1、- 1 -湖北省沙市中学、恩施高中、郧阳中学 2016-2017 学年高一数学下学期阶段性联考试题 理（含解析）考试时间：2017 年 5 月 31 日 上午 10:30-12:00 试卷满分：100 分一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，则 .本题选择 B 选项.2. 已知 ，那么下列命题中正确的是( )A. 若 则 B. 若 ，则C. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则【答案】C【解析】当 时， ，选项 A 是假命题；若 ，则由 可得 ，选项 B 是假命题；若 a3b3且 abb3且 abb2且
2、 ab0，则 (错)，若 ，则 D 不成立。本题选择 C 选项.点睛： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等3. 在 中， ，则角 与角 的关系为（ ）A. B. C. D. - 2 -【答案】C【解析】 a2tanB=b2tanA，由正弦定理,得 sin2AtanB=sin2BtanA， ，即 sinAcosA=sinBcosB， sin2A=sin2
3、B，2 A=2B 或 2A+2B= ,即 A=B 或 ，本题选择 C 选项.4. 若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不等式的解集为 R.可得： a23a40,且= b24ac0，得： ，解得：0 a4，当 a23a4=0 时，即 a=1 或 a=4，不等式为10 恒成立，此时解集为 R.综上可得：实数 a 的取值范围为(0,4.本题选择 D 选项.5. 下列命题中正确的个数是（ ）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等；（2）若直线 l 与平面 平行，则直线 l 与平面 内的直线平行或异面；（3）夹在两个平行平面间的平
4、行线段相等；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行.A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角可能相等或互补，所以（1）错；（2）正确；（3）正确；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，所以（4）错。考点：点、线、面位置关系。6. 已知数列 满足 ，则该数列的前 12 项和为（ ）- 3 -A. 211 B. 212 C. 126 D. 147【答案】D【解析】由题意可得：即其奇数项构成了首项为 1，公差为 1 的等差数列，而其偶数项则构成了首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以该数列的前 2n 项的和：，令 可得：
5、.本题选择 D 选项.7. 如图，一个正四棱锥 - 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，若 ，则球 的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，正四棱锥 PABCD 底面的四个顶点 A， B， C， D 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，- 4 - PO底面 ABCD,PO=R,SABCD=2R2, ，所以 ，解得： R=2，球 O 的表面积： S=4R 2=16 .本题选择 B 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为
6、正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8. .在 中， 所对的边分别是 ，当钝角三角形的三边 是三个连续整数时，则 外接圆的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得：钝角ABC 的三边分别为 x，x+1，x+2，且 x+2 所对的角为钝角 ，由余弦定理得： ，即 x3，x=1 或 x=2，当 x=1 时，三角形三边分别为 1，2，3，不能构成三角形，舍去；当 x=2 时,三角形三边长分别为 2,3,4,此时 ， ，设ABC 外接圆的半径为 R,根据正弦定理得： ，解得： .本题选择 D 选项.
7、9. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 （如图所示），则旗杆的高度为（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，依题意知ABC=30+15=45,ACB=18060 15=105，BAC=18045 105=30，由正弦定理知 ， (m)在 RtACD 中, (m)即旗杆的高度为 30m.本题选择 B 选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(
8、3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10. 一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】用三棱柱的体积减去四棱锥的体积，该几何体的体积为：。本题选择 C 选项.11. 若 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则： ，题目转化为已知 ，求 的最小值，而：，当且仅当 时等式成立.则 .12. 正方形 边长为 ，中心为 ，直线经过中心 ，交 于 ，交 于 ， 为平面上一点，且 则
9、的最小值是（ ）- 7 -A. B. C. D【答案】C【解析】由题意可得：,设 ，则 三点共线.当 MN 与 BD 重合时， 最大，且 ，据此：本题选择 C 选项.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)13. 已知 ， ， ，则 与 的夹角为_【答案】 【解析】设两个向量的夹角为 ，由题意有：6cos1=2， , .14. 已知 ，则 _.【答案】【解析】由题意可得： ， .15. 若 ， ， ， ，则 的大小关系为_.【答案】【解析】 x( ,1)， a=lnx即1 a0；又 b=elnx为增函数， ；- 8 -为减函数，1 ce， abc.点睛：对于指数幂的大小
10、的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介） ，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与 1 的大小关系，从而确定所比值的大小当然一般情况下，这两个值最好都是正数作差比
