1、用角亏研究半正多面体陕西省咸阳市永寿县监军中学 马刘斌正 多 面 体 ， 是 指 多 面 体 的 各 个 面 都 是 全 等 的 正 多 边 形 ， 并 且 各 个 多 面 角都 是 全 等 的 多 面 角 。半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。半正多面体的每个顶点的情况相同。 阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究记录已佚） ，故有人将半正多面体唤作阿基米德立体。公式（一）欧拉公式这里 V、 E 和 F 分别为正多面体的顶点数 、棱数 和面数 。（二）角亏公式对于任意简单凸多面体而言，我们称以该多面体的任意一个顶点为顶的多面角的所有平面角度数之和与 360 的差为这个顶点多面角
2、的角亏。角亏公式是指对于任意简单凸多面体来说，所有顶点多面角角亏之和等于 720. 引理（一） 同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以多面体的任意一个顶点为顶的多面角的角亏也相等。以下我们将用 表示半正多面体任意一个顶点为顶的多面角的角亏。（二） V720/证明：由角亏公式得知，所有顶点多面角角亏之和等于 720;由引理一得知同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。所以720/（三）360/d（这里的 d 是指一个顶点为顶多面角的所有平面角的个数。 ）证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以从每个顶点引出的棱数相同；若一个多面角由
3、d 个平面角组成，那么从每个顶点就引出 d 条棱；又因为两顶点引出的棱 AB 和 BA 为同一条棱，所以顶点数d2 即360/d（四）360/（d）证明：将引理二和引理三代入欧拉公式 V-E+F=2 得：720/-360/d+ =2整理得：360/（d）（五）m=Vn（m=Vbn）(这里 n 是指半正多面体中正多边形的边数；m 是指这个半正多面体中相同正 n 边形的个数; b 是指半正多面体的一个多面角中相同角的个数。)证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以从每个顶点引出的角和角数相同，所以在一个多面角中，当组成它的平面角中，没有相同角时，这个半正多面体的顶点数就与相同角的所有个数相同
4、，而这些相同的角是相同的正多边形的角，所以相同角的所有个数也就是相同的正多边形角的所有个数，所以 m=V/n；而当在一个多面角中，当组成它的平面角中，有 b 个相同角时，相同角的所有个数就为 Vb,所以 m=Vb/n.探究一由引理 V720/，360/n，360/（n）可以看出半正多面体的顶点数 、棱数和面数都同 有关，下面我们就用 来研究半正多面体。表格一 正多边形边数 内角度数3 604 905 1086 1208 1359 14010 14412 15015 15618 16020 16224 16530 16836 17040 17145 17260 17490 176120 1771
5、80 178360 179表格二 半正多面体 d 组成一个多面角的所有平面角的分别度数V720/360/d360/（d）组成一个多面角所需的正多边形的边数3 179+60+120 720 1080 362 360 6 33 179+90+90 720 1080 362 360 4 414 179+60+60+60 720 1440 722 360 3 3 33 178+60+120 360 540 182 180 6 33 178+90+90 360 540 182 180 4 424 178+60+60+60 360 720 362 180 3 3 33 177+120+60 240 360
6、 122 120 6 33 177+90+90 240 360 122 120 4 43 162+135+60 240 360 122 20 8 334 177+60+60+60 240 480 242 120 3 3 33 176+120+60 180 270 92 90 6 33 176+90+90 180 270 92 90 4 444 176+60+60+60 180 360 182 90 3 3 35 3 160+135+60 144 216 74 18 8 33 144+120+90 120 180 62 10 6 43 150+144+60 120 180 62 12 10 36
7、3 156+108+90 120 180 62 15 5 43 174+120+60 120 180 62 60 6 33 174+90+90 120 180 62 60 4 44 174+60+60+60 120 240 122 60 3 3 34 144+90+60+60 120 240 122 10 4 3 33 172+120+60 90 135 47 45 6 33 172+90+90 90 135 47 45 4 484 172+60+60+60 90 180 92 45 3 3 33 156+135+60 80 120 42 15 8 3 舍3 171+120+60 80 120
