1、2004 年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设 , 则 的间断点为 .2(1)()limnxfx()fx（2）设函数 由参数方程 确定, 则曲线 向上凸的 取()y31ty()yx值范围为_（3） _12dx（4）设函数 由方程 确定, 则 _.(,)zy23xzey3zxy（5）微分方程 满足 的特解为_.30xd165x（6）设矩阵 , 矩阵 满足 , 其中 为 的伴随矩210AB2ABEA阵, 是单位矩阵, 则 _-.EB二. 选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选
2、项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把 时的无穷小量 , , 排0x20cosxtd20tanxdt30sinxtd列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （B）,.,.（C） （D ） （8）设 , 则()1)fx（A） 是 的极值点, 但 不是曲线 的拐点.0(f(0,)()yfx（B） 不是 的极值点, 但 是曲线 的拐点.x)x（C） 是 的极值点, 且 是曲线 的拐点.(f(,)()yfx（D） 不是 的极值点, 也不是曲线 的拐点. 0x)x0（9） 等于221limn()(1)n（A） . （B） .1lxd1
3、lxd（C） . （D ） 2n()2n()（10）设函数 连续, 且 , 则存在 , 使得fx(0)f0（A） 在 内单调增加 .()（B） 在 内单调减小 .fx,)（C）对任意的 有 .(0()0fx（D）对任意的 有 . ,x(f （11）微分方程 的特解形式可设为21sinyx（A） .(cos)axbcAB（B） .2(siyx（C） .nxc（D） 2osyabAx （12）设函数 连续, 区域 , 则 等于()fu2(,)Dyy()Dfxyd（A） .21()xdfd（B） .20y（C） .sin(icos)frr（D） 2i0dd（13）设 是 3 阶方阵, 将 的第 1
4、列与第 2 列交换得 , 再把 的第 2 列加到第 3AAB列得 , 则满足 的可逆矩阵 为CQ（A） . （B ） . 0101（C） . （D） . 1010（14）设 , 为满足 的任意两个非零矩阵, 则必有AB（A） 的列向量组线性相关 , 的行向量组线性相关.B（B） 的列向量组线性相关 , 的列向量组线性相关.（C） 的行向量组线性相关 , 的行向量组线性相关.（D） 的行向量组线性相关 , 的列向量组线性相关. 三. 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15） （本题满分 10 分）求极限 .3012coslim1xx（16）
5、 （本题满分 10 分）设函数 在（ ）上有定义, 在区间 上, , 若对任意()fx022()4)fx的 都满足 , 其中 为常数.2)kfk()写出 在 上的表达式; ()问 为何值时, 在 处可导.()x0k()fx0（17） （本题满分 11 分）设 ,()证明 是以 为周期的周期函数; ()求 的值域.2()sinxftd()fx()fx（18） （本题满分 12 分）曲线 与直线 及 围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕2xey0,()xt0y轴旋转一周得一旋转体, 其体积为 , 侧面积为 , 在 处的底面积为 .xVt(Stxt()Ft()求 的值 ; ()计算极限 .()StV()l
6、imtSF（19） （本题满分 12 分）设 , 证明 .2eab224ln()babe（20） （本题满分 11 分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为 的飞机,着陆时的水平速度为90kg.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为70/kmh).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少 ?6.1注 表示千克, 表示千米/小时.kgkh（21） （本题满分 10 分）设 ,其中 具有连续二阶偏导数,求2()xyzfef.2,zxy（22） （本题满分 9 分）设有齐次线性方程组
7、12341234()0,3(),4axxa试问 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.a（23） （本题满分 9 分）设矩阵 的特征方程有一个二重根 , 求 的值, 并讨论 是否可相似对角12345aaA化.2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一. 填空题（1）0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的 ,先用求极限x的方法得出 的表达式, 再讨论 的间断点.()fx()fx【详解】显然当 时, ; 0当 时, ,0x2221()(1)()limlinnxxfx所以 ,()fx,01因为 00lim()li()xxff故 为 的间断点.（2）
8、.1（ ， ） （ 或 （ -， ）【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()xty定义的 求出二阶导数,再由 确定 的取值范围.23()()dytxty 20dx【详解】 ,2221ttdxt,2 22231413()(1)yt ttxtt令 .20dyxt又 单调增, 在 时, 。( 时，31t0t,1)x0t时，曲线凸.)1x(,（3 .2【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解 1】 .22002sectan1dxtdt【详解 2】 .112 01102 2()arcsin2ttdtttx （4） .【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公
