 上答案：9.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问：(1)AM 与 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 与 CC1是否是异面直线？说明理由解：(1) AM 与 CN 不是异面直线理由如下：如图，连接 MN， A1C1， AC.- 4 -因为 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点，所以 MN A1C1.又因为 A1A 綊 C1C，所以四边形 A1ACC1为平行四边形，所以 A1C1 AC，所以 MN AC，所以 A， M， N， C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线(2)D1B 与 CC1是
9、异面直线理由如下：因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B， C， C1， D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面 ， CC1平面 ，所以 D1， B， C， C1 ，这与 B， C， C1， D1不共面矛盾所以假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线10.已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为 2， A1在底面ABC 内的射影 O 为底面三角形 ABC 的中心，如图所示(1)连接 BC1，求异面直线 AA1与 BC1所成角的大小；(2)连接 A1C， A1B，求三棱锥 C1BCA1的体积解：(1)因为 AA1 CC1，所以异面直
10、线 AA1与 BC1所成的角为 BC1C 或其补角连接 AO，并延长与 BC 交于点 D，则 D 是 BC 边上的中点因为点 O 是正三角形 ABC 的中心，且 A1O平面 ABC，所以 BC AD， BC A1O，因为 AD A1O O，所以 BC平面 ADA1.所以 BC AA1，又因为 AA1 CC1，所以 CC1 BC， BC CC1 B1C1 BB12，即四边形 BCC1B1为正方形，所以异面直线 AA1与 BC1所成角的大小为 . 4(2)因为三棱柱的所有棱长都为 2，所以可求得 AD ， AO AD ，323 233- 5 -二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1已知平面 及直
11、线 a， b，则下列说法正确的是( )A若直线 a， b 与平面 所成角都是 30，则这两条直线平行B若直线 a， b 与平面 所成角都是 30，则这两条直线不可能垂直C若直线 a， b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 平行D若直线 a， b 垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直解析：选 D 对于 A，若直线 a， b 与平面 所成角都是 30，则这两条直线平行、相交或异面，故 A 错误；对于 B，若直线a， b 与平面 所成角都是 30，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形 ACB 的直角顶点 C 在平面 内，边 AC， BC 可以与平面 都成 30角，故 B 错误；C 显然错误；
12、对于 D，假设直线 a， b 与平面 都垂直，则直线 a， b 平行，与已知矛盾，则假设不成立，故 D 正确故选 D.2在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F 分别为棱 AA1， CC1的中点，则在空间中与直线A1B1， EF， BC 都相交的直线( )A不存在 B.有且只有两条C有且只有三条 D有无数条解析：选 D 如图，在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1与 M 确定一个平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当 M 的位置不同时，确定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN 与A1B1， EF， BC 分别有交点 P， M， N，故有无数条直线与直线A
13、1B1， EF， BC 都相交3.如图，三棱锥 PABC 中， PA平面 ABC， D 是棱 PB 的中点，已知PA BC2， AB4， BC AB，则异面直线 PC， AD 所成角的余弦值为_解析：如图，取 BC 的中点 E，连接 DE， AE.则在 PBC 中，- 6 -PD DB， BE EC，所以 DE PC，且 DE PC.故 ADE 为异面直线 PC， AD 所成的角或其补12角因为 PA平面 ABC，所以 PA AC， PA AB.在 Rt ABC 中， AC 2BC2 AB2 22 42.在 Rt PAC 中， PC 2 .故 DE PC .在 Rt PAB 中，5 PA2 A
14、C2 22 25 2 612 6PB 2 .又 PD DB，所以 AD PB .在 Rt EAB 中， AEAB2 PA2 42 22 512 5 .在 DAE 中，cos ADE AB2 BE2 42 12 17AD2 DE2 AE22ADDE .故异面直线 PC， AD 所成角的余弦值为 . 5 2 6 2 17 2256 3010 3010答案：30104已知 m， n 是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， ，则 m n.其中所有正确的命题是_(填
15、序号)解析：借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面 ， 互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面 ， 可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面 ， 可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由 m ， 可得m ，因为 n ，所以过 n 作平面 ，且 g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m g，所以 m n，故正确答案：(二)素养专练学会更学通5直观想象如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1上运动，点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨迹的面积是( )A4 B.
16、C2 D. 2解析：选 D 连接 DN，则 MDN 为直角三角形，在 Rt MDN 中，- 7 -MN2， P 为 MN 的中点，连接 DP，则 DP1，所以点 P 在以 D 为球心，半径 R1 的球面上，又因为点 P 只能落在正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积等于该球面面积的 ，故所18求面积 S 4 R2 .18 26直观想象、逻辑推理(2017全国卷) a， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线
17、 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析：由题意， AB 是以 AC 为轴， BC 为底面半径的圆锥的母线，又 AC a， AC b， AC圆锥底面，在底面内可以过点 B，作BD a，交底面圆 C 于点 D，如图所示，连接 DE，则DE BD， DE b，连接 AD，设 BC1，在等腰 ABD 中， AB AD ，当直线 AB 与 a 成260角时， ABD60，故 BD ，又在 Rt BDE 中， BE2， DE ，2 2过点 B 作 BF D
18、E，交圆 C 于点 F，连接 AF， EF， BF DE ，2 ABF 为等边三角形， ABF60，即 AB 与 b 成 60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面 ABC直线 a，直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90，错误正确的说法为.答案：7.直观想象、逻辑推理、数学运算如图所示， AC 是圆 O 的直径， B， D 是圆 O 上两点， AC2 BC2 CD2， PA圆 O 所在的平面，PA ，点 M 在线段 BP 上，且 BM BP.313(1)求证： CM平面 PAD；(2)求异面直线 BP 与 CD 所成角的余弦值解：(1)证明：作 ME AB 于点 E，连
19、接 CE，则 ME AP.因为 AC是圆 O 的直径， AC2 BC2 CD2，- 8 -所以 AD DC， AB BC，所以 BAC CAD30， BCA DCA60，AB AD ，3因为 BM BP，所以 BE BA ，13 13 33tan BCE ，BEBC 33所以 BCE ECA30 CAD，所以 EC AD.又 ME CE E， PA DA A，所以平面 MEC平面 PAD，又 CM平面 MEC， CM平面 PAD，所以 CM平面 PAD.(2)过点 A 作平行于 BC 的直线交 CD 的延长线于点 G，作 BF CG 交 AG 于点 F，连接 PF，则 PBF 或其补角为异面直线 BP 与 CD 所成的角，设 PBF .易知 AF1， BP ， BF2， PF2，6故 cos .BP2 BF2 PF22BPBF 6 4 4262 64即异面直线 BP 与 CD 所成角的余弦值为 .64