8、 42 40 6 3 舍3 171+90+90 80 120 42 40 4 494 171+60+60+60 80 160 82 40 3 3 33 170+120+60 72 108 38 36 6 33 170+90+90 72 108 38 36 4 43 150+140+60 72 108 38 12 9 33 140+120+90 72 108 38 9 6 44 170+60+60+60 72 144 74 36 3 3 3104 140+90+60+60 72 144 74 9 4 3 33 168+120+60 60 90 32 30 6 33 168+90+90 60 90
9、 32 30 4 43 120+120+108 60 90 32 6 6 53 150+108+90 60 90 32 12 5 44 168+60+60+60 60 120 62 30 3 3 34 108+90+90+60 60 120 62 5 4 4 34 120+108+60+60 60 120 62 6 5 3 3125 108+60+60+60+60 60 150 92 5 3 3 3 33 150+135+60 48 72 26 12 8 33 120+135+90 48 72 26 8 6 43 165+120+60 48 72 26 24 6 33 165+90+90 48
10、 72 26 24 4 43 177+108+60 48 72 26 120 5 3 舍4 135+60+60+90 48 96 50 8 4 3 3154 165+60+60+60 48 96 50 24 3 3 33 162+60+120 40 60 22 20 6 3 舍3 162+90+90 40 60 22 20 4 43 144+108+90 40 60 22 10 5 43 174+108+60 40 60 22 60 5 3 舍184 162+60+60+60 40 80 42 20 3 3 33 160+120+60 36 54 20 18 3 63 160+90+90 36
11、 54 20 18 4 43 140+140+60 36 54 20 9 9 33 172+108+60 36 54 20 45 5 3 舍204 160+60+60+60 36 72 38 18 3 3 324 3 156+120+60 30 45 17 15 3 63 156+90+90 30 45 17 15 4 43 168+108+60 30 45 17 30 5 3 舍4 156+60+60+60 30 60 32 15 3 3 33 150+60+120 24 36 14 12 3 63 120+120+90 24 36 14 6 6 43 150+90+90 24 36 14
12、12 4 43 162+108+60 24 36 14 20 5 3 舍4 150+60+60+60 24 48 26 12 3 3 34 120+90+60+60 24 48 26 6 4 3 34 90+90+90+60 24 48 26 4 4 4 3305 90+60+60+60+60 24 60 38 4 3 3 3 33 108+108+108 20 30 12 5 5 5 3 144+120+60 20 30 12 10 6 3 舍3 144+90+90 20 30 12 10 4 43 156+108+60 20 30 12 15 5 3 舍3 174+90+60 20 30
13、12 60 4 3 舍364 144+60+60+60 20 40 22 10 3 3 33 140+120+60 18 27 11 9 3 63 140+90+90 18 27 11 9 4 43 170+60+90 18 27 11 36 3 4 舍404 140+60+60+60 18 36 20 9 3 3 33 135+60+120 16 24 10 8 3 6 舍3 135+90+90 16 24 10 8 4 43 165+60+90 16 24 10 24 3 4 舍454 135+60+60+60 16 32 18 8 3 3 33 120+120+60 12 18 8 6
14、3 63 120+90+90 12 18 8 6 4 43 150+60+90 12 18 8 12 3 4 舍4 120+60+60+60 12 24 14 6 3 3 34 90+90+60+60 12 24 14 4 4 3 3605 60+60+60+60+60 12 30 20 3 3 3 3 3 120+108+60 10 15 7 6 5 3 舍3 108+90+90 10 15 7 5 4 43 168+60+60 10 15 7 30 3 3 舍724 108+60+60+60 10 20 12 5 3 3 33 120+90+60 8 12 6 6 4 3 舍3 90+90
15、+90 8 12 6 4 4 4 904 90+60+60+60 8 16 10 4 3 3 33 120+60+60 6 9 5 6 3 3 舍3 90+90+60 6 9 5 4 4 33 160+60+60 6 9 5 18 3 3 舍1204 60+60+60+60 6 12 8 3 3 3 3 180 60+60+60 4 6 4 3 3 3 探究二由引理 m=V/n( m=Vb/n) 可以看出半正多面体中，组成它的正多边形的个数 m 同半正多面体的顶点数 以及正多边形的边数 n 有关，下面我们就用 V 和 n来研究一个半正多面体中，组成它的相同正多边形的个数。表格三 半正多面体中相
16、同正多边形的个数 d V720/组成一个多面角所需的正多边形的边数 nm=Vn 3 720 360 6 3 2 120 240 3623 720 360 4 4 2 180 108 36214 720 360 3 3 3 2 240 240 240 7223 360 180 6 3 2 30 120 1823 360 180 4 4 2 90 90 18224 360 180 3 3 3 2 120 120 120 3623 240 120 6 3 2 40 80 1223 240 120 4 4 2 60 60 1223 240 20 8 3 12 30 80 12234 240 120 3
