1、2017 届北京西城 35 中高三上学期 12 月月考数学(理)试题(解析版)一、选择题:1若集合 |23Mx, 1|2xN,则 MN( ) A (3,)B (,)C 1,3)D (2,1【答案】C【解析】1|2|10|xNxx , |3 故选 C2设命题 :pn, 2n,则 p为( ) A , B N, 2n C N, 2n D N, 2n【答案】C【解析】特称命题的否定需将特称量词变为全称量词,同时否定结论,所以命题 :pnN, 2n,则 p为 n, 2n 故选 3极坐标方程 cos和参数方程123xty( 为参数)所表示的图形分别是( ) A直线、直线 B圆、圆 C直线、圆 D圆、直线【
2、答案】D【解析】极坐标方程 cos化为直角坐标方程为20xy,表示圆,参数方程123xty,化为普通方程为 310xy,表示直线故选 D4为了得到函数lg10xy的图象,只需要把函数 lgyx的图象上所有的点( ) A向左平移 3个单位长度,再向上平移 1个单位长度B向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度C向左平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度D向右平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度【答案】C【解析】函数3lgl()110xy,所以为了得到l的图象,只需把函数 lgyx的图象上所有的点,向左左平移 3个单位长度,再向下平移 1个单位长度故选 C5已知两条直线 m, n,两个平
3、面 , ,给出下面四个命题: n , , m, nmn , , , 其中正确命题的序号是( ) A B C D【答案】C【解析】若 mn , ,则 n ,正确;若 , , ,则 m 或 , n异面,错误;若 , ,则 或 ,错误;若 , n , ,则 ,正确综上,正确命题的序号为,故选 C6已知数列 na中,其前 项和为 nS,且 , na, S成等差数列 ()nN,则 4a( ) A 1B 4C 7D 15【答案】D【解析】 , n, S成等差数列, 2na,当 1时, 11, a,当 时, nnS, 12na,即 12, (), n是以 为首项, 为公比的等比数列, 12na, 1na,4
4、5故选 D7设函数2sin3yx的图象为 C,下面结论中正确的是( ) A函数 ()f的最小正周期是 2B图象 C关于点,06对称C图象 向右平移 2个单位后关于原点对称D函数 ()fx的区间,1上是增函数【答案】B【解析】 A项 ()fx的最小正周期2T,故 A项错误;B项2sin0663f,所以 ()fx的图象关于点对称,06对称,故 B项正确;C项()ifxx向右平移2个单位后得到2sin3yx的图象,不关于原点对称,故 C项错误;D项,12x时,,3x,当,3,即5,12时, ()fx单调递增,当22,x,即,x时, ()f单调递减,故 D错误综上,故选 B8直线 3yx绕原点逆时针旋
5、转 90,再向右平移 1个单位,所得到的直线( ) A1B13yxC 3yxD13yx【答案】A【解析】直线 3yx绕原点逆时针旋转 90的直线13,将13再向右平移 1个单位得到1()yx,即1故选 A9已知 ()fx是定义在 R上的奇函数,当 0x时,2()4fx,则不等式 ()0xf的解集为( ) A ,4,)B (4,)(,)C ,(0,)D 4,【答案】A【解析】 ()fx是定义在 上的奇函数,当 0x时,2()4fx,当 0时, (4),当 x时,2()04ffx,当 时, ()()0xxx,不等式 ()0f的解集为 ,4,故选 A10在空间直角坐标系 Oxyz中,一个四面体的顶点
6、坐标分别是 (0,2), (,0), (1,2), (,),则该四面体的体积为( ) A 2B43C 3D 3【答案】D【解析】123V故选 D二、填空题:11已知平面量 (2,1)a, (,3)b,若向量 ()ab,则实数 的值是_【答案】 5【解析】 (,), (,), 213ab, () , ()0ab, ,解得, 512已知方程240xym表示圆,则 的取值范围为_【答案】 (,5)【解析】若方程2xy表示圆,则 4160m,解得 5,故 的取值范围为 (,5)13一平面截一球得到直径是 6cm的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是_【答案】53【解析】球的半径为264
7、5,故球的体积为340514如图中的曲线为2()fx,则阴影部分面积为_【答案】83【解析】021048()d()3Sfxfx 15已知 x、 y满足以下约束条件503yx ,使 (0)zxay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为_【答案】 1【解析】 zxay,则1xza, 为直线1zyxa在 y轴上的截距,要使目标函数的最优解有无穷多个,则截距最小时的最优解有无数个, 0a,把 平移,使之与可行域的边界 AC重合即可, 1, 3555ABCOy x16在 ABC 中,角 , B, C的对边分别为 a, b, c,若 13a, 4c, 60A,则b_【答案】 1或 3【解析】由余弦定理可得
