1、- 1 -河南省平顶山市、许昌市、汝州 2017-2018 学年高二数学上学期第三次联考试题 理（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线 的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，得 。所以双曲线 的渐近线方程是 。选 C。2. 已知命题 在定义域内是单调函数，则 为（ ）A. 在定义域内不是单调函数B. 在定义域内是单调函数C. 在定义域内不是单调函数D. 在定义域内不是单调函数【答案】A【解析】由全称命题的否定可得 为“ 在定义域内不是单调函数”
2、 。选 A。3. 设等差数列 的首项为 ，若 ，则 的公差为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，故选 B.4. 下列命题为特称命题的是 （ ）A. 任意一个三角形的内角和为 B. 棱锥仅有一个底面- 2 -C. 偶函数的图象关于 轴垂直 D. 存在大于 1 的实数 ，使【答案】D【解析】 对于选项 A、B、C 都为全称命题，选项 D 中，根据特称命题的概念，可得命题“存在大于 的实数 ，使 ”中含有存在量词，所以 D 为特称命题，故选 D.5. 若椭圆 (0m 3)的长轴比短轴长 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可
3、得 ，解得 。选 D.6. “ ”是“方程 表示焦点在上的椭圆 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，所以 ，所以 是方程 表示焦点在 轴上的椭圆的充分不必要条件，故选 A.7. 在 中，角 所对的边分别为 ，则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为 ，所以 ，由余弦定理 ，得 ，所以 的周长为 ，故选 C.8. 若以双曲线 的左右焦点和点 为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. - 3 -【答案】B【解析】由题意得
4、点 为该直角三角形的直角顶点，双曲线的左右焦点分别为 ，则有 ，解得 ，所以 ，因此 。选 B。9. 已知 分别是双曲线 的左右焦点，点 在此双曲线的右支上，且 ，则 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】双曲线方程即为 ，所以 ，由定义得，又 ，所以 。由余弦定理得，所以 ，因此 的面积为。选 D。点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，焦点三角形与双曲线的定义、正（余）弦定理和三角形的面积结合在一起。在求焦点三角形的面积时，可利用定义式的平方及余弦定理得到 的形式，再用面积公式计算10. 若 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A
5、11. 给出下列三个命题：；或 是“ ”的必要不充分条件，若 ，则 .那么，下列命题为真命题的是（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】C.易知 或 不能推出“ ”，但“ ”能推出 或 ，故 为真命题。由 得 且 ，所以 ，所以 为真命题。因此 为真命题。选 C。12. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，过椭圆 的右焦点作 轴的垂线交直线 于点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，其中， 为坐标原点，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得直线 的方程为 ，当 时， ，所以点 D 的坐标为。因此直线 OD 的斜率为 ，由题意得 ，整理得
6、，故 ，所以 。选 D。点睛：椭圆的几何性质中，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得 的值，直接代入公式 求得；(2)列出关于 的齐次方程(或不等式)，然后根据 ，消去 b，转化成关于 e 的方程(或不等式)求解第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 命题“若 ，则 ”的否命题为_.【答案】若 ，则【解析】由否命题的定义可得所给命题的否命题为“若 ，则 ”。- 5 -答案：若 ，则14. 在 中，角 所对的边分别为 ，则 _.【答案】【解析】 在 中，由 ，则 ，所以，由正弦定理可得 .15. 设变量 满足约束条件 ，则
7、的最大值是 _.【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示。表示可行域内的点 与点 连线的斜率。结合图形得，可行域内的点 A 与点 连线的斜率最大。由 ，解得 。所以点 A 的坐标为 。 。答案：点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜- 6 -率型（ 型）和距离型（ 型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.。16. 已知焦距为 的双曲线 的左右顶点分别为 是双曲线上异于的任
