1、- 1 -洛阳市 2017-2018 学年第一学期期中考试高一数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 。选 D。2. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】方法一：令 ，解得 。 。选 B。方法二： ， 。 。选 B。3. 下列函数，既有偶函数，又是 上的减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】选项 A 中，函数 为奇函数，不合题意，故 A 不正确；选项 B 中，函数 没
2、有奇偶性，故 B 不正确；选项 C 中，函数 为偶函数，且在 上单调递减，符合题意；选项 D 中，函数 为偶函数，但在 上单调递增，不合题意，故 D 不正确。选 C。4. 已知集合 ，若 中只有一个元素，则 的值是（ ）- 2 -A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当 时， ，满足题意。当 时，要使集合 中只有一个元素，即方程 有两个相等的实数根，则，解得 。综上可得 或 。选 C。5. 函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，解得 。函数 的定义域为 。选 A。6. 方程 的解为 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ， ,
3、 .函数 在区间 上有零点。 。选 C。7. 若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，函数 图象的对称轴为 ，函数 在区间 上单调递增， ，解得 。实数 的取值范围是 。选 D。- 3 -8. 已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 。选 B。 9. 函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数的定义域为 。当 时， ；当 时， 。 ，其图象如选项 B 所示。选 B。10. 已知 ，则 ，则 值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， ，- 4 - ，解
4、得 。又 ， 。选 D。点睛：（1）对于形如 的连等式，一般选择用 表示 x,y 的方法求解，以减少变量的个数，给运算带来方便；（2）注意对数式和指数式的转化，即 ；另外在对数的运算中，还应注意这一结论的应用。11. 已知 ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ,故选 A.考点：实数的大小比较.12. 若对于任意 ，都有 成立，则 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,不等式 恒成立等价于 对于任意 恒成立。 ， 。 ，解得 。 的范围是 。选 C。点睛：（1）对于函数中的恒成立问题，解题时一般选择分离参数的方法，将参数分离后转化为
5、求具体函数的最值问题处理；（2） 恒成立 ， 恒成立 。当函数的最值不存在时，可用函数 值域的端点值代替，但要注意得到的不等式中等号能否取得。- 5 -第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知幂函数 的图象过点 ，则 _【答案】【解析】设幂函数的解析式为 。点 在函数的图象上， ，解得 。 ， 。答案： 。14. 已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则 _【答案】【解析】令 ，可得 ，此时 。函数的图象恒过定点（1,2） ，即 , .答案：3点睛：（1）确定指数型函数 的图象所过得定点时，可令 ，求得的 即为定点的横坐标，定点的纵坐标为 。（2
6、）确定对数型函数 的图象所过得定点时，可令 ，求得的 即为定点的横坐标，定点的纵坐标为 。15. 计算 _【答案】【解析】 。答案： - 6 -16. 已知 是 上的奇函数，当时 ， .若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】根据函数为奇函数可求得当 ，当 时， ，当且仅当 时等号成立；当 ， ，当且仅当 时等号成立。画出函数 的图象（如图所示） 。当 ，令 ，即 ，解得 ，或 （舍去） 。结合图象可得，若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 .答案： 点睛：本题将函数的性质、函数的图象结合在一起考查。根据奇偶性可得函数在 时的解析式，从而可画出函数的图象，为解
7、题增加了直观性，结合图象可得参数所要满足的条件。用数形结合的思想方法进行解题，是数学中常用的方法，需要好好的掌握。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设全集 ，集合 .（1）求 ；（2）若集合 ，且 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ; ;（2） .【解析】试题分析：（1）由题意求得 ，然后根据集合的运算的定义求解即可；（2）由 可得 ，由此可得关于 的不等式，解不等式可得 。试题解析：（1）由 得 ，- 7 -解得 ， 。又 （2）由题意得 ，解得 .实数 的取值范围为 。18. 如图所示，定义域为 上的函数 是由一条射线及抛
