1、第 1 页 共 4 页高中化学竞赛辅导专题讲座三维化学第八节 空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题 1】利用欧拉定理（顶点数棱边数面数2） ，确定三维空间里的正多面体。【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形
2、；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于 60，不存在这样的正多边形） 。因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的） ；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的） ，当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。正三角形，三棱共顶点：设面数为 x，则棱边数为 3x/2（一面三棱，二面共
3、棱） ，顶点数为 x（一面三顶点，三顶点共面） ，由欧拉定理得x3x/2x2，解得 x4，即正四面体；正三角形，四棱共顶点：同理，3x/42xx2 ，解得 x8，即正八面体；正三角形，五棱共顶点：同理，3x/53x/2x2，解得 x20，即正二十面体；正方形，三棱共顶点：同理，4x/32xx2，解得 x6，即正方体；正五边形，三棱共顶点：同理，5x/35x/2x2，解得 x12，即正十二面体。【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。【例题 2】确定各正多面体的对称轴类型 Cn 和数目（Cn 表示某一图形绕轴旋转 360/n 后能与原图形完全重合）【
4、分析】正四面体：过一顶点和对面的面心为轴，这是 C3 轴，显然第 2 页 共 4 页共有四条；有 C2 轴吗？过相对棱的中点就是 C2 轴，共三条。将正四面体放入正方体再研究一下吧（参考第一节）！C 3 轴不就是体对角线吗（8/2）？而 C2 轴就是正方体的相对面心（6/2） 。正方体：存在 C4 轴，即过相对面的面心，有三条；C 3 轴，过相对顶点，有四条；C 2 轴呢？用了面心和顶点，是否可用棱边呢？过相对棱的中点，不就是 C2 轴吗？共有六条。正八面体：先也看过面心的轴，是 C3 轴；过顶点的轴，是 C4 轴；而过棱的中点的轴就是 C2 轴。正十二面体：过两个相对面的面心就是 C5 轴，
5、共有六条（12/2） ；过相对顶点就是 C3 轴，应该有十条（20/2） ；过相对棱的中点也存在 C2 轴，共有十五条（30/2） 。正二十面体：过相对面的面心，十条 C3 轴；过相对顶点，六条 C5 轴；过相对棱心，十五条 C2 轴。从上面的分析不难看出，正方体与正八面体、正十二面体与正二十面体有相同的对称性（对称轴种类与数目相同，其实对称面种类和数目，对称中心也相同，此处不讨论） ，也正如前面几节所说，连接各自的面心可得到相应的正多面体，而对称轴（对称面、对称中心）没有改变，这样一对正多面体称为对偶正多面体。还有一种正四面体，它是自对偶的，连接各自面心还是正四面体。【解答】正四面体：4C
6、3、3C 2；正方体：3C 4、4C 3、6C 2；正八面体：3C 4、4C 3、6C 2；正十二面体：6C 5、10C 3，15C 2；正二十面体：6C 5、10C 3，15C 2；【例题 3】在富勒烯家族 Cx 中，找出与正十二面体具有对称轴的 Cx。【分析】足球烯 C60 是 Cx 中最典型的物质，它的模型类似足球，对称性很好，有 12 个正五边形和 20 正六边形组成。第五节曾谈到 C60 可由正二十面体消去 12 个顶点得到，因此过相对正五边形的面心就是 C5 轴（12/2） ，过相对正六边形的面心就是 C3 轴（20/2） ，也分别有 6 条和 10 条。除了 C60还有吗？再回顾
7、第五节提到的 C180，它有 12 个正五边形，与它们相邻的是60 个正六边形（125） ，还应有 20 个正六边形，它们周围都有相同的环境（都是正六边形） ，其面心就构成正十二面体。因此过相对面的面心就是 C3轴。与正十二面体具有相同的对称轴及其数目。从 2060180， （都有 12个正五边形） ，下一个是否应该是 540 呢？由第五节知识可求得正五边形 12个，正六边形(54020)/2260 个，与 12 个正五边形相邻的正六边形有 60个，再与这些正六边形（6 条边一边与正五边形共用，相邻两边与正六边形共用，还剩三边）相邻的正六边形有 603180 个，还剩下 20 个，这 20第
8、3 页 共 4 页个面的面心不就是正二十面体吗？C 540 的下一个就是 C1620 了。正六边形有(1620 20)/2800 个，依次为 60、180、540、20 个。【解答】C 203n【讨论】空间正多面体由一种正多边形构成，若我们削弱条件，可要求由两种正多边形构成，但每个顶点仍完全等价的空间多面体，称为亚正多面体。显然，C60 是一种典型的亚正多面体模型，它由正二十面体削去 12 个顶点得到，C60 模型每个顶点都是等价的，由两个正六边形和一个正五边形共用一个顶点，从这儿我们也能得到 C60 中，正五边形与正六边形的数目比为 1/5:2/63:5。利用得到 C60 的启示，我们在其它
9、正多面体的适当位置削去其顶点，也可得到亚正多面体。例如正四面体削去顶点后为 4 个正三角形与 4 个正六边形构成的亚正多面体。那么亚正多面体有多少种呢？答案是无限多个，至少有两个系列是无限多个。其一为正棱柱系列：底面正多边形（有无数种情况） ，调节高使与边长相等，即侧面为正方形。在这一系列中，两底面正好是重叠式的，能否是交叉式呢？此时一底面上顶点与另一底面上两顶点相连，构成的面是三角形。我们还是来调节高度，使这三角形正好是正三角形，这又是一个无穷系列。正方形和正八面体正好分别是这两个系列的特殊情况。【例题 4】C 24H24 有三种特殊的同分异构体，它们都是笼状结构，不含有双键和三键；它们都只
10、有一种一氯取代物，而二氯取代物不完全相同。试画出或说明 A、B、C 的碳原子空间构型和二氯取代物的具体数目，并比较它们分子的稳定性。【分析】C 60 骨架类型是一种亚正多面体。一种显然是上文提到的正棱柱体（另一系列不可以，每个顶点连了四条键） ，底面是正十二边形，它的二氯取代物为 13 种。还有两种呢？24 是 12 的倍数，12 是正方体和正八面体的棱边数，每条棱的相同位置上取两点，其位置不都是等价的吗？即我们把正方体削去八个顶点正八边形和正三角形构成的亚正多面体；把正八面体削去六个顶点正六边形和正方形构成的亚正多面体。再来确定它们的二氯取代物，右上图所示为正方体削去顶点的亚正多面体一底面放
11、大，并投影到这一底面上的平面图，从其一点到相对一点（最远）走最近距离为六条线段，故该二氯取代物为 6 种；右下图所示为正八面体削去顶点的亚正多面体的投影图，从其一点到相对一点（最远）走最近距离也为六条线段，即该二氯取代物也为 6 种。从键的张力再来分析这三个分子的稳定性。每个碳均是 sp3 是杂化的，正八面体削去顶点的构型中键角为 120和 90，最接近 10928，键的张力最小，稳定性最强；正十二棱柱键角为 150和 90，稳定性次之；正方体削去顶点的构型中键角为 135和 60，稳定性最差。【参考答案】略第 4 页 共 4 页多面体化学全部完稿（共五节）： 正方体与正四面体正八面体与正方体正四、六、八面体的组合正十二、二十面体与碳60