8、 22cosabA,将 a, 4c, 60A,代入得 430b,解得 1b或 317已知向量, b满足 |1a且,5,则 a与 的夹角为_【答案】 120【解析】 |a且34,5,2()|cos1bb,1cos, 018如图,已知边长为 4的正方形 ABCD, E是 边上一动点(与 B、 C不重合) ,连结 AE,作EFA交 BCD 的外角平分线于 F设 x,记 ()fEF,则函数 ()fx的值域是_ FDAB C【答案】 (0,4【解析】如图,作 FGBC ,交 延长线于 G,则 C,易证得 AEF ,ABE,设 Fm,则 4Cxm,4x,()(4)2cos(4)fECxx,由题知 0x,所
9、以 0(f ,故 ()f的值域是 (,E GCBA DF三、解答题:19已知圆 过点 (0,1), 3,4),且圆心 C在 y轴上( 1)求圆 C的标准方程( 2)若过原点的直线 l与圆 无交点,求直线 l斜率的取值范围【答案】见解析【解析】 ( )圆心 在 y轴上,可设 的标准方程为22()xb, C过点 (0,1)和点 (3,4),223(4)b,解得 2, 的标准方程为 (3)4xy( 2)设过原点的直线 l的方程为 kx,即 0y, l与圆 C无交点,圆心 (0,)到直线 l的距离大于 , 231k,解得5220已知向量 (sin,)ax, (1,cos)bx互相垂直,其中0,2x(
10、1)求 si, co的值( 2)若 5cos()35cosx,02,求 cos的值【答案】见解析【解析】 ( 1) ab, sin2cos0abx,即 sin2cosx,又 i,,,5snx,5cosx( 2) ()(csin)xcsin3 ino,又 22sis1,02,co21已知等比数列 na中, 1, 48a( 1)求数列 的通项公式( 2)若 3, 5分别为等差数列 nb的第 6项和第 项,求 123|(*)nbbN 【答案】见解析【解析】 ( 1)在等比数列 na中, 1, 48a, q,数列 na的通项公式为12n, *N( 2) 3, 5分别为等差数列 b的第 6项和第 8项,
11、 64b, , 86ba,设等差数列 n的公差为 d,则:1754db,解得, 12b, 6,等差数列 n的通项公式 1()32ndbn,当 时, 122| )9n ,当 6 时, 156(nbbb 2270(3970)3940n综上所述:21239,*| 40,nnN 22如图,在三棱柱 1ABC, 1A 底面 BC, A , 1CAB, E, F分别是棱 BC,1A的中点, G为棱 上的一点,且 F 平面 EG ( 1)求 1CG的值( 2)求证: 1EA ( 3)求二面角 的余弦值A1B1C1G FABCE【答案】【解析】 ( 1) 1F 平面 AEG,又 1CF平面 1A,平面 1CA
12、平面 EGA, CAG , F为 1的点,且侧面 1为平行四边形, 为 中点, 12C( )证明: 1A 底面 BC, 1A , 1AC ,又 B ,如图,以 为原点建立空间直角坐标系 xyz,设 2,则由 1可得 (2,0), (,20)B, 1(,2), 1(0,)A, E, G分别是 , 的中点, E, G, 1(,)2,0)CA, , 1 ( 3)设平面 EG的法向量为 (,)nxyz,则:0nA,即02xyz,令 1,则 , 2z, (1,),由已知可得平面 1的法向量 (0,)m,6cos,|nm,由题意知二面角 1AGE为钝角,二面角 1的余弦值为6zECBAFGC1B1A1xy
13、23设函数2()ln()fxaxR( 1)若 a,求函数 )f的单调区间( 2)若函数 ()f在区间 (0,1上是减函数,求实数 a的取值范围( 3)过坐标原点 O作曲线 )yfx的切线,证明:切点的横坐标为 1【答案】见解析【解析】 ( 1)当 a时,2()ln(0)fx,(2)1()xfx,令 ()0fx,则 2x,令 0fx,则12,函数 f的单调减区间为1,,单调增区间为,( 2)()xax, f在区间 0,1上是减函数, () 对任意 (,恒成立,即2ax对任意 ,恒成立,令1()g,则 min()agx ,易知 x在 (0,上单调递减, min()f, 1 ( 3)设切点为 (,)Mtf,1()2fxax,切线的斜率2kat,又切线过原点,()ft,()12ftat,即 22ln1atta, ln0t,存在性, t满足方程 2l0tt,所以 1是方程 1lnt的根唯一性,设2()1lntt,则1()20tt, 在 0,)上单调递增,且 (),方程 2ltt有唯一解 t综上,过坐标原点 O作曲线 ()yfx的切线,则切点的横坐标为 1