9、式法或全微分公式求解.【详解 1】在 的两边分别对 , 求偏导, 为 的函数.23xzeyxyz,xy,()z,232xzeyy从而 ,231xze23xzzy所以 2313xze【详解 2】令 (,)0xzFxyy则 , , 3xze223()1xze,2323(1)xzxzz exFez,2323()1xzxzzyeez从而 2323131xzxzzexye【详解 3】利用全微分公式,得 23()xzdedy23zxze23(1)xzzey23231zxxzddde即 , 231zxze23xzy从而 （5） .31yx【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方
10、程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解 1】原方程变形为 ,21dyxx先求齐次方程 的通解:02dyx积分得 1lnln2yxcyx设 为非齐次方程的通解,代入方程得()ycx211()()()2xccx从而 , 321()cx积分得 ,35221()cxdCx于是非齐次方程的通解为 53211()5yxx,16xC故所求通解为 .35y【详解 2】原方程变形为 ,21dyxx由一阶线性方程通解公式得1122dxdxyeeC11lnln22xx3522dC,6(1)15y从而所求的解为 .3x（6） .9【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详
11、解 1】 ,2ABE2ABE,(),1.2210()3921BAEA【详解 2】由 ,得1A112BEABA2()A3E219BE二. 选择题（7） 【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】 3020sinlimlicoxxxtd3201sinlcoxx,3200limlixx即 .o()又 ,2003tanlilisixx d 23002tanlilim1sxx 即 .o()从而按要求排列的顺序为 , 故选（B）.、 、（8） C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论 两方 , 的符0x()fx号.【详解】 ,()
12、fx(1),01x,()f2,10x,()fx,21从而 时, 凹, 时, 凸, 于是 为拐点.10f0x()f(0,)又 , 时, , 从而 为极小值点.()fx、 ()所以, 是极值点, 是曲线 的拐点, 故选（C）.()yfx（9） B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】 221limn()(1)nli()()nn212li()l()(1)1limln()ni02lxd21lttlnx故选（B）.（10） C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数 在 附近的局部性质.()fx0【详解】由导数的定义知xyo12,0()
13、()lim0xff由极限的性质, , 使 时, 有()fx即 时, ，0x0f时, ,()f故选（C）.（11） A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程 的特征方程为0y,210特征根为 ,i对 而言, 因 0 不是特征根, 从而其特解形式可设为202()yxe1abxc对 , 因 为特征根, 从而其特解形式可设为sin()imyIe2sicos)xABx从而 的特解形式可设为1y2(sincos)axbcxx（12） D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解
14、】积分区域见图.在直角坐标系下,221()0()yDfxydfxd21()xdfyd故应排除（A） 、 （B）.在极坐标系下, ,cosinxry,2sin0()(icos)Dfdfrrd故应选（D）.（13） 【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 , ,01BA10CB,101C10AQ从而 ,故选（D ）.01Q（14） A【分析】将 写成行矩阵, 可讨论 列向量组的线性相关性.将 写成列矩阵, 可讨论AB行向量组的线性相关性.B【详解】设 , 记(),ijlma()ijmnBb12AA0AB12121
15、212nmmnbb （1） 1 10mnbAAb 由于 , 所以至少有一 ( ),0B0ijb1,imjn从而由（1）知, ,12 10jjijAAb 于是 线性相关.2,m又记 , 12mB则 0AB121212mlllmaaB 12122120mlllmaBa 由于 ,则至少存在一 ( ),使0ija,ij,12 0iiijimBaB从而 线性相关,12,m故应选（A）.三. 解答题（15） 【分析】此极限属于 型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.0【详解 1】 原式2cosln301imxxe20slix20lncosln3ixx（ ）01ilimxx（ ）sin12co6