17、 3 3 2 80 80 80 2423 180 90 6 3 2 30 60 923 180 90 4 4 2 45 45 9244 180 90 3 3 3 2 60 60 60 1825 3 144 18 8 3 8 18 48 743 120 10 6 4 12 20 30 623 120 12 10 3 10 12 40 623 120 15 5 4 8 24 30 623 120 60 6 3 2 20 40 623 120 60 4 4 2 30 30 624 120 60 3 3 3 2 40 40 40 12264 120 10 4 3 3 12 30 40 40 1223
18、90 45 6 3 2 15 30 473 90 45 4 4 2 m=9024=45 4784 90 45 3 3 3 2 30 30 30 923 80 15 8 3 舍 423 80 40 6 3 舍 423 80 40 4 4 2 20 20 4294 80 40 3 3 3 2 m=8033=80 823 72 36 6 3 2 12 24 383 72 36 4 4 2 18 18 38103 72 12 9 3 6 8 24 383 72 9 6 4 8 12 18 384 72 36 3 3 3 2 24 24 24 744 72 9 4 3 3 8 18 24 24 743
19、60 30 6 3 2 10 20 323 60 30 4 4 2 15 15 323 60 6 6 5 10 10 12 323 60 12 5 4 5 12 15 324 60 30 3 3 3 2 20 20 20 624 60 5 4 4 3 12 15 15 20 624 60 6 5 3 3 10 12 20 20 62125 60 5 3 3 3 3 12 20 20 20 20 923 48 12 8 3 4 6 16 263 48 8 6 4 6 8 12 263 48 24 6 3 2 8 16 263 48 24 4 4 2 12 12 263 48 120 5 3 舍
20、264 48 8 4 3 3 6 12 16 16 50154 48 24 3 3 3 2 16 16 16 503 40 20 6 3 舍 223 40 20 4 4 2 10 10 223 40 10 5 4 4 8 4 223 40 60 5 3 舍 22184 40 20 3 3 3 2 m=4033=40 423 36 18 3 6 2 12 6 203 36 18 4 4 2 9 9 203 36 9 9 3 4 4 12 203 36 45 5 3 舍 20204 36 18 3 3 3 2 12 12 12 383 30 15 3 6 2 10 5 173 30 15 4 4
21、2 m=3024=15 173 30 30 5 3 舍 17244 30 15 3 3 3 2 10 10 10 323 24 12 3 6 2 8 4 143 24 6 6 4 4 4 6 143 24 12 4 4 2 6 6 143 24 20 5 3 舍 144 24 12 3 3 3 2 8 8 8 264 24 6 4 3 3 4 6 8 8 264 24 4 4 4 3 6 6 6 8 26305 24 4 3 3 3 3 6 8 8 8 8 383 20 5 5 5 123 20 10 6 3 舍 12363 20 10 4 4 2 5 5 123 20 15 5 3 舍 12
22、3 20 60 4 3 舍 124 20 10 3 3 3 2 m=2033=20 223 18 9 3 6 2 6 3 113 18 9 4 4 2 m=1824=9 113 18 36 3 4 舍 11404 18 9 3 3 3 2 6 6 6 203 16 8 3 6 舍 103 16 8 4 4 2 4 4 103 16 24 3 4 舍 10454 16 8 3 3 3 2 m=1633=16 183 12 6 3 6 2 4 2 83 12 6 4 4 2 3 3 83 12 12 3 4 舍 84 12 6 3 3 3 2 4 4 4 144 12 4 4 3 3 3 3 4
23、4 14605 12 3 3 3 3 203 10 6 5 3 舍 73 10 5 4 4 2 m=1024=5 73 10 30 3 3 舍 7724 10 5 3 3 3 2 m=1033=10 123 8 6 4 3 舍 63 8 4 4 4 2 2 2 6904 8 4 3 3 3 2 m=833=8 103 6 6 3 3 舍 53 6 4 4 3 m=624=3 2 53 6 18 3 3 舍 51204 6 3 3 3 3 2 2 2 2 81804 3 3 3 m=433=4 4在以上表格中，共探究了 103 个多面体，其中有 20 个不符合多面体的特征，予以舍去，还有 5 个标注号的是正多面体，所以在表格中可以看到 78 个半正多面体的特征。而这 78 个半正多面体只是半正多面体的一部分，它们只是用整数平面角构成多面角的半正多面体。在半正多面体中还有用分数平面角来构造多面角的半正多面体的，形如用 10 个正 16 边形，32 个正 5 边形，40 个正 4 边形就能构成一个半正多面体。由此半正多面体还有待于进一步探索。
