1、- 1 -课时跟踪检测（五十一） 直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1若直线 mx ny4 与 O： x2 y24 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 1 的交点个数是( )x29 y24A至多为 1 B2C1 D0解析：选 B 由题意知 2，即 2，4m2 n2 m2 n2点 P(m， n)在椭圆 1 的内部，故所求交点个数是 2.x29 y242中心为原点，一个焦点为 F(0,5 )的椭圆，截直线 y3 x2 所得弦中点的横坐标为2，则该椭圆的方程是( )12A. 1 B. 12x275 2y225 x275 y225C. 1 D. 1x225 y275 2x225 2y275解
2、析：选 C 由题设知 c5 ，设椭圆方程为 1，联立方程Error!消去 y，2x2a2 50 y2a2整理得(10a2450) x212( a250) x4( a250) a2(a250)0，由根与系数的关系得 x1 x2 1，解得 a275，所以椭圆方程为12 a2 5010a2 450 1.x225 y2753斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A， B 两点，则| AB|的最大值为( )x24A2 B.455C. D.4105 8105解析：选 C 设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t，由Error!消去 y，
3、得 5x28 tx4( t21)0，则 x1 x2 t， x1x2 .85 4 t2 15| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2- 2 - 2 ( 85t)2 44 t2 15 ，425 5 t2当 t0 时，| AB|max .41054设 F1， F2分别是椭圆 y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使x24( ) 0( O 为坐标原点)，则 F1PF2的面积是( )OP OF2 PF2 A4 B.3C2 D1解析：选 D ( ) ( ) 0， PF1 PF2， F1PF290.设OP OF2 PF2 OP OF1 PF2 F1P PF2 |PF1|
4、 m，| PF2| n，则 m n4， m2 n212,2 mn( m n)2 m2 n24， mn2， mn1.125.过椭圆 C： 1( a b0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线x2a2 y2b2交椭圆 C 于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F.若 k ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )13 12A. B.(14， 34) (23， 1)C. D.(12， 23) (0， 12)解析：选 C 由题意可知，| AF| a c，| BF| ，于是 k .又a2 c2a a2 c2a a c k ，所以 ，化简可得 ，从而可得 e ，选 C.13 12 13 a2
5、 c2a a c 12 13 1 e21 e 12 12 236已知 F1(1,0)， F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C交于 A， B 两点，且| AB|3，则 C 的方程为_解析：设椭圆 C 的方程为 1( a b0)，则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线x2a2 y2b2与椭圆交于 A， B 两点，且| AB|3，所以 ， b2 a2 c2，所以b2a 32a24， b2 a2 c2413，椭圆的方程为 1.x24 y23- 3 -答案： 1x24 y237过点 M(2,0)的直线 m 与椭圆 y21 交于 P1， P2两点，线段 P1
6、P2的中点为 P，设x22直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_解析：过点 M(2,0)的直线 m 的方程为 y0 k1(x2)，代入椭圆方程化简得(2 k 1)21x28 k x8 k 20，所以 x1 x2 ，所以点 P ，直线 OP 的斜率21 21 8k212k21 1 ( 4k212k21 1， 2k12k21 1)k2 ，所以 k1k2 .12k1 12答案：128(2019广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，点 F 关于直线y x 的对称点在椭圆 C 上，则椭圆 C 的方程为_12解析：设椭圆方程为 1(
7、 a b0)，由题意可知 c1，即 a2 b21，设点x2a2 y2b2F(1,0)关于直线 y x 的对称点为( m， n)，可得 2.又因为点 F 与其对称点的中点12 n 0m 1坐标为 ，且中点在直线 y x 上，所以有 ，联立，解得Error!即对(m 12 ， n2) 12 n2 12 m 12称点为 ，代入椭圆方程可得 1，联立，解得 a2 ， b2 ，所以椭(35， 45) 925a2 1625b2 95 45圆方程为 1.5x29 5y24答案： 15x29 5y249(2019长春监测)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)， F2(1,0)，且经过点 E.(3，32)
8、(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 2 ，求直AF1 F1B 线 l 的斜率 k 的值解：(1)由Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意得直线 l 的方程为 y k(x1)( k0)，- 4 -联立Error!整理得 y2 y90，(3k2 4) 6k 1440，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，144k2则 y1 y2 ， y1y2 ，6k3 4k2 9k23 4k2又 2 ，所以 y12 y2，AF1 F1B 所以 y1y22( y1 y2)2，则 34