8、意两点，若 依次成等比数列，则双曲线的标准方程是_.【答案】【解析】 设 ，则 ，由于 成等比数列，则 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ， ，即 ，所以双曲线的方程为 .点睛：本题考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、等比中项公式等知识点的应用，同时着重考查了推理与运算能力，解答中认真审题、准确计算是解答的关键三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（1）若 ，求 的最小值，并指出此时 的值；（2）求不等式 的解集 .【答案】(1) 的最小值为 ，此时 .(2) .【解析】试题分析：（1）根据表
9、达式的特点得到 ，利用均值不等式求得最值；（2）分式不等式转化为整式不等式求解即可。解析：- 7 -（1） ，当且仅当 即 时，取等号，故 的最小值为 ，此时 ，（2）由 得 ，故所求不等式的解集为18. （1）已知点 的坐标为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求动点的轨迹方程；（2）已知定点 的坐标为 为动点，若以线段 为直径的圆恒与 轴相切，求动点 的轨迹方程.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）设出动点的坐标 ，根据直线 的斜率之积是 列出等式求解即可。 （2）设，则线段 的中点为 ，连 ，则 轴，由 为直角三角形斜边上的中线可得 ，求出 x,y 间的关系式即为
10、所求。试题解析：（1）设动点 ，因为直线 的斜率之积是 ，所以 ，整理得 ，所以动点 的轨迹方程为 .（2）设动点 ，线段 的中点为 ，圆 与 轴相切于 ，连接 ，所以 轴，因为 为直角三角形斜边上的中线，所以 ，由 ，化简得 ，- 8 -所以动点 的轨迹方程为 .19. 设 “关于 的不等式 的解析为 ”， “函数 在区间 上有零点”.（1）若 为真，求 的取值范围；（2）若 为假， 为真，求 的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）由命题 为真，则 ，即可求解实数 的取值范围.（2）根据 为假， 为真，得 中一真一假，分类讨论即可求解实数 的取值范围.试题解析：（1
11、）函数 是增函数，所以若 为真，则 ，解得 .（2）若 为真，则 ，即 ，解得 ，因为 为假， 为真，所以 中一真一假，若 真 假，则 ；若 假 真，则 ，综上， 的取值范围是 .20. 已知椭圆 的与椭圆 有相同的焦点，且椭圆 过点 .（1）求 的长轴长；（2）设直线 与 交于 两点（ 在 的右侧） ， 为原点，求 .【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）根据题意，列出 ，求得 的值，即可得到椭圆的长周长；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得 ，得 的坐标，即可求解故 .试题解析：- 9 -（1）由题意得设椭圆 的标准方程为 ，则 ，所以 ，则的长轴长为 .（
12、2）由 ，得 ，解得 ，则 ，故 .21. 已知数列 满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）若正整数 满足 ，求 的值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）由题意得 ， （ ） ，与条件中所给的式子相减可得 ，解得 。验证当 时， 也满足即可。 （2）根据列项相消法求得，由题意得 ，解方程即可。试题解析：（1） ， ， （ ）两式相减得 ， ，当 时， ，解得 ，也满足 ，所以 .（2）- 10 -，令 ，解得 .点睛：（1）根据本题的特点选择用仿写、作差的方法求得数列的通项，在仿写时不要忘了 这一条件，故在最后要验证 时是否满足。（2）数列求和的方法也比较多，解题时要根据通
13、项公式的特征合理选择，常见的方法有公式法、分组法、列项相消法、错位相减法等。22. 如图，椭圆 的离心率为 ，且椭圆 经过点 ，已知点 ，过点 的动直线 与椭圆 相交于 两点， 与 关于 轴对称.（1）求 的方程；（2）证明： 三点共线.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为 ，且过点 及可得 可组成关于 的方程组，解方程组可得椭圆方程。 （2）当直线 与 轴垂直时，结论成立；当直线 的斜率存在时，设出直线 的方程，与椭圆方程联立消元后得到二次方程 ，利用根据系数的关系并结合斜率公式可得 ，从而可得结论成立。试题解析：- 11 -（1）解：由已知得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 .（2）证明：当直线 与 轴垂直时，显然有 三点共线。当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为由 ，因为直线 与椭圆交于 A,B 两点，所以 ，设 的坐标分别为 ，则 ，因此 ， 易知点 关于 轴垂直的点 的坐标为 ，又，所以 ，又 ， 有公共点 ，所以 三点共线.- 12 -点睛：圆锥曲线中的三点共线的问题可通过斜率公式证明，解题时先求出由三点确定的两条线段的斜率，通过两个斜率的相等，同时说明两条线段有公共点可得三点共线。另外利用向量的共线也可证明三点共线。
