1、- 1 -三明一中 20172018 学年高三寒假返校考试数学（文科）试卷第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)1. 设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知： ，结合 可得：则 的取值范围是 .本题选择 A 选项.2. 设 是虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ，则复数 在复平面上对应的点的坐标为：（
2、1，2） ，位于第二象限本题选择 B 选项.3. 若 ab0，则下列不等关系中，不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】ab0，aab0由 在 上单调递减知：因此 B 不成立故选：B4. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱考点：三视图视频5. 在 上随机取一个数 ，则 的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】解不等式(x1)(x3)0 得1x3，所以所求
3、概率 P .6. 将函数 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，再向右平移 个单位后得到的图象关于直线 对称，则 的最小值是( )- 3 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数的图象，再向右平移 个单位，得到 的图象，此图象关于直线对称，故 ，解得 ，又 ，故 ；故选D.点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误” ，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量 而言，如：将的图象将左平移 个单位时得到函数 的图象，而不是的图象.7. 函数 在 的最小值是( )A. B. 1 C. 0 D. 【
4、答案】B【解析】 ，令 得， 或 ，令 得， ，所以 在 ， 单调递增，在 单调递减， .本题选择 B 选项.8. 已知 是椭圆的两个焦点，且过 的直线 交椭圆于 两点，若 的周长是 12，若点 为椭圆上任意一点，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 得， ，由 的周长是 12 得， ，所以， ，椭圆方程为 ，- 4 -当点 为短轴端点时， 取得最大值： .本题选择 C 选项.9. 给出下列四个函数： ； ； ； .这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】可利用排
5、除法：对于，令 y f(x)， f(x)的定义域关于原点对称，f( x)( x)sin( x) xsin x f(x)，函数 y f(x)为偶函数，故中的函数对应第 1 个图象，排除 C 和 D；对于，当 x0 时， y0，且当 x0 时等号可以取到，故中的函数对应第 4 个图象，排除 B.本题选择 A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项10. 在边长为 的正方形 中，
6、 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C- 5 -【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设 E(x,0)，0 x1.又 ，C(1,1)，所以 ，所以 ，因为 0 x1，所以 ，即 的取值范围是 .本题选择 C 选项.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用11. 观察下列图形： 由此规律，则第 30 个图形比第 27 个图形中的“”多（ ）A. 59 颗 B. 60 颗 C. 87 颗 D. 89 颗【答案】C， ，第 30 个图形比第 27 个图形中的“”多的
7、个数为：.本题选择 C 选项.12. 若不等式组 表示的平面区域经过四个象限，则实数 的取值范围是( )- 6 -A. (，4) B. 1,2 C. 2,4 D. (2，)【答案】D【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影区域所示，令 可得直线 在 轴的截距为： ，由图可知，若平面区域经过四个象限，则应满足 ，所以 . 即实数 的取值范围是(2，).本题选择 D 选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的
8、情况决定参数取值第卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把正确答案直接写在答题卷相应位置上)13. 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升【答案】考点：等差数列通项公式14. 如图所示是一个算法的流程图，最后输出的 _.- 7 -【答案】22【解析】结合流程图，程序运行如下：初始化数据： S=0,T=1,S=T2-S=1，此时不满足 S10，循环第一次， T=T+2=3,S=T2-S=8，此时不满足 S10，循环第二次
9、， T=T+2=5,S=T2-S=17，此时满足 S10，结束循环，输出 W=S+T=17+5=22.15. 若 ， ， ，则 的大小关系是_.【答案】【解析】因为 ， ，函数 在 R 上单调递增，所以 ,即 ，又函数 在(0，)上单调递增，所以 .据此可得： .点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确16. 设
10、 ： ，使 有意义.若 为假命题，则实数 的取值范围是_.- 8 -【答案】【解析】根据题意，由 为假命题，则 为真命题，即 ，使 成立，若 ，则 或 ，解得 ；若 ，则当 ，总有 成立；若 ，则 ，即 .综上得，所求实数 的取值范围为 .三、解答题：本大题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已知（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；（2）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ， ，且 面积为 ，求 .【答案】(1) ，单调递减区
11、间是 ；(2) 或 .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得 ，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为 ，结合正弦函数的单调区间可得函数 的单调递减区间是 ；（2）结合(1)中整理所得的函数解析式可得 ，结合面积公式 可得 ，由余弦定理有 或 .试题解析：（1）- 9 -令 得，故 的单调递减区间是（2）又18. 2017 年 5 月 14 日至 15 日， “一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 300 个进行测试