8、物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.（1）求 的解析式；（2）若 关于的方程 有三个不同解，求 的取值范围；（3）若 ，求 的取值集合 .【答案】 （1） .;（2） ;（3） .【解析】试题分析：（1）由图象可知，当 时， 为一次函数；当 时， 是二次函数，分别用待定系数法求解析式；（2）当 时， ，结合图象可以得到当时，函数 的图象和函数 的图象有三个公共点，即方程 有三个不同解；（3）分 和 两种情况分别解方程即可。试题解析：- 8 -（1）当 时，函数 为一次函数，设其解析式为 ，点 和 在函数图象上，解得当 时，函数 是二次函数，设其解析式为 ，点 在函数图象上，
9、解得综上 .（2）由（1）得当 时， ， 。结合图象可得若方程 有三个不同解，则 。实数 的取值范围 .（3）当 时，由 得解得 ；当 时，由 得 ，整理得解得 或 （舍去）- 9 -综上得满足 的 的取值集合是 .19. 设函数 .（1）王鹏同学认为，无论 取何值， 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若 是偶函数，求 的值；（3）在（2）的情况下，画出 的图象并指出其单独递增区间.【答案】 （1）我同意王鹏同学的看法 ;（2） ;（3） 和【解析】试题分析：（1） （举特例）若 为奇函数，则有 ，整理得，由于此方程无解，故 不可能是奇函数；（2）由 得 ,解得；（3）
10、画出图象如图，由图象得单调递增区间是 和 。试题解析：（1）我同意王鹏同学的看法，理由如下：若 为奇函数，则有 ，显然 无解，所以 不可能是奇函数（2）若 为偶函数，则有,解得 ，此时 ，是偶函数.（3）由（2）知 ，其图象如图所示- 10 -其单调递增区间是 和 .20. 某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下：月份 月 月 月数量（万件）为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份 的关系.模拟函数可选择二次函数 （ 为常数，且 ）或函数（ 为常数）.已知 月份该产品的产量为 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.【答案】
11、选用 作为模拟函数更好【解析】试题分析：根据题意可分别求得函数函数 和函数 的解析式，然后判断当 时的函数值与 1.37 的接近程度，选择更接近于 1.37 的函数作为模拟函数。试题解析：设 ，由题意得解得 ，所以 。设 ，由题意得解得所以当 时，可得 ，- 11 -由于 更接近于 ，故选用 作为模拟函数更好.点睛： （1）建立函数模型的关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（2）求解函数模型时主要是研究函数的单调性、求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，解题时注意发挥函数图像
12、的作用。21. 已知函数 是 上的奇函数，且 .（1）求 的解析式；（2）判断 的单调性，并加以证明；（3）若实数 满足 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 在 上递增;证明见解析； （3）【解析】试题分析：（1）由函数为奇函数和 得到关于 a,b 的方程组，解得 后可得解析式；（2）用单调性的定义证明即可；（3）将原不等式化为 ，由于函数是 上的增函数，可得 ，解得 即为所求。试题解析：（1）由已知得 ,解得（2）设 ，且 ，则- 12 -，又，在 上单调递增。（3） , ,函数 为奇函数， ，又函数 在 上为增函数，即解得 .实数 的取值范围为 .点睛：（1）本题是函数性质的综合
13、运用，在解题中要熟练掌握函数奇偶性、单调性的的判定及性质，对于单调性的证明要掌握规范的解题步骤。（2）在解含“f”号得不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内22. 对于函数 ，若存在一个实数 使得 ，我们就称 关于直线 对称.已知 .（1）证明 关于 对称，并据此求： 的值；（2）若 只有一个零点，求 的值.- 13 -【答案】 （1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）分别求得 ，验证 即可证明 关于对称，利用性质 可得 ，从而求得,将 代入解析式可得 ，即为所求；（2）由（1）知 关于 对称，且 只有一个零点，则这个零点一点就是，由 解得 ，验证 符合题意。试题解析：（1）又 ，函数 的图象关于 对称。由题意知（2）由（1）知 关于 对称，且 只有一个零点，则这个零点一定就是 ，解得当 时，时， 时，故当 时函数只有一个零点，符合题意. 。点睛：（1）解决新定义问题的关键是深刻理解新定义的含义，并在新信息的基础上进行应用解决问题，这类题考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力。（2）在本题（2）中，由函数 关于 对称，且 只有一个零点，得到这个零点就是- 14 -是解题的关键。
