1、- 1 -绝密启封前2017 全国卷高考压轴卷理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分.考试时间为 120 分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5
2、分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合 2|0,|(0,1),xMxNyaR表示实数集，则下列选项错误的是A NB RC RMD CN2.复数 12,z在复平面内对应的点关于直线 yx对称，且 132zi，则 12z（）A 53i B 1253i C 5i D 53i3.将三颗骰子各掷一次，记事件 A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个 6 点”，则条件概率 P（A|B）是（ ）A. B. C. D.4.曲线 ysin x，ycosx 与直线 x0，x 所围成的平面区域的面积为( )2A (sinxcosx )dxB2 (sinxcosx)dxC (cosxs
3、inx)dxD2 (cosxsin x)dx5.按右图所示的程序框图，若输入 10a，则输出的 b( )- 2 -A. 45 B. 47 C. 49 D. 516 九章算术是我国古代内容极为丰富 的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈， 上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何? ”其意思为：“ 今有底面为矩 形的屋脊状的锲体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少?”已知 l 丈为 10 尺， 该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为A10000 立方尺 B1 1000 立方尺C 12000 立方尺 D13000 立方尺7.设 nS是等差数列
4、a n的前 n 项和，若 3184S，则 168等于A. 91B.103C. D.8.已知 O是 ABC 所在平面内一点， D为 BC边中点，且 02OCBA，那么（A） D（B） 2O（C） 3D9.已知点 P（ x,y)满足41yx，过点 P 的直线与圆 214xy相交于 A、B 两点，则 |的最小值为（ ）A2 B 26C 25D410.已知 1,F是双曲线 :1(0,)xyCab的两个焦点， P是 C上一点，若 21|8PFa，且 2P的最小内角为 30，则双曲线 的离心率是A. B. 2C. 3D. 311 数列a n的通项公式为 an= 1()n，关于a n有如下命题：P1： an
5、为先减后增数列；P2：a n为递减数列；P3： *,nNaeP4： *,Nae其中正确的是A. P1,P3B. P1,P4C. P2,P3D. P2,P412.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为 a，球的半径为 R. 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、，则 tan()的值是（）把 的右数第 位数字赋给ait是否输入 a6?i输出 b0b1ibt- 3 -A B. C. D.第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2
6、2 题23题为选考题，考生根据要求作答.二 、 填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 )13. xy的展开式中 3xy的系数为。14.已知等比数列 na满足1129nna， *N则数列 na的前 项和 nS为 ；15.已知过点 ),1(M的直线 l与椭圆 34yx相交于 BA,两点，若点 M是 AB的中点，则直线 l的方程为 _.16. 设数列 na为等差数列，且 18a，若 2()sincosfxx，记 ()nbfa，则数列 nb的前21 项和为_.三.解答题：解答应写出文字说明
7、，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）四边形 ABCD如图所示，已知 2CDBA， 3A.（1）求 cos3的值；（2）记 与 的面积分别是 1S与 2，求 21S的最大值.18.（本小题满分 12 分）- 4 -计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米) 都在 40 以上其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1
8、)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X 40120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？19.（本小题满分 12 分）如图 1，等腰梯形 ABCD中， 06,4,2BCDA。取线段 CD中点 E，将ADE沿 折起，如图 2 所示。（）当平面 折到与底面 E所成的二面角为 09时，如图 3 所示，求此时二面角 CB
9、A平面角的余弦值。（）在将 AE开始折起到与 AB重合的过程中，求直线 DC与平面 ABE所成角的正切值的取值范围。20.（本小题满分 12 分）已知点 1(,)Axy, 2()B120)x是抛物线 2(0)ypx上的两个动点, O是坐标原点,向量 A,O满足 O.设圆 C的方程为 1212()0xy(I) 证明线段 是圆 的直径 ;DA BCEA BCED图1 图2 A BCED图3- 5 -(II)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为时，求 p 的值。21.（本小题满分 12 分）已知函数 2ln10afxx(I) 当 a=1 时，求证： 1fe（其中 e 为自然对数的底
10、数）(II) 设函数 fx存在两个极值点，并记作 12,x，若 12+4fx，求正数 a的取值范围；请考生在（22） 、 （23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知点 P 的直角坐标是(x ，y) 以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点 P 的极坐标是( ， )，点 Q 的极坐标是 ( ， + 0)，其中 0是常数设点 Q 的平面直角坐标是(m，n)(I)用 x，y， 0表示 m，n；()若 m，
