1、北京师范大学附属实验中学 12 月高三月考试题数学(理科)第卷(选择题 共 40 分)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选中符合题目要求的一项1已知全集 UR,集合 2|1Ax ,则 UA( ) A (,1)B (,)C (1,)D (,1)(,)【答案】B【解析】解:集合 2|1|Axx 或 x , |1UAx故选 2在平面直角坐标系 xOy中,已知 (0,), (,1)A, (,3)B,则 OAB的值为( ) A 1B 31C D 31【答案】B【解析】解: =(0,), (,), 31O故选 3已知数列 na的前 项和 12nnS,则
2、3a( ) A 1B C 4D 8【答案】D【解析】解: 43432()(2)28aS故选 4为了得到函数 sincoyx的图像,只需把 sincoyx的图像上所有的点( ) A向左平移 4个单位长度 B向右平移 4个单位长度C向左平移 2个单位长度 D向右平移 2个单位长度【答案】C【解析】解:由 sinco2sin4yxx, sincosin4yxx,因此,为了得到 sincoyx的图像,只需将 sincoyx的图像上所有的点向左平移 2个单位长度故选 C5 “ 0t ”是“函数 2()fxt在 (,)内存在零点 ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分
3、也不必要条件【答案】A【解析】解:当函数 2()fxt在 (,)内存在零点时,有 240t ,即 4t 或 0t ,所以“ ” 是 “函数 2()ft在 (,)内存在零点 ”的充分而不必要体条件故选 A6已知函数 1,0()xf ,则不等式 (1)xf 的解集为( ) A ,B (,C ,2D 1,【答案】D【解析】解: 1,0()xf , ,(1)xfx ,当 时, ()1fx , 1x,当 时, ()1fx , ,综上所述, (1)f 的解集为 ,故选 D7已知直线 :1()lykxR,若存在实数 k,使直线 l与曲线 C交于两点 A、 B,且 |k,则称曲线 C具有性质 P,给定下列三条
4、曲线方程: |y; 210xy; 其中,具有性质 P的曲线的序号是( ) A B C D【答案】D【解析】解: |1|yx与直线 l至多一个交点,故不具性质 P 20x,圆心为 (,),半径为 1,直线 1ykx过定点 (1,),故存在 k,使直线 l与曲线 C交于 A、 B两点,且 |A,具有性质 2y过点 (1,),直线 :1ykx过定点 (,),故存在 ,使得直线 l与曲线 交于 、 两点,且 |k,具有性质 P综上,具有性质 P的曲线的序号是故选 D8甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在 1、 2、 3、 4、 5号房间,现已知:( 1)甲与乙不是邻居;( 2)乙的房号比丁小;( 3)
5、丙住的房是双数;( 4)甲的房号比戊大 3根据上述条件,丁住的房号是( ) A 2号 B 号 C 4号 D 5号【答案】B【解析】解:根据题意可知, 1、 2、 3、 4、 5号房间分别住的是乙、戊、丁、丙、甲,故丁住的房号是3故选 第卷(非选择题 共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9设 aR,若复数 (1i)+a在复平面内对应的点位于实轴上,则 a_【答案】 【解析】解:复数 (i)=()1i,因为该复数在复平面内对应的点在数轴上,所以 10a故 10设 2log3a, 4l6b, 6log9c,则 a、 b、 c从大到小的顺序为_【答案】 c【解析
6、】解: 2l, 4221lll6, ab,8221log9llog393c, ba, 11在 ABC 中,点 M为边 AB的中点,若 OPM ,且 (0)PxOAyBx,则 yx_【答案】 1【解析】解: 是 的中点, ()2OAB,又 1()PMOxAyOB, 2x, y, 112双曲线2:1xCy的离心率为_;若椭圆21(0)xya与双曲线 C有相同的焦点,则a_【答案】 62;【解析】解:双曲线2:1xCy,焦点坐标为 (3,0), (,),双曲线的离心率 362e,椭圆的焦点与双曲线的焦点相同, 21a, 13已知点 (2,)Pt在不等式组 403xy ,表示的平面区域内,则点 (2,
7、)Pt到直线 3410xy距离的最大值为_【答案】 4【解析】解:点 (2,)Pt在不等式组 403xy ,表示的平面区域内, 2403t ,解得 1t ,点 P到直线 40xy的距离 |164|5td, (21)t ,当 1t时,点 到直线 30xy的距离最大, max4d14设 aR,定义 为不小于实数 x的最小整数(如 , 3) ,若 nZ,则满足n的实数 的取值范围是_;若 aR,则方程 12x的根为_【答案】 (,0; 4【解析】 an, n ,故 ,设 12xkZ,则 214kx, 23314kx,原方程等价于 ,即 2314k ,从而 72k , 5或 ,相应的 x为 94, ,