11、较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还 是负，从而确定所比值的大小分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与 1 的大小关系作为分类标准16. 已知数列 与 满足 ，若且 对一切 恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：将 代入 ，化简得，故.故原不等式 可化为 .当 时， ，当时， ，当 时， ，当 时， ， 时，单调递减，所以当 时为最大值，故 .考点：递推数列及不等式.【思路点晴】本题主要考查递推数列求通项的方法，考查累加法求通项，考查分离常数法解- 9 -恒成立问题，考查数列与函数单调
12、性结合等问题.第一步现将 的通项公式代入题目给定的方程，由此方程求得 的递推关系 ，然后利用累加法求得 的通项公式，将通项公式代入不等式，利用分离常数法解得的取值范围.三、解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分.)17. 在 中， 分别是A、B、C 的对边，且 .（1）求 的值；（2）若 ， 边上中线 ，求 的面积【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)利用题意结合正弦定理求得 ， .(2)由题意得 为等腰三角形，结合余弦定理得 ， 的面积 .试题解析：， 为 的内角， .(2) , ,得 为等腰三角形，在 中，由余弦定理得， ，解得 ，的面积 .18. 已知等差数列 前三项的
13、和为 ,前三项的积为 .（1）求等差数列 的通项公式 ;（2）若 成等比数列,求数列 的前 项和.【答案】(1) ,或 ;(2) .- 10 -【解析】试题分析：(1)由题意列方程组求得首项和公差可得等差数列通项公式为 ,或 .(2)结合数列项数的符号分类讨论写为分段函数的形式，则：.试题解析：(1)设等差数列 的公差为 ,则 , , 由题意得 解得 或 所以由等差数列通项公式可得,或 . 故 ,或 . (2)当 时, , , 分别为 , , ,不成等比数列; 当 时, , , 分别为 , , ,成等比数列,满足条件. 故 记数列 的前 项和为 . 当 时, ;当 时, ; 当 时, . 当
14、时,满足此式. 综上,19. 若 的图像与直线 相切，并且切点横坐标依次成公差为 的等差数列.（1）求 和 的值； - 11 -（2） 中 分别是A、B、C 的对边.若点 是函数 图象的一个对称中心，且 ，求 周长的取值范围。【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的性质可得 ；(2)利用题意结合正弦定理有 ，据此可得 周长的取值范围是 .试题解析：（1） = 由题意，函数 的周期为 ，且最大（或最小）值为 ，而 ,所以 （2）点（ 是函数 图象的一个对称中心 又因为 为 的内角，所以 中， 则由正弦定理得： ， .20. 已知甲、乙两地相距为千米，汽车从甲地匀速
15、行驶到乙地，速度每小时不超过 千米.已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为元，可变部分与速度（单位; ）的平方成正比，且比例系数为 .（1）求汽车全程的运输成本（单位：元）关于速度（单位; ）的函数解析式；（2）为了全程的运输成本最小，汽车应该以多大的速度行驶？【答案】(1) ;(2) 为了全程的运输成本最小，当 时，汽车行驶速度为 ；当 时，汽车行驶速度为 .【解析】试题分析：(1)由题意写出解析式 - 12 -(2)由(1)中的解析式结合均值不等式的结论分类讨论可得当 时，汽车行驶速度为；当 时，汽车行驶速度为 .试题解析：（1） （2）当 时， ，当且仅
16、当 时，等号成立，当 时， 时， ；当 时，证明函数在区间 上是减函数，则当 时， .答：为了全程的运输成本最小，当 时，汽车行驶速度为 ；当 时，汽车行驶速度为 . 点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解21. 已知函数 满足 ，定义数列 ， ，数列 的前 项和为 ， ，且 （1） 求数列 、 的通项公式；（2）令 ，求 的前 项和 ；（3）数列 中是否存在三项 使 成等差数列，若存在，求出 的值，若
17、不存在，请说明理由。【答案】(1) , ;(2) ;(3)见解析.【解析】试题分析：(1)结合题意中的递推关系可得 , ；(2)结合(1)的结论错位相减可得 ；- 13 -(3)假设存在满足题意的 ，结合题意讨论可得矛盾，假设不成立，即不存在任三项能构成等差数列试题解析：（1）由题意知： ， 又是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故 ，由 ， 可得：是等差数列， ,当 时， 满足上式，（2） ， 两边同乘公比得， 得 化简得： . （3）假设存在 使 成等差数列，则 ， ，两边同除 ，得 ，为偶数，而 为奇数，因左边为偶数，右边为奇数，矛盾假设不成立，故不存在任三项能构成等差数列点睛：一般
18、地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解22. 已知函数 为奇函数.（1）求 的值，并求函数 的定义域；（2）判断函数 的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意的 ，是否存在实数，使得不等式 恒成立.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2)见解析;(3) .- 14 -【解析】试题分析：（1）由奇函数定义得 ，根据对数运算性质可得 或（舍去） ；（2）利用定义判断并证明函数 的单调性，先设任意两数，再作差，根据对数性质，只需比较真数大小即可，
19、最后根据差的符号确定函数单调性；（3）先利用函数性质等价转化不等式，因为 ，所以 对于任意 恒成立，再令 ，转化为区间端点值满足不等式即可，解不等式即得实数的取值范围.试题解析：（1）函数 为奇函数， 在定义域内恒成立，即 ， 在定义域内恒成立， 或 （舍去） ，即 ， .故函数的定义域是 .（2） （ ） ，任取 且 ，则设 （） ， . ， ， ， ，即 在定义域内单调递增.（3）假设存在实数，使得不等式 恒成立，即恒成立.由（1） ， （2）知： 对于任意 ，当 时成立；当 时，令 ，即 .点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“” ，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.- 15 -
