1、2019 全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当 时，若 与 是同阶无穷小，则0xxtankkA.1. B.2.C.3. D.4.2. 的拐点）（ 202cossiyA. B.,2,C. D., 23,3.下列反常积分收敛的是（）A. B.dxe0 dxe02C. D.21arctn214. c,baxCycby x-x 则的 通 解 为已 知 e)(21的值为（ ）A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,45.已知积分区域 ， ，2yx|,D）（ dxyID21， ，试比较 的大小dyxI22sindxyID)cos13321,IA. B.13I32IC.
2、 D.32I 16.已知 是二阶可导且在 处连续，请问 相切于 且曲率相等是)(xgf ax)(xgfa的什么条件？0)(lim2aaxA.充分非必要条件 B.充分必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件7.设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵，若线性方程组 的基础解系中只有 2 个向A*A0Ax量，则 的秩是*A.0 B.1C.2 D.38.设 是 3 阶实对称矩阵， 是 3 阶单位矩阵，若 ，且 ，则二次型AEEA24的规范形为xTA. B.2321y2321yC. D.22二、填空题9. lim()xx10.曲线 在 对应点处切线在 y 轴上的截距为sin1coty32t11.设
3、函数 可导， ，则()fu()yzfxzx12. 设函数 的弧长为lncos6y（ 0）13. 已知函数 ，则2i()xtfdt10()fxd14.已知矩阵 ， 表示 中 元的代数余子式，则123104AijA(,)ij12三、解答题：1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）已知函数 ，求01)(2xexf 的 极 值并 求 )()(xff16.（本题满分 10 分）求不定积分 .d)()63217.（本题满分 10 分）是微分方程 满足条件 的特解.(xy21xeyey)1(（1 ）求 )(xy（2 ）设平面区域 ，求 D 绕 x轴旋
4、转一周所)(y,xy,D021）（得旋转体的体积.18.（本题满分 10 分）已知平面区域 满足 ，求432|,.dyxD219.（本题满分 10 分）的图像与 x 轴所谓图形的面积，求 ，并求xfS,Nnxnsine)(是 nS.lim20.（本题满分 11 分）已知函数 满足 求 的值，使得在变)(y,xu,yuxyu032ba换 下，上述等式可化为 不含一阶偏导数的等式.byaxve)(v21.（本题满分 11 分）已知函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：),(yxf1,0 10)(,)(,)0(dxfff（1 ）存在 ，使得 ；)(f（2 ）存在 ，使得 .),(222.（本题满分
5、11 分）已知向量组（） ， ， ，41023213a（） ， ， ，若向量组（）和向量组（）等价，31aa12 23求 的取值，并将 用 线性表示.32,23.（本题满分 11 分）已知矩阵 相 似与 yBxA012021（1 ）求 ，yx,（2 ）求可逆矩阵 使得,PA12019 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）1.C 2.C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C9. 24e10. 311. z12. ln2113. )(cos414.15.解：当 时， .0x22ln2ln2=lnxxxxfe当 时， .11ex当 时， ，=xf，22ln0002lnlimi
6、imxxxef.001lili1xxef故 .2ln =exf x令 ，得 .0f12,（1 ）当 单调递减，,0xefxf当 单调递增，1,， +故 为极小值.21=ef（2 ）当 单调递增，0,xfxf-，当 单调递减，1,e故 为极大值.=f（3 ）当 单调递减，,10,xfxf当 单调递增，0,f-，故 为极小值.1=fe16.17.18. 23 33sin 544 403 32 244 411=sinsinco1cocos20rIdddd 19.20.解： ,axbyuxyve，2 22axbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyxyxyxyxyuveuvvveeey带入得 ，解
7、得 .430ab34ab21. 22.解：1231232222101,034+3+011aaa （1）当 ，即 时， ，此时两个向量23123,rr组必然等价，且 .3123=+（2）当 时，a1231230,012此时两个向量组等价， .3123=+kk（3）当 时， .=1a123123101,02此时两个向量组不等价.23.（ 1） 与 相似，则 ， ，即 ，解得AB()trAtB4182xy32xy（2 ） 的特征值与对应的特征向量分别为A， ； ， ； ， .1=102=1203=2314所以存在 ，使得 .123P,112PA的特征值与对应的特征向量分别为B， ； ， ； ， .1=202=1230=301所以存在 ，使得 .2123P,122PA所以 ，即112=A1122BPA其中 .1204P
