1、高三理数 1 南阳一中 2019 年春期高三第十九次考试 理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1若集合 ，则（ ） A B C D 2如图，边长为 a 的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为 ( ) A B C D 3下面是关于复数 的四个命题，其中的真命题为（ ） ; ; 的共轭复数为 ； 的虚部为 i. A , B C D 4等差数列 中， 为前 项和，已知 ，若 ，则 的值为（ ） A B C D 5若 是 上的奇函数，且 ，则 是 的（ ）
2、 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6多项式 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数是（ ） A B C D 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A 11+ 2 12 B 11+ 2 122 C (6 2) 1 D 1(6 2) 2高三理数 2 8如果执行下边框图，则输出的数 与输 入 的 的关系是（ ） A B C D 9若函数 ( ) sin ( )f x A x (其中 A0， 2 )图象的一个对称中心为 ,03，其相邻一条对称轴方程为 712x ，该对轴处所对应的函数值为 -1，为了得到 ( ) cos2g x x 的图象，
3、则只要将 ()fx的图象 ( ) A向右平移 6 个单位长度 B向左平移 12 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向右平移 12 个单位长度 10已知 F 为抛物线 的焦点，点 A， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， 其中 O 为坐标原点 ，则 与 面积之和的最小值是 A B 3 C D 11设 ， ，则（ ） A B C D 12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件 .为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码 ”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 .如图是一个数表，第 1 行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这
4、两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数 ：第 2017 行的第 项为 2 的正整数幂 .已知 210=1024，那么该款软件的激活码是（ ） A 1040 B 1045 C 1060 D 1065 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。 高三理数 3 13已知点 A， B在圆 22:1O x y上，若 23AOB ，则 2OA OB =_ 14.设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 _ 15设双曲线 ： 的右焦点为 ，直线 为双曲线 的一条渐近线，点 关于直线 的对称点为 ，若点 在双曲线 的左支上，则双
5、曲线 的离心率为 _ 16在三棱锥 A-BCD 中，已知 AD BC， AD=6， BC=2， AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥 A-BCD体积的最大值是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。 17在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a,b,c， （ ）求角 A 的大小； （ ）若 ABC 的面积 25 34ABCS ，且 5a ，求 bc . 18如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， AC=BC， 90ACB ， D 是 1CC 的中点 （ I）求证：平面 1ADB 平面 11ABBA ； （ II）若异面直线 11AB 与 1BC 所成角为
6、60 ，求平面 1ADB 与平面 ABC 夹角的余弦值 . 19为调查某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集 100 位学生每周课外阅读时间的样本数据（单位：小时） .根据这 100 个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图（如图） . （ 1）估计这 100 名学生每周课外阅读的平均数 和样本方差 （同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （ 2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 . 高三理数 4 求 ； 若该校共有 10000 名学生，记每周课外阅读时间在区间 的人数为 ，试求 . 参数数据
