1、东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 若集合 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ， ，则 等于 .故选 C.2. 下列函数中为偶函数的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于 A： 关于 对称，所以不是偶函数；对于 B： 是非奇非偶函数，因为定义域不关于原点对称；对于 C： 为奇函数，不符合题意；对于 D： 是偶函数；故选 D.3. 直线 l:y=kx+1 与圆 相交于 A，B 两点， ，则“k
2、=1”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件,【答案】A【解析】 直线 与圆 相交于 两点， 圆心到直线的距离 ，则 ，当 时， ，即充分性成立，若 ，则 ，即 ，解得 或 ，即必要性不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.4. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 S 值为A. 8B. 19C. 42D. 89【答案】C【解析】执行程序框图，输入， 第一次循环 第二次循环 第三次循环第四次循环 第五次循环 ，退出循环，输出 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题
3、时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知向量 a=（1，2），b=（0，-2）， c=（-1，） ，若(2a-b) c，则实数 =A. -3 B. C. 1 D. 3【答案】A【解析】向量 a=（1，2），b=（0，-2），则 2a-b=（2,6），若(2 a-b) c，则有 2=-6，所以 =
4、-3.故选 A.6. 已知 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , , ,所以 . 故选 D.点睛：本题利用指数函数，对数函数的性质比较大小，熟练掌握函数的单调性是关键.7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图是 （图中正方体的棱长为 ），三棱锥 的体积为，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，
5、宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙【答案】A【解析】因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和， 所以乙的阅读量大于
6、丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和 ，所以丁的阅读量大于乙阅读量且丁的阅读量大于丙的阅读量，这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故选 A. 【思路点睛】本题主要考查阅读能力，抽象思维能力、演绎推理以及命题之间的关系，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：由“甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和”得到“乙的阅读量大于丙的阅读量，
7、甲的阅读量大于丁的阅读量”.第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9. 复数 _.【答案】-2i【解析】 = .故答案为-2i.10. 双曲线 的渐近线方程为_.【答案】【解析】双曲线 中， ，所以双曲线 的渐近线方程为 .故答案为 .11. 若实数 满足 ，则 的最大值是_.【答案】-1【解析】由 可知可行域是由 A（0,0），B（0,3）C（1,1）围成的三角形，目标函数 得 y=2x+z,当直线过点 B 时可取得最大值为 3.故答案为 3.12. 在ABC 中， ， ，则 c=_，ABC 的面积为_.【答案】 (1). 6 (2). 【
8、解析】 ， ， 或 （舍） ，由 可得 ,.故答案为 b=6, ABC 的面积为点睛：本题主要是熟练掌握余弦定理的应用，已知一角及两边求第三边；三角形面积公式是 乘以两边长及夹角的正弦值.13. 函数 当 时， 的值域为_；当 有两个不同零点时，实数的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 或 ，【解析】当 时，由 ，可得 由 ，可得 ,所以当时， 的值域为 ；要使 有两个不同零点，分两种情况：（1） ， 有一个零点且 有一个零点，则 ；（2） ， 有两个零点且没有零点，则 ，综合（1）、 （2）可知当 有两个不同零点时，实数的取值范围为 或 故答案为 ， 或 .14. 设命题 P:已知
9、A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），D（1，-1），满足AMD=BMC 的所有点 M 都在 y 轴上.能够说明命题 P 是假命题的一个点 M 的坐标为_.【答案】【解析】如图，以原点 O 为圆心， 为半径的圆的两段弧： 上的点均满足AMD=BMC，可取 M ，满足AMD=BMC 但点 M 都不在 y 轴上.故答案为 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， .（）数列 和 的通项公式；（）设 ，求数列 前 n 项和.【答案】() ；() .【解析】试题分析：（）设等差数列 的公差为 d，等比数
10、列 的公比为 q因为 ，所以 解得 d=3又因为 ，所以 ，即可以得出数列 和 的通项公式；（）由（）知， 因此 ，由等差数列，等比数列的前 n 项和即可得出数列 前 n 项和.试题解析：（）设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 q因为 ，所以 解得 d=3又因为 ，所以 所以 （）由（）知， 因此数列 前 n 项和为 数列 的前 n 项和为 所以，数列 前 n 项和为 16. 已知函数 .（）当 时，求函数 在区间 上的最大值与最小值；（）当 的图像经过点 时，求的值及函数 的最小正周期.【答案】()最大值 2，最小值为 ；() 最小正周期 【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公
11、式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简可得 ，因为 ，所以 ，根据正弦函数的单调性与图象可得函数 在区间上的最大值与最小值；（2）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简可得 ，点 代入解析式可得 ，结合 即可得 ，进而可 试题解析：（1）当 时， .因为 ，所以 所以，当 ，即 时， 取得最大值 ，当 ，即 时， 取得最小值为 . （2）因为 ，所以 因为 的图象经过点 ，所以 ，即 所以 所以 因为 ，所以 所以 的最小正周期 17. “砥砺奋进的五年” ，首都经济社会发展取得新成就.自 2012 年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的
12、出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市 2012-2016 年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如 2012 年，北京城镇居民收入实际增速为 7.3%，农村居民收入实际增速为 8.2%）.（）从 2012-2016 五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于 7%的概率；（）从 2012-2016 五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过 7%的概率；（）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）【答案】() ；() ；()2014 年.【解析】试题分析：（
13、）设城镇居民收入实际增速大于 7%为事件 A，由图可知，这五年中有2012，2013，2014 这三年城镇居民收入实际增速大于 7%，由此能出城镇居民收入实际增速大于 7%的概率（）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超 7%为事件 B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过 7%的概率（）从 2014 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大试题解析：（）设城镇居民收入实际增速大于 7%为事件 A，由图可知，这五年中有 2012,2013,2014 这三年城镇居民收入实际增速大于 7%，所以 P(A)= .（）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超
14、 7%为事件 B，这五年中任选两年，有(2012,2013) ，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共 10 种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过 7%的为前 9 种情况，所以P(B)= .（）从 2014 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大.18. 如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，E 为 AD 的中点，四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD，ABAD，AB AP，CD=AD=2AB=2.（
15、）求证：平面 PAB平面 PAD；（）求四棱锥 P-ABCD 的体积；（）在棱 PB 上是否存在点 M，使得 EM平面 PCD？说明理由. 【答案】()证明见解析；() ；()答案见解析.【解析】试题分析：（1）由 根据线面垂直的判定定理可证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接 因为 为等边三角形， 为 中点，所以 因为平面 ，所以 ，由线面垂直的性质可得 平面 ，即 是棱锥 高，算出底面面积，利用棱锥的体积公式可得结果；（3）棱 上存在点 ，使得 平面 ，取 中点 ，连接由中位线定理及线面平行的判定定理可得 平面 ，可得平面 平面 再利用面面平行的性质可得结论.试题解析：（1） 因为 ， ， ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （2）连接 因为 为等边三角形， 为 中点，所以 因为 平面 ，所以因为 ，所以 平面 所以 在等边 中， ，所以 （3）棱 上存在点 ，使得 平面 ，此时点 为 中点取 中点 ，连接 因为 为中点， 所以 因为 平面 ，所以 平面 因为 为 中点，所以 因为 平面 ，所以 平面 因为 ，所以平面 平面 因为 平面 ，所以 平面 19. 已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求 的单调区间；（）若对于任意 ，都有 ，求实数的取值范围.求证：“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.