16、【详解 2】 原式sln30ixxe20cosln3imxx20s1lix（ ）col36（16） 【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】()当 ,即 时,20x2x.()fkf2()4(2)4kkx()由题设知 .200()()()limli4xxff .lili8fkxf k 令 , 得 .(0)f 12k即当 时, 在 处可导.12k()fx0（17） 【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】 () ,32()sinxftd设 , 则有tu,22()sin()sin()xxfududfx故 是以 为周期的周期函
17、数.()fx()因为 在 上连续且周期为 , 故只需在 上讨论其值域. 因为sinx(,)0,sin(sicosin2fxxx令 , 得 , , 且()0fx1423x, 4()sin2ftd,5544334()isinsi2fttdt又 , ,20()sin1ftd2()(i)1ft的最小值是 , 最大值是 , 故 的值域是 .fx(fx2,（18） 【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是 的函数,然后计t算它们之间的关系.【详解】 () 20()1tSydx224x xteed,20xtd,2200()xtteVty.()St() ,22ttxteFty202()lim
18、lixtttttdSe2li2tttttttee（19） 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证 1】设 , 则24()lnxxe2,1l()x所以当 时, , 故 单调减小, 从而当 时, xe0() 2ex,224()0xe即当 时, 单调增加.2ex因此, 当 时, , 即abe()a2244lnlbe故 .2()【详证 2】设 , 则2()lxaxe2n4,1l()x时, , 从而当 时, xe0A2ex,224()0xe时, 单调增加.2ex时, 。令 有ab()xaxb()即 .224ln()e【详证 3
19、】证 对函数 在 上应用拉格朗日定理, 得2lxab, .2lnln()ab设 , 则 ,l()t21l()tt当 时, , 所以 单调减小,te()0t()t从而 , 即2,2lne故 224l()bab（20） 【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量 ,着陆时的水平速度 .从飞90mkg07/vkmh机接触跑道开始记时,设 时刻飞机的滑行距离为 ,速度为 .t ()xt()t根据牛顿第二定律,得.dvkt又 ,xdv,mdk积分得 ,()xtvC由于 , , 故得 , 从而0()v
20、0k.0()()mxtvt当 时,()vt.0697()1.05().xt kmk所以,飞机滑行的最长距离为 .15【详解2】根据牛顿第二定律,得.dvmkt所以 ,两边积分得 ,ktmvCe代入初始条件 , 得 ,0t0v,0()ktmvte故飞机滑行的最长距离为.000() 1.5()ktmvvxtdekm【详解3】根据牛顿第二定律,得,2dxmktt,20tt其特征方程为 ,2krm解得 , ，10r2故 ，12ktxCe由 , ，得 ，(0)x 00()ktmt tdvv 012mvCk.()(1)ktvxte当 时,t.0697().05().mt kmk所以,飞机滑行的最长距离为
21、.15（21） 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】 ,12xyzfefx,12xyffy211222()xyxyzffefefx212()xyxyeffe.22112 24()(1)xyxyxyeffef（22） 【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为 0 确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解 1】对方程组的系数矩阵 作初等行变换, 有A11222033444aaBa当 时, , 故方程组有非零解, 其同解方程组为0a()1rA.2340xx由此得基础解系为, , ,1(,)T2(1,0)T3(1,0)T于是所求方程组的通解为, 其中 为任意
22、常数.123xkk123,k当 时,0a00313144aaB当 时, , 故方程组也有非零解, 其同解方程组为10a()rA12340,x由此得基础解系为,(1,2)T所以所求方程组的通解为, 其中 为任意常数.xk【详解 2】方程组的系数行列式.31122(10)3344aAa当 , 即 或 时, 方程组有非零解.0Aa10当 时, 对系数矩阵 作初等行变换, 有A12034故方程组的同解方程组为.12340xx其基础解系为, , ,1(,)T2(1,0)T3(1,0)T于是所求方程组的通解为, 其中 为任意常数.123xkk123,k当 时, 对 作初等行变换, 有10aA9918003
23、7346491202103344故方程组的同解方程组为2134,x其基础解系为 ,(,)T所以所求方程组的通解为 , 其中 为任意常数xk（23） 【分析】由矩阵特征根的定义确定 的值，由线性无关特征向量的个数与a秩之间的关系确定 是否可对角化.EAA【详解】 的特征多项式为12320414355aa010(2)3(2)31 5.2()8)a若 是特征方程的二重根, 则有 , 解得 .22168302a当 时, 的特征值为 2, 2, 6, 矩阵 的秩为 1,aA2EA故 对应的线性无关的特征向量有两个, 从而 可相似对角化.2若 不是特征方程的二重根, 则 为完全平方, 2813a从而 , 解得 .1836a3当 时, 的特征值为 2, 4, 4, 矩阵 的秩为 2,23A32210EA故 对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而 不可相似对角化.4