7、： ，若 ， ，. 20已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，原点到过点， 的直线的距离是 1 求椭圆 的方程； 2 设动直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点 ，过 作 的垂线与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上，并求出定直线的方程 21已知函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)设 ，对任意的 ，关于 的方程 在 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围 (其中 为自然对数的底数 ). 选考题；共 10 分。请考生在第 22、 23 题中人选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。 22在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ,以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直
8、线 的参数方程为 （ t 为参数 ). （ 1）写出曲线 的参数方程和直线 的普通方程； （ 2）已知点 是曲线 上一点，点 到直线 的最小距离为 ，求 a 的值 23.已知函数 ( ) | | | 2 |f x x a x 。 （ 1)当 3a 时，求不等式 3)( xf 的解集； （ 2）若 |4|)( xxf 的解集包含 1， 2，求 a 的取值范围。 高三理数 5 高三第十九次考试理数 参考答案 一、选择题 1.【考纲要求】能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 由题意，可得 .故选 B. 2 C(考纲要求）了
9、解几何概型的意义，能用模拟方法估计概率。 如图，设圆的半径为 ，连接三个圆的圆心，得到一个边长为 2 的正三角形， 且易得 ，则大等边三角形的面积为 ，阴影部分的面积为 ， 故所求概率为 .故选 C. 3.【考纲要求】了解逻辑联结词 “或 ”“且 ”“非 ”的含义；理解复数的基本概念，会进行复数代数形式的四则运算。 z 1+i， ： |z| ， ： z2 2i， ：z的共轭复数为 1-i， ： z的虚部为 1， 真命题为 p2， p3故选：A 4.【考纲要求】理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式；了解等差数列与一次函数的关系 由 ，可得 5 0， 又 2 0， k=19
10、 故选： C 5考纲要求：会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性、单调性；理解充要条件的意义 . A 函数 是奇函数 , 若 ，则 ，则 ， 即 成立 ,即充分性成立，若 ，满足 是奇函数，当 时 满足 ，此时满足 ，但 ，即必要性不成立， 高三理数 6 故 “ ”是 “ ”的充分不必要条件，所以 A 选项正确 . 6 A 的展开式中各项系数和为 3，令 x=1, （ 1+a） 3，解得 a 2 （ + ） ， 的展开式中常数项为 ，含 的项的系数为 （ + ） 的展开式中 项的系数是 2（ 12） +1（ 160） 184 故选： A 7.考纲要求：（ 1）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱
11、、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型。（ 2）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【答案】 A 由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成 该几何体的表面积 故选： A 8. 【考纲要求】：了解算法的含义，了解算法的思想。理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。 由程序框图可知， ，由 可得， 综上所述，故选 A。 9 【考纲要求】 了解 ( ) sin ( )f x A x的物理意义，能画出 ( ) sin ( )f x A x的图像，了解参数 ,A 对函数图像变化的影响。 【答案】 B 【解析】根据已知函数 ,其中 ， 的
12、图象过点 ， ， 可得 ， ， 解得： 再根据五点法作图可得 ， 高三理数 7 可得： ，可得函数解析式为： 故把 的图象向左平移 个单位长度，可得 的图象， 10.解析： 设直线 AB 的方程为： ， 点 ， ，直线 AB 与 x 轴的交点为 ， 代入 ，可得 ， 根据韦达定理有 ， ， ，从而 ， 点 A， B 位于 x 轴的两侧， ，故 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 ，又 ， ， 当且仅当 ，即 时，取 “ ”号， 与 面积之和的最小值是 ， 故选： D 11考纲要求：理解对数的运算性质，了解对数在简化运算中的作用；会用基本不等式解决问题 B 因为 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ，
13、所以选 B. 12. 【考纲要求】：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中作用。 由数表推得，每一行都是等差数列，第 行的公差为 ，记第 行的第 个数为 ，则2( ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 1 , 2 ) 2 ( 1 ,1 ) 2 nf n f n f n f n ， 即 ，算得 ，则 ，高三理数 8 又已知第 行的第 项为 的正整数幂，且 ，可推得 ，即该款软件的激活码是 ，故选 A 二、填空题 13 【考纲要求】 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 【答案】 【解析】由题可得 ，所以，所以 14. 【考纲要求】：了解二元一次不
