1、0三角形复习内容通览1.了解三角形的有关概念，三角形的三边关系，三角形的分类；2.画任意三角形的角平分线、中线、高，掌握内角和定理；3.理解三角形的稳定性，掌握三角形的中位线的定义及性质；4.了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的条件；5.掌握等腰三角形的概念、性质与条件；理解等腰三角形的性质及判判定；6.了解直角三角形的概念，会应用直角三角形的性质及判定；7.掌握勾股定理及其判定与运用.能力举要1.能运用三角形的三边关系判定给定的三线段能否组成三角形；2.会利用三角形全等知识进行几何题目的证明；3.能运用等腰三角形的性质及判判定解决等腰三角形问题；4.会应用直角三角形的性质及判定；5.能用勾
2、股定理及其判定解决直角三角形问题.主要知识点总结1.一般三角形(1)三角形的分类按边分类 底 边 和 腰 不 等 的不 等 边 三 角 形三 角 形 等 边 三 角 等 腰 三 角 形形等 腰 三 角 形按角分类 斜 三 角 形 钝 角 三 角 形锐 角 三 角 形三 角 形 直 角 三 角 形(2)三角形的角：三角形的内角和等于 180;三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一内角.(3)三角形的边：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(4)三角形的心：三角形内角平分线的交点是三角形的内心，它到三边的距离相等；三角形的外心是三边中垂
3、线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，三角形的重心是三边中线的交点，它将三角形的中线分成两线段的比例关系是 1：2；三角形的垂心是三边高的交点。(5)三角形的主要线段：三角形的角平分线、三角形的高、三角形的中线；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.2.等腰三角形1;.相 等有 两 个 内 角 相 等有 两 条 边等 腰 三 角 形 判 定 ;1等 腰 三 角 形 性 质 它 是两 腰 相 等两 底 对 称 图 形 ， 有 条 对 称 轴 。角 相 等轴(1);2;360三 边 相 等每 个 内 角 都 是 度等 边 三 角 形 判 定 的 等 腰 三 角 形 。有 一 个 内 角
4、 是 度(), 60;3所 有相 等 都 是 度 且 是 等 腰（ ） 具 有 等 腰 三 角 形 的 性 质 ；等 边 三 角 形 的 性 质 三 边 三 角 ， 有 一 个 角 是 度它 是 ， 有 条 对 称 三 角 形轴 。对 图 轴称 形3.直角三角形的性质与判定 1;(2) ;390（ ） 有 一 个 角 为 度直 角 三 角 形 判 定 一 边 上 的 中 线 等 于 这 边 的勾 股 定 理 的 逆 定 理 。 一 半 ;() ;430 .（ ） 两 锐 角斜 边 上 的 中 线 ；直 角 三 角 形 性 质 （ ） 勾 股 定 理度 所 对 的 直 角 边和 为 度 等 于
5、斜 边 的 一 半两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方等 于 斜 边 的 一 半4.三角形的全等(1)能够完全重合的图形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等.(2)三角形全等的判定定理，用字母简写为 SAS,ASA,AAS,SSS,对于直角三角形全等的判定除了以上方法外，还有 HL.(3)全等三角形对应边上的中线相等,对应边上的高相等，对应角的平分线相等.角平分线中线高三角形的中位线定义性质判定全等三角形三角形的“分类”按边分按角分三角形的边角关系三角形三角形的“三线 ”【例 1】 如图 13-1，三角形纸片 ABC 中，A=65, B=75,将纸片的一角折叠，
6、使点 C 落在ABC 内，2若120，则2 的度数为 . AB C 12图 13-1【例 2】如图 13-2，点 C、E、B、F 在同一直线上，ACDF，ACDF，BCEF，ABC 与DEF 全等吗？证明你的结论.AB FECD【例 3】如图 13-3， ， ， ，求证：ABDCAE12BCE1 2BD【例 4】如图 13-4，DBAC,且 DB= AC,E 是 AC 的中点，求证：BC=DE.12ADB CE图 13-4【例 5】已知：如图 13-5，在 ABC 中， D 为 AB 边上一点， A=36， AC=BC，AC ABAD2A BCD图 13-5（1）试说明： ADC 和 BDC
7、都是等腰三角形；（2）若 AB=1，求 AC 的值； （3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了 8 个三角形，要求构造出的图形中有尽可能多的等腰三角形 （标明各角的度数）图 13-2图 13-33重要考点 1考查学生利用三角形的性质来解答题目是考试的一个考点，学生应注意它的应用【例 1】如图 13-7，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( ) (A)两点之间线段最短 （B）矩形的对称性（C）矩形的四个角都是直角 （D）三角形的稳定性重要考点 2综合三角形和平移平行线的知识来解决问题是考查三角形知识的又一种考法【例 2】如图 1