11、n 满足 mn=1，且 0= 4，求点 P 的直角坐标(x，y) 满足的方程23.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 a，b，c0，a+b+c=1 求证：(I) 3c；(II) 1132b.- 6 -2017 全国卷高考压轴卷理科数学1. 进一步加强对数学“双基”即基本知识，基本技能的考查，强调数学思想方法的应用，注重数学能力的考查.2. 全国卷采用 12 个选择题，4 道填空题，5 道必选题，另外加后面的 2 选 1（极坐标与参数方程，和绝对值不等式两道题目中选做其中一道） ，共 150 分，用时 2 个小时.3. 2017 年新考纲变化有：（1）注重数学文化的考查；（2）试
12、卷最后的选做题由原来的 2 选 1 变成 2 选1，删掉了平面几何的选考.4. 本押题卷严格按照新课标要求的高考考点和题量、分值出题，严格遵照新考纲要求，体现考纲遍变化，注重双基考查，体现数学文化与数学能力的理解与应用。出题新颖，部分题目为原创试题.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C D D A B A D C C B13._6_ 14._ )12(3n_15 ._ 074yx_ 16 ._ 21_1. 考察集合关系及指数函数的值域为容易题。参考：2013 课标 12. 考察复数的基本运算，及复平面关系为容易题.3. 考察概率的基本运算及条件概率。参考
13、2013 课标 1 卷 19 题 2016 年课标 2 卷 18 题4. 考察三角函数图像问题以及定积分的意义。参考 2010 年新课标 1 卷5. 考察算法，本题是计算进制转换的一个程序。6. 考察立体几何空间想象能力和还原三视图，对数学文化的了解。参考 2012 年课标 1 卷 7 题，2015 年新课标 1 卷。7. 等差数列的基本性质，前 n 项和的性质。参考 2013 年课标 1 卷数列的选择题- 7 -8. 平面向量的三角形关系转化。命题参考 2014 年新课标 1 文 7 理 15，2015 年新课标 1 理科第 7 题9. 考察线性规划的知识与圆的位置关系相结合。命题参考 20
14、16 年课标 1 文 15 题10. 考察双曲线的基本定义和三角形几何性质的意义。命题参考 2012 年新课标 1 理科 4，2014 年新课标1 理科 10 等11. 考察数列的单调性，分析归纳猜想能力，借用函数研究数列。命题参考 2013 年理 1212. 考察立体几何球面关系及三角形性质。命题参考 2012 年新课标 1 理科 1113. 二项式定理展开问题。命题参考 2015 年新课标 114. 等比数列的相关性质及求和问题。2013 年理科 1415. 直线与椭圆的关系，中点弦问题点差法解决，命题参考 2010 年新课标 1 理 12，2013 年新课标 1 理科 1016. 三角函
15、数基本性质，数列求和问题，函数对称性的研究，命题参考 2011 年新课标 1 理科 12，2013年新课标 1 理科 16.部分试题解析3.解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在 B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“ 至少出现一个6 点”的情况下，“ 三个点数都不相同” 的概率，- 8 -“至少出现一个 6 点” 的情况数目为 666-555=91，“三个点数都不相同”则只有一个 6 点，共C3154=60 种， P（A|B ） = ；4.解析 当 x 时，ysinx 与 ycosx 的图像的交点坐标为 ，作图可知曲线 ysinx， ycos x 与0，2 (4，22)直线 x0，
16、x 所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线 ysinx， ycos x 与直线 x0，x2所围成的平面区域的面积；另一部分是曲 线 ysinx， ycosx 与直线 x ，x 所围成的平面区域的面4 4 2积且这两部分的面积相等，结合定积分的定义可知选 D.5. 经计算得 01234520121b7 解析： 3184S，得 :)(:484S,)(),(),( 126812484 SSS成等差数列， :321)(:)(:)(: 16812484， 168= 03也可利用直接法，但计算量较 大。8 解析： D为 BC边中点, ODC2， OCBA， DA,即 O，9.【解析】不等式组41
17、xy所表示的平面区域为 E及其内部，其中 (13)， ， (2)， , 1E， ，且点C, D, E均在圆 2yx的内部，故要使得 AB最小，则 OC， =0=240AB，故选 D.10. 不妨设点 P在双曲线右支， 12,F分别为左，右焦点，有 12|PFa，由 21|8PFa，可得12|,|Fa，由 12|ca知， 12PF的最小内角为 30，从而 2为直角三角形，290，此时双曲线离心率 3e，故选 C. 11.C 首先取对数得 ，由此可知 an 的单调性与 的相同，故此先研究 的单调性。构造函数 ，通过二次求导便可研究它的单调性，进而得到数列的有界性。- 9 -12.SMDBCA PO
18、SMDA PO如图，右侧为该球过 SA 和球心的截面，由于三角形 ABC 为正三角形，所以 D 为 BC 中点，且 CCDSAD,，故 DAS,. 设 PBC平 面SM，则点 P 为三角形 ABC 的重心，且点 P 在 AD 上， aB，2R 3326Aaa， ， ，因此 22tnttn()11SSMSPDPA 23436.1aR13.解： 424()xyxy，只需求 4()xy展开式中的含 xy项的系数： 246C)12(3n16由题意 si2co12sin14fxxx，易知 ()fx关于 318， 中心对称，数列 na为等差数列，故 1211()()faffa，且 13()8ff，故数列
19、nb的 前 21 项 和21S17.解：（1）在 ABD中， AADBABcos3816cos22 ，在 C中， CC8cos2 ，所以 1cos3.（2）依题意 AABS22221 cs1sin4， CBS222cos4sin41 ，所以 CA2221 cos4)1(cos16co- 10 -14)2(cos812cos82 CC，因为 43BD，所以 )16,38(BD.解得 cs1，所以 21S，当 2cos时取等号，即 21S的最大值为 14.18.解：(1)依题意， p1P (40120) 0.1.550由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 pC
20、 (1p 3)4C (1p 3)3p304 1444 3 0.947 7.(910) (910) (110)(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装 2 台发电机的情形依题意，当 40120 时，3 台发电 机运行，此 时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p 30.1，由此得 Y 的分布列如下Y 3 400 9 200 15 000P 0.2 0.7 0.1所以，E( Y)3 4000.2 9 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均 值达到最大， 应安装发电机 2 台