8、故所有实根之和为 7三、解答题:本大题共 6小题,共 80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数 2()sinco2fxx()求 8f的值()求函数 ()fx的最小正周期及单调递减区间【答案】见解析【解析】解:()函数 2()sinco2fxx1cos2inxi14, 2sin188f ()由()可得: ()2sin14fxx, ()fx的最小正周期 T,令 3224kk ,则 3588x , Z,函数 ()f的单调递减区间为 35,8k, ()kZ16在 ABC 中,角 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c,设 3A, siniBC()若 7a,求 b的值()求
9、tn的值【答案】见解析【解析】解:() sin3iBC,由正弦定理可得: bc,由余弦定理可得: 22osaA, 3, 7a, 27bc,273,解得 b() 3A, 2BC, sin3sin,即: 1coii2C, 35sinC, ta17已知定圆 22:(3)4Cxy,定直线 :360mxy,过 (1,)A的一条动直线 l与直线 m相交于 N,与圆 相交于 P, Q两点, M是 P中点 ()当 l与 m垂直时,求证: l过圆心 C()当 |23PQ,求直线 的方程()设 tAMN,试问 t是否为定值,若为定值,请求出 t的值;若不为定值,请说明理由【答案】见解析【解析】解:()由已知 13
10、mk,故 lk,直线 l的方程为 3()yx,将圆心 (0,)C代入方程 1成立,故 l过圆心 ()当直线 l与 x轴垂直时,易知 x符合题意,当直线 l与 轴不垂直时,设直线 l的方程为 (1)ykx, |23PQ, |1CM,即 2k,解得 43,此时, (1)yx,即 430,故直线 l的方程为 x或 430y()当 与 轴垂直时,易得 (1,)M, 5,3N,又 (1,0)A,则 (0,3), 0,A,故 5MN,即 t,当 l的斜率存在时,设直线 l的方程为 (1)ykx,代入圆的的方程得: 222(1)(650kx,则216kx, 123Mk,23(1)Mkykx,即223,1Mk
11、, 22,A,又由 ()60yx得 365,1kN, 则 5,13kAN,故 tM2255()(1)313kk2()k5,综上所述, t的值为定值,且 5t18已知函数 21()4fx, ()ln(2e)gx()求函数 y的最小值()是否存在一次函数 ()hx,使得对于 (0,)x,总有 ()fxh ,且 ()xg 成立?若存在,求出 ()hx的表达式;若不存在,说明理由【答案】见解析【解析】解:() ()yfxg的定义域为 |0x, 21()ln(e)4yxgx,214xy,易知 0时, 0y, 12x时, 0y, ()yfxg在 ,上单调递减,在 1,2上单调递增,当 12时, ()yfx
12、g取得最小值为 0()由()知, 182f,所以 12h,故可证 ()2kx,代入 ()fxh ,得 2104k 恒成立, 2() , 1k, hx,设 ()ln(2e)G,则 1()2Gx,当 102x时, ()0Gx,当 12时, ()0Gx, ()在 ,上单调递减,在 ,上单调递增, 1()02x ,即 hg 对一切 x恒成立,综上,存在一次函数 ()h,使得对于 (0,)x,总有 ()fxh ,且 ()x , 19已知椭圆2:1xyCab过点 (2,0)A, (,1)B两点()求椭圆 的方程及离心率()设 P为第三个象限内一点且在椭圆 C上,直线 PA与 y轴交于点 M,直线 PB与
13、x轴交于点 N,求证:四边形 ABNM的面积为定值【答案】见解析【解析】解:()椭圆2:1xyab,过点 (2,0)A, (,1)B两点, 2a, 1b, 3c,椭圆 C的标准方程为214xy,离心率 32cea()设 P点坐标为 00(,),)xy,则直线 PB的方程为 01yx,N点坐标为 0,1,直线 PA的方程为 0(2)yx,M点坐标为 02,yx,则 012ABNSy , 0021MNAxyS ,所以 ABNABMS 002121xy20()yx200044812xy,又2014xy, 20,代入得: 00482ABNMxyS00)4(21xy故四边形 ABN的面积为定值 220若
14、无穷数列 na满足:只要 (,*)pqaN,必有 1pqa,则称 na具有性质 P()若 具有性质 P,且 1, 2, 43, 52, 67821,求 3()若无穷数列 nb是等差数列,无穷数列 nc是公比为正数的等比数列, 5bc, 518c,nnabc判断 a是否具有性质 ,并说明理由()设 是无穷数列,已知 1si(*)nnabaN,求证:“ 对任意 1a, n都具有性质 P”的充要条件为“ n是常数列” 【答案】见解析【解析】解:() na具有性质 P,已知 25a, 36a, 47, 58, 7834,又 4, 52, 6821a, 31a()设 nb公差为 d, nc公比为 0q, 51480, 2d, 9nb, 4518cq, 3,51nc,512093nnnab,