8、3-8， ABC 中， D 为 AC 边上的中点， AE BC， ED 交 AB 于 G，交 BC 延长线于 F，若 BG:GA = 3:1， BC = 10，则 AE 的长为 B C FDAEG图 13-8重要考点 3考查三角形中中位线的性质、勾股定理的应用是考试中常见的题型【例 3】如图 13-9，在高为 2 米，坡角为 30的楼梯上铺上地毯，地毯的长度至少应计划（ ）.图 13-9（A）4 米 （B）6 米（C） 米 （D） 米232【例 4】如图 13-11，将 BOD 绕点 O 旋转 180后得到 AOC，再过点 O 任意画一条与 AC、 BD 都相交的直线 MN，交点分别为 M 和
9、 N.试问：线段 OM=ON 成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由.图 13-74A CBDOMN图 13-11【例 5】如图 13-12，在 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，把 沿RtABC 906AEFABCA着 对折，使点 落在 上点 处，且使 EFEC（1）猜测 与 的数量关系，并说明理由A（2）求证：四边形 是菱形.EDFBDCEAF图 13-12【例 6】已知：如图 13-13， ABC 中， ABC=45， CD AB 于 D， BE 平分 ABC，且 BE AC 于 E，与 CD 相交于点 F， H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G.(!)
10、求证： BF=AC；(2)求证： CE= BF；12(3)CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论.AB CHGF ED图 13-135一选择题:1如图 13-14，有 A、B、C 三个居民区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.BAC图 13-14（A）在 AC、BC 两边高线的交点处（B）在 AC、BC 两边中线的交点处（C）在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处（D）在A、B 两内角平分线的交点处2下列说法中，正确的是（ ）.（A）两腰对应相等的两个等腰三角形全等（B）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等（C）两角及夹
11、边对应相等的两个三角形全等（D）面积相等的两个三角形全等3用两个全等的直角三角形一定能拼出的图形是（ ）.(A)等腰梯形 （B）直角梯形（C）菱形 （D）矩形4. 如图 13-15，ACD 和 AEB 都是等腰直角三角形，CADEAB90 0四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是( )(A)ACE 以点 A 为旋转中心，逆时针方向旋转 900后与 ADB 重合(B)ACB 以点 A 为旋转中心，顺时针方向旋转 2700后与 DAC 重合6(C)沿 AE 所在直线折叠后，ACE 与 ADE 量重合(D)沿 AD 所在直线折叠后，ADB 与 ADE 重台A DCBE图 13-155.下
12、列命题中，正确的命题是( ).(A)边长为 3，4，6 的三角形是直角三角形(B)三角形中各个内角的角平分线的交点是三角形的外心(C)三角形中各条边的中垂线的交点是三角形的重心(D)三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半6. 如图 13-16，已知 ABC 为直角三角形， C=90，若沿图中虚线剪去 C，则1+2 等于( )(A) 90 (B)135 (C)270 (D)315BC A12图 13-167.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25，则该三角形的一个底角为( )A. 32.5 B. 57.5C. 65或 57.5 D. 32.5或 57.5二、填空题：8如图 13-
13、17，在 66 的网格（小正方形的边长为 1）中有一个三角形 ABC，则三角形 ABC 的周长是 （精确到 0.001）.9 .如图 13-20，在 ABC 中， AD BC 于 D.请你再添加一个条件，就可以确定 ABC 是等腰三角形.你添加的条件是 .AB CD图 13-2010.如图 13-21，对面积为 1 的 ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 AB、 BC、 CA 至点7A1、 B1、 C1，使得 A1B=2AB， 顺次连接 A1、 B1、 C1，得到 A1B1C1，记其面积为 S1；112,CA第二次操作，分别延长 A1B1、 B1C1、 C1A1至点 A2、 B2、
14、 C2，使得 A2B1=2A1B1， B2C1=2B1C1， C2A1=2C1A1，顺次连接 A2、 B2、 C2，得到 A2B2C2，记其面积为 S2；按此规律继续下去，可得到 A5B5C5，则其面积 S5= .1A1BABC图 13-2111.若 a、 b、 c 是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是 h，给出下列结论： 以 a2， b2， c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形 以 ， ， 的长为边的三条线段能组成一个三角形 以 a + b， c + h， h 的长为边的三条线段能组成直角三角形 以 ， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形.1其中所有正确结论的序号为 三、解