9、 k28，解得 k ，又 k0，所以 k .52 5210(2018成都模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的右焦点为 F( ，0)，长半轴x2a2 y2b2 3与短半轴的比值为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N.若点 B(0,1)在以线段 MN为直径的圆上，求直线 l 的方程解：(1)由题可知 c ， 2， a2 b2 c2，3ab a2， b1.椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x
10、my1， M(x1， y1)， N(x2， y2)联立Error!消去 x 可得(4 m2)y22 my30. 16 m2480， y1 y2 ， y1y2 . 2m4 m2 34 m2点 B 在以 MN 为直径的圆上， 0.BM BN ( my11， y11)( my21， y21)( m21) y1y2( m1)( y1 y2)BM BN 20，( m21) ( m1) 20， 34 m2 2m4 m2整理，得 3m22 m50，解得 m1 或 m .53直线 l 的方程为 x y10 或 3x5 y30.二、专项培优练- 5 -(一)易错专练不丢怨枉分1已知点 P 是椭圆 1( x0，
11、y0)上的动点， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，x216 y28O 是坐标原点，若 M 是 F1PF2的平分线上一点，且 0，则| |的取值范围是( )F1M MP OM A0,3) B(0,2 )2C2 ，3) D(0,42解析：选 B 如图，延长 F1M 交 PF2的延长线于点 G. 0， .F1M MP F1M MP 又 MP 为 F1PF2的平分线，| PF1| PG|，且 M 为 F1G 的中点 O 为 F1F2的中点， OM 綊 F2G.12| F2G| PF2| PG| PF1| PF2|，| | |2a2| PF2|4| PF2|.OM 1242 | PF2|4 或 4|
12、 PF2|42 ，2 2| |(0,2 )OM 22已知椭圆 M： y21，圆 C： x2 y26 a2在第一象限有公共点 P，设圆 C 在点 Px2a2处的切线斜率为 k1，椭圆 M 在点 P 处的切线斜率为 k2，则 的取值范围为( )k1k2A(1,6) B.(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：选 D 由于椭圆 M： y21，圆 C： x2 y26 a2在第一象限有公共点 P，所x2a2以Error!解得 3 a25.设椭圆 M： y21 与圆 C： x2 y26 a2在第一象限的公共点x2a2P(x0， y0)，则椭圆 M 在点 P 处的切线方程为 y0y1，圆 C 在 P 处的
13、切线方程为x0xa2x0x y0y6 a2，所以 k1 ， k2 ， a2，所以 (3,5)x0y0 x0a2y0 k1k2 k1k23.如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是A1， A2， B1， B2，焦点分别为 F1， F2，延长 B1F2与 A2B2交于 P 点，若 B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_解析：设椭圆的方程为 1( a b0)， B1PA2为钝角可转化为 ， 所夹x2a2 y2b2 B2A2 F2B1 - 6 -的角为钝角，则( a， b)( c， b)0，即 b2 ac，则 a2 c2 ac，故 2 10，(ca) ca即 e2 e10，解得 e 或 e
14、 ，又 0 e1，所以 e1.5 12 5 12 5 12答案： (5 12 ， 1)(二)难点专练适情自主选4(2018天津高考)设椭圆 1( a b0)的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆x2a2 y2b2的离心率为 ，| AB| .53 13(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l： y kx(k0)与椭圆交于 P，Q 两点， l 与直线 AB 交于点 M，且点 P， M 均在第四象限若 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知得 ，c2a2 59又由 a2 b2 c2，可得 2a3 b.又| AB| ，从而 a3， b2.a2 b2 1
15、3所以椭圆的方程为 1.x29 y24(2)设点 P 的坐标为( x1， y1)，点 M 的坐标为( x2， y2)，由题意知， x2 x10，点 Q 的坐标为( x1， y1)因为 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，所以| PM|2| PQ|，所以 x2 x12 x1( x1)，即 x25 x1.易知直线 AB 的方程为 2x3 y6，由方程组Error!消去 y，可得 x2 .63k 2由方程组Error!消去 y，可得 x1 .69k2 4由 x25 x1，可得 5(3 k2)，9k2 4两边平方，整理得 18k225 k80，解得 k 或 k .89 12当 k 时， x290
16、，不合题意，舍去；89当 k 时， x212， x1 ，符合题意12 125- 7 -所以 k 的值为 .125(2018成都一诊)已知椭圆 1 的右焦点为 F，设直线 l： x5 与 x 轴的交点x25 y24为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 l1与椭圆交于 A， B 两点， M 为线段 EF 的中点(1)若直线 l1的倾斜角为 ，求| AB|的值； 4(2)设直线 AM 交直线 l 于点 N，证明：直线 BN l.解：由题意知， F(1,0)， E(5,0)， M(3,0)(1)直线 l1的倾斜角为 ，斜率 k1. 4直线 l1的方程为 y x1.代入椭圆方程，可得 9x210 x1
17、50.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .109 53| AB| 2 x1 x2 2 4x1x2 .2 (109)2 453 1659(2)证明：设直线 l1的方程为 y k(x1)代入椭圆方程，得(45 k2)x210 k2x5 k2200.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .10k24 5k2 5k2 204 5k2设 N(5， y0)， A， M， N 三点共线， ， y0 . y13 x1 y02 2y1x1 3而 y0 y2 y2 k(x21)2y1x1 3 2k x1 1x1 33k x1 x2 kx1x2 5kx1 3 0.3k10k24 5k2 k5k2 204 5k2 5kx1 3- 8 -直线 BN x 轴，即 BN l.