12、，结果统计如下图所示,已知乙品牌产品使用寿命小于 200 小时的概率估计值为 .(1)求 的值;(2)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率；(3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是乙品牌的概率【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】试题分析：（1）由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于 200 小时的频数为30+a，故频率为 ，从而 解得 的值；（2）甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 ，用频率估计概率，能求出甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率（3）根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品有 220+210=430 个，其中乙品牌产品是 21
13、0个，在样本中，寿命大于 200 小时的产品是乙品牌的频率为 ，用频率估计概率，能求出已使用了 200 小时的该产品是乙品牌的概率试题解析：- 10 -（1）由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于 200 小时的频数为 ，故频率为 ， 由意可得 ，解得 .（2）甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 ，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 .（3）根据抽样结果，寿命大于 200 小时的产品有 个，其中乙品牌产品是 210个，所以在样本中，寿命大于 200 小时的产品是乙品牌的频率为 ，用频率估计概率，所以己使用了 200 小时的该产品是乙品牌的概率为 .19. 如图所
14、示，已知四边形 是直角梯形， ， ，其中 是 上的一点，四边形 是菱形，满足 ，沿 将 折起，使（1）求证：平面 平面（2）求三棱锥 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，取 的中点 ，连接 和 , 和 ，由题意结合等腰三角形的性质可得 ， ，结合线面垂直的判断定理有 面 ， ,而 ，所以 平面 ，结合面面垂直的判断定理可得平面 平面 .（2）由题意结合（1）可知 为三棱锥 的底面 的高，转化顶点计算可得三棱锥的体积 .试题解析：（1）如图，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 和 , 和 ，由题意知：- 11 -， 是等腰三角形， 是等腰三角形，则有
15、， ，分别为 和 的中点， 可得： ,而 ， ，所以 面 ，可得， ,面 ， ， 平面 ，且 与 不平行，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .（2）三棱锥 的体积，即为三棱锥 的体积，由（1）知， 平面 ，从而为三棱锥 的底面 的高，为直角三角形， ，可得 ，而 ，从而 ，由题意知：，从而 ，是等腰三角形，且 ， 为 的中点，且 ，故 .20. 椭圆 : 的离心率为 ,抛物线 : 截 轴所得的线段长等于. 与 轴的交点为 ，过点 作直线 与 相交于点 直线 分别与 相交于.(1)求证: ；(2)设 , 的面积分别为 ,若 ,求 的取值范围.- 12 -【答案】(1)证明见解析；(2)
16、.【解析】试题分析：(1)由题意可求得椭圆 的方程为 .直线 的方程为 ( 存在), ,.联立直线方程与抛物线方程可得 ,，韦达定理计算可得,则 .(2)由(1)可知 和 均为直角三角形,设直线 方程为 ,与抛物线方程联立可得 ,同理可得 ,则.同理求得,则 ，故 的取值范围是 ,+).试题解析：(1)由题设得 , ,又 , ,解得 .因此椭圆 的方程为 .由抛物线 的方程为 ,得 .设直线 的方程为 ( 存在), , .于是由 消去 得 , ,将代入上式得 ,故 .(2)由(1)知, , 和 均为直角三角形,设直线 方程为 ,直线方程为 ,且 ,由 解得 或 ,同理可得 ,- 13 - .由
17、 解得 或 , ,同理可得 , ,又 0, .故 的取值范围是 ,+).21. 已知函数 ， .（1）若函数 在 处取得极值，求 的值，并求函数 在 处的切线方程；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由函数的解析式可得： ，据此利用导函数研究函数的切线可得切线方程为 ；（2）原问题等价于： 在区间 上恒成立.解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：构造函数 ，当 时不合题意，当 时，结合函数的单调性可得，据此可得： .解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：- 14 -考查原命题的否定： 在区间 上有解.化简可
18、得 ，其中函数在区间 上无最小值，函数 的最大值为 ，据此可得.试题解析：（1） 的定义域是 ， = ，由 得 .当 时， = ， =函数 在 处的切线方程为 y=0.（2）由 得 在 上恒成立,即 在 上恒成立.解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令 ，当 时， 在 上单调递减， ， ，所以 的值域为： ，因为 ，所以 的值域为 ；所以不成立.当 时，易知 恒成立.，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.- 15 -因为 ，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ，依题意， ，所以综上： .解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“ 对 都成立
19、”的否定是“ 在 上有解”.在 上有解 在 上有解，在 上有解，令 ， .，所以 在 上单调递增，又 ，所以 无最小值.所以 ；令 ， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.所以 ,所以 .因为 在 上有解时， ；- 16 -所以 对 都成立时， .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数
20、 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，直线 的参数方程是 （ 为参数） （1）分别求曲线 、直线 的普通方程；（2）直线 与 交于 两点，则求 的值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）利用参数方程的内在联系，写出普通方程即可；（2）由直线 的标准参数方程 ，代入曲线 ，得 ，所以由韦达定定理解 即可。试题解析：（1） ： ； ：（2）直线 的标准参数方程为 ， （ 为参数）将 的标准参数方程代入 的直角坐标方程得： ，所以 ，- 17 -23. 已知函数 ，（1）求解不等式 ；（2）对于 ，使得 成立，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式 的解集为 ；(2)原问题等价于 ，结合绝对值不等式的性质讨论最值得到关于 a 的不等式，求解不等式可得 的取值范围是 .试题解析：（1）由 或 或 解得： 或原不等式解集为： .（2）当 时， ；由题意得 ，得 即解得