15、答题：12.如图 13-22，在一次实践活动中，小兵从 A 地出发，沿北偏东 45方向行进了 千米到达 B 地，然后35再沿北偏西 45方向行进了 5 千米到达目的地点 C.(1)求 A、C 两地之间的距离；(2)试确定目的地 C 在点 A 的什么方向？东BCA北45图 13-2213.如图 13-23，在 ABC 中， AB =AC， ABC=90.F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上， BE = CF，连接 AE、 EF 和 CF.（1）求证： AE=CF；18（2）若CAE=30，求 EFC 的度数.A FCEB图 13-2314. 如图 13-24，已知 BE AD， CF
16、 AD，且 BE CF请你判断 AD 是 ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由AB CDFE图 13-2415.如图 13-25，在等边 中，点 分别在边 上，且 ， 与 交于ABC DE， BCA， DAEC点 F（1）求证： ；DE（2）求 的度数AB CDE图 13-2516.如图 13-26， ABC 中， E、 F 分别是 AB、 AC 上的点 AD 平分 BAC， DE AB， DF AC，9 AD EF以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ， ， （1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答） ；（2）请证明你认为正确的命题AB CFEDG图 13-
17、2610复习策略 1（针对性训练 17 题）1现有长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形个数是（ ）.（A）1 个 （B）2 个（C）3 个 （D）4 个2如图 13-27，等腰三角形 ABC 中，A44，CDAB 于 D，则DCB 等于（ ）.（A）44 （B）68（C）46 （D）22B CAD图 13-273.用 10 根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不许剩余、重叠和折断） ，这个三角形一定是（ ） 。（A）等边三角形 （B）直角三角形（C）等腰三角形 （D）不等边三角形4已知 a,b,c 为 ABC 的三条边，化简 +|b-a-c| .(a-
18、b-c)25如图 13-28，OAOB,OC=OD, O=60, C=25,则BED 等于 度.D CABEO图 13-286如图 13-29，已知ABC 中，ABAC，BAC120，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交BC 于点 F，求证：BF2CF.BAECF图 13-297如图 13-30，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点，当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点，已知BAC60，DAE45，点 D 到地面的垂直距离 DE m，求点 B 到地面的垂直距离 BC.2311C A EDB60 45图 13-30复习策略 2（针对性训练 8
19、12 题）8如图 13-31，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6cm，BC8cm，现将直角边 AC 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长. BEACD图 13-319如图 13-32，点 E 在 AB 上，ACAD，BCBD，图中有 x 对全等三角形，则 x 的值为（ ）.ACBDE图 13-32（A）4 （B）3 （C）2 （D）110如图 13-33，在ABC 与DEF 中，给出以下六个条件：AB=DE;BC=EF;AC=DF;A=D;B=E;C=F,以其中三个条件作为已知，不能判断ABC 与DEF 全等的是（ ）.BA DFEC图 13-33（A） （B）1
20、2（C） （D） 11如图 13-34,已知ABD 和ACE 均为等边三角形,那么ADCAEB 的根据是（ ）. （A）边边边; （B）边角边;（C）角边角; （D）角角边.B CEAD图 13-3412如图 13-35 小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办呢？请帮助小明想出一个办法来，并说明你的理由.图 13-35AB13如图 13-36 所示的 22 方格中，连结 AB、AC,则12 度。ABC12图 13-36复习策略 3（针对性训练 1416 题）14如图 13-37，ABC 中，ABC45，ADBC 于 D，点 E 在 AD 上，且 DECD.求证：BEAC. B D CAE图 13-371315已知 abc 是直角三角形的三条边, c 是斜边,且 abc 都是正整数,当 a=5 时, bc 只能是 1213;当 a=7 时, bc 只能是 2425; 当 a=9 时, bc 的值可以时 4041或 1215,你能求出 a=6 时, bc 的值吗?16.已知,如图 13-38,等腰直角三角形 ABC 中, ACB=90, 直线 经过点 C,AD ,BE ,ll垂足分别为 DE.求证: ACDCBE(以下两个不同的图形所得的结论相同,请你选择其中一个图形加以证明).AD C EB31 2ACD BEll图 13-38
