1、全等三角形判定（提高）【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法“边角边” 、 “角边角” 、 “角角边” 、 “边边边”定理.2能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定 1“边角边”1. 全等三角形判定 1“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS” ）.要点诠释：如图，如果 AB ，A ，AC ，则ABCABAC. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.ABC2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，ABC 与ABD 中，ABAB，ACAD，BB，但ABC 与A
2、BD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定 2“角边角” 全等三角形判定 2“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ）.要点诠释：如图，如果A ，AB ，B ，则ABC .AB ABC要点三、全等三角形判定 3“角角边”1.全等三角形判定 3“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于 180可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条
3、件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC 和ADE 中，如果 DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC 和ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、全等三角形判定 4“边边边” 全等三角形判定 4“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS” ）.要点诠释：如图，如果 AB， AC， BC，则ABC .ABCBABC要点五、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件 可选择的判定方法一边一角对应相等 SAS AAS ASA两角对应相等 ASA AAS 两边
4、对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1“边角边”1、如图，AD 是ABC 的中线，求证：ABAC2AD【思路点拨】延长 AD到点 E，使 ADDE，连接 CE通过证全等将 AB转化到CEA 中，同时也构造出了 2AD利用三角形两边之和大于第三边
5、解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长 AD到点 E，使 ADDE，连接 CE在ABD 和ECD 中，ADBC ABDECD（SAS） ABCEACCEAE，ACABAE2AD即 ACAB2AD【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边要证明 ABAC2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段可利用旋转变换，把ABD 绕点 D逆时针旋转 180得到CED，也就把 AB转化到CEA 中，同时也构造出了2AD若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法
6、2、已知，如图：在ABC 中，B2C，ADBC，求证：ABCDBD【思路点拨】在 DC上取一点 E，使 BDDE，则ABDAED，所以 ABAE，只要再证出ECAE 即可【答案与解析】证明：在 DC上取一点 E，使 BDDE ADBC，ADBADE在ABD 和AED 中， BDA= AED CBABDAED（SAS） ABAE，BAED又B2CAEDCEACCEACAEECABAEECCDDECDBD【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决如图，要证明 ABCDBD，把 CDBD 转化为一条线段，可利用
7、翻折变换，把ABD 沿 AD翻折，使线段 BD运动到 DC上，从而构造出 CDBD，并且也把B 转化为AEB，从而拉近了与C 的关系. 举一反三：【变式】已知，如图，在四边形 ABCD中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，并且AE （ABAD） ，求证：BD180.12【答案】证明：在线段 AE上，截取 EFEB，连接 FC，CEAB，CEBCEF90在CBE 和CFE 中，CEBF =CBE 和CFE（SAS）BCFEAE （ABAD） ，2AE ABAD12AD2AEABAEAFEF，AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即 ADAF在AFC 和ADC
8、中 (AFDC角 平 分 线 定 义 ）AFCADC（SAS）AFCDAFCCFE180，BCFE.AFCB180，BD180.类型二、全等三角形的判定 2“角边角”3、如图，G 是线段 AB上一点，AC 和 DG相交于点 E.请先作出ABC 的平分线 BF，交AC于点 F；然后证明：当 ADBC，ADBC，ABC2ADG 时，DEBF.【思路点拨】通过已知条件证明DACC，CBFADG，则可证DAEBCF【答案与解析】证明： ADBC，DACCBF 平分ABCABC2CBFABC2ADGCBFADG在DAE 与BCF 中CDABFGDAEBCF（ASA）DEBF【总结升华】利用全等三角形证明
9、线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三：【变式】已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ和 NR的交点，且 MQNQ求证：HNPM.【答案】证明：MQ 和 NR是MPN 的高，MQNMRN90，又132490，3412在MPQ 和NHQ 中，12MQNPHMPQNHQ（ASA）PMHN类型三、全等三角形的判定 3“角角边”4、已知：如图， ， ， 是经过点 的一条直线，过点 、B 90ACBBCDCA分别作 、 ，垂足为 E、F，EDF求证： .【答案与解析】
10、证明： ， CDAEBF 90 , BACF在 和 中E （ ）BCFAS E【总结升华】要证 ，只需证含有这两个线段的 .同角的余角相BCFAE等是找角等的好方法.类型四、全等三角形的判定 4“边边边”5、如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BDCE，求证：BADCAE.【答案与解析】证明：在ABD 和ACE 中，ABCDEABDACE（SSS）BADCAE（全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证BADCAE，先找出这两个角所在的三角形分别是BDA 和CAE，然后证这两个三角形全等.