14、等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的二元线性规划问题。 -8。 由图可知：当 过 时，在 轴截距最大 15. 考纲要求：掌握双曲线的简单性质 【详解】 如图：由点 关于直线 的对称点为 ，可知 FH OH，又 F(1,0)到渐近线 l:y= 的距离为，即 FH=b， OH=a， PF=2b， PE=2a，由双曲线的定义可知 2b-2a=2a， b=2a，又 c2 b2+a2 5a2， e 16.考纲要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【答案】 3 【解析】 过 作与 垂直的平面，交 于 ，过 作 的垂线，垂足为 ，如图所示： ， 则三棱锥 体积 故
15、 取最大值时，三棱锥 的体积也取最大值 由 ,可得 都在以 为焦点的椭球上， 因为平面 与 垂直，所以三角形 与三角形 全等，三角形 为等腰三角形， 所以只需 取最大值时，三棱锥 的体积也取最大值 在 中，动点 到 两点的距离和为 7，故 在以 为焦点的椭圆上， 高三理数 9 此时 ，故 的最大值为 ，此时 故三棱锥 的体积的最大值是 ,故答案为 3 三、解答题 17 【考纲要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角度量问题 【答案】 （ ） ； （ ） . 【解析】（ ） ， ， 由正弦定理得 ， 即 ， ， , . （ ） , , , , , 即. 18.考纲要求：（ 1）理解以
16、下判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ;如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。 （ 2）理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 （ I）证明：分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， 则 ， ，有 ，即四边形 是平行四边形 . ， ， ，又平面 平面 ， 平面 ， 而 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 . （ II）连接 ，由 知 是异面直线 与 所成角， ，易知 是正三角形 不妨设 ，则 ，取 为原点，直线 ， ， 分
17、别为 ， ， 轴，建立坐标系 ，显然平面 的一个法向量为 . 高三理数 10 由 ， ， 得， ， . 设 是平面 的法向量 . 则 ，取 . . 故平面 与平面 夹角的余弦值为 63 . 19（考纲要求）。会用样本的频率分布估计总体分布，理解用样本估计总体的思想。 （ 1） , +. （ 2） 由（ 1）知 X 服从正态分布 N（ 5.8， 6.16），且 2.5， P（ 0.8 X8.3） 0.8186； 依题意 服从二项分布，即 ， . 20. 考纲要求 : 1、 掌握点到直线距离公式 2、 能用解方程组的方法求两直线交点坐标 3、 掌握抛物线、椭圆的几何图形、标准方程及简单性质 【详解
18、】 1 由抛物线的焦点坐标为 ，得 ， 因此 ， 直线 AB： ，即 原点 O 到直线 AB 的距离为 ， 联立 ，解得： ， ， 椭圆 C 的方程为 ； 2 由 ，得方程 ， 由直线与椭圆相切，得 且 ， 整理得： ， 将 ，即 代入 式，得 ， 高三理数 11 即 ，解得 ， ， 又 ， ，则 ， 直线 方程为 ， 联立方程组 ，得 ， 点 Q 在定直线 上 21考纲要求：能利用导数研究函数的单调性，会求导数的单调区间；了解函数零点与方程根的联系；掌握数形结合思想 . （ 1） ， 当 时， ， 在 单调递增； 当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 此时 在 递增，在 递减 （ 2） ，所
19、以 ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 时， 的值域为 ， 当 ， 有两个不同的实数根，则 且满足 ， 由 ， ，又 ，解得 . 由 ， ， 令 ，知 单调递增，而 ，于是 时 ,解得 ， 高三理数 12 综上， 22. 考纲要求： 1.能在极坐标系中给出简单图形的方程，理解方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。 解析： (1)由曲线 的极坐标方程得： ， 曲线 的直角坐标方程为 : ，曲线 的参数方程为 ,（ 为参数）； 直线 的普通方程为： . (2)设曲线 上任意一点 为 ，则 点 到直线 的距离为 当 a-1
20、0，即 a 时， = ，解得， a=3 或 a=-5 a=3 当 a-1 0，即 a 时， = ，解得， a=-1 或 a=7 a=-1 综上， a=3 或 a=-1 23.考纲要求：理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义求解或证明不等式 【解析】（ 1）当 3a 时， 5 2 ( 2 )( ) | 3 | | 2 | 1 ( 2 3 )2 5 ( 3 )xxf x x x xxx 。 所以不等式 3)( xf 可化为 25 2 3x x，或 2313x ，或 32 5 3xx 。 解得 1x ，或 4x 。因此不等式 3)( xf 的解集为 |1xx 或 4x 。 来源 :学科网 （ 2）由已知 |4|)( xxf 即为 | | | 2 | | 4 |x a x x ， 也即 | | | 4 | | 2 |x a x x 。 来源 :学科网 ZXXK 若 |4|)( xxf 的解 集包含 1， 2，则 1,2x ， | | | 4 | | 2 |x a x x ， 也就是 1,2x ， | | 2xa，所以 1,2x ， 22xaxa ，从而 1222aa ， 解得 30a 。因此 a 的取值范围为 3,0a 。
