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1、平面几何综合复习【典型例题】：例 1、已知，如图：AB/CD，求证：AEC360分析：（1）可利用已知两直线平行，同旁内角互补，两对互补的角的和是 360，因此添加辅助线创造两直线平行是关键。证法一： 作 FAB/,180DC/280136360AEC,即分析：（2）两直线平行同旁内角互补；再由三角形内角和 180，所以边 AC，构造三角形。证法二：连 AC， AB/。18034180,在 中EC23460即 ED此题还有其它证法：如利用周角 360，或三角形外角定理等。例 2、已知：AB/CD，AM 平分BAC，MC 平分ACD，求证： AMC分析：证明两条直线互相垂直，基本方法是用垂直定义

2、，证明两直线夹角等于 90，若证明三角形两边垂直，可以证明另外二个内角互余，该题要证，只需证 ，而 AMC 的内角和为 180，只须证A90即可，由已知 AB/CD，可知，同旁内角互补，再由角平分线定义1290可得结论。证明： BCDAC/,18即 340,MBACD平 分 平 分1220,918又 M0例 3、已知：如图在ABC 中，AB=AC。延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连结 CD 和 CE求证：CD=2 CE分析：（1）要证长线段 CD 是某小量的 2 倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证 CD=2CE，可考虑在CD 上截取一半

3、，再证明 CE 等于 CD 的一半即可。证明：过 B 点作 BF/AC 交 CD 于 F， AB=BD且 DFC,A12AB/,2又 BECEF.在 中CF和B12EFCD,12即 CE=2EC分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。提示：将 CE 延长到 G，使 EG=CE，连结 AG，BG ，可证明 ACG BDC，从而得到 CG=CD，因而有 CD=2CE。例 4、已知：如图，在 ABC 中，D、E 分别在AB、AC 上，BD =CE，BE、CD 的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC于点 P、Q求证：AP=AQ分析：这是一道

4、已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证 AP=AQ，就要证 分别是 BE、CD 中点，APMN， ,且 BD=CE，又 BC 是 BDC 和 BCE 的公共边，取 BC 的中点 F，再连 MF、NF，就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的 等量代换到 FMN 中，APQ从而可证得 AP=AQ。证明：取 BC 的中点 F，连结 FM，FNM ，N 分别是 的中点BECD,1212，并且 MF/CE，FN/BD，CE= BD，FM=FNFMQ = FNPFMQ= AQM（两直线平行，内错角相等）FNP= APN， APN=

5、 AQMAP=AQ例 5、已知： ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，E是 AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交 BC 于 F求证：DE =EF分析：DF 和 EF 分别在 DBF 和 ECF 中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作 DG/AC交 BC 于 G 点 ，易证 DGF ECF，所以 DF=EF，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。例 6、已知 Rt ACB 中，ACB=90，CDAB，BE 平分ABC，交 CD 于 E，EF/AB 交 AC 于 F求证：CE=AF分析：要证线段 CE=AF，我们可以将它们转化到两个三角形中，过 E 点作 EGBC 于 G

6、，所以 EG=DE，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作 FHAB 于H，利用平行线间距离相等，可易证得 HAF GCE，从而证得 CE=AF，另解还可以过 E 点作 KM/AC 交 AB 于 K，交 BC于 M，证 MCE DKE 即可例 7、已知： ABC 中， ACB=90，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，CE 的延长线交 AB 于 F，FG/AC 交 AD 于 G求证：FB=2CG分析：要证 FB=2CG，只要证 CG= BF，由于12CG 和 BF 分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起 CG 和 FB 之间的联系，分析题目条件可

7、知 CEG AEF，所以 AF=CG，只要证 AF= FB 即可12证明：作 DH/CF 交 AB 于 H，Rt ADC 中，ACD=90，E 是斜边 AD 中点， CE=AE， 1= 2AC/FG， 1= 3， 2= 4， 3= 4EG=EF在 AEF 中和 CEG 中，有CEAGF56AEF CEG 中， AF=CGDH/CF，E 为 AD 中点， AF=FHDH/CF，D 为 BC 中点， FH=HBAF=FH=HB， AF= FB12CG=AF， CG= FB，即 FB=2CG例 8、设 ABC 是等腰直角三角形，AB= AC，D 是斜边 BC 的中点，E ，F 分别是 AB、AC 边

8、上的点，且 DEDF ，若BE=12，CF=5，求：线段 EF 的长？分析：这是一道几何中的计算题要求 EF 的长，首先发现它在 Rt 它在 RtEAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结 AD 后可证 ADE CDF解；连结 AD，则在 ADE 和 CDF 中，ADEFCDAFE909045， 又AD=CD， 又 AF+FC=AC=AB=AE+BE=5+12=17CEAFAF175213在 中Rt,即 EF 的长为 13例 9、已知：如图，过正方形 ABCD 的顶点 A 作直线交 BD 于 E，交 CD 于 F，交 BC 的延长线于 G，若 H 是 FG 的中点求证：EC CH分析：这道题主要

9、是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明ECH 是 90即可，此题可先间接证出 4+5=90，从而推出 =90，通ECH过ABE CBE，及 Rt FCG 的斜边中线 CH 可证得证明：简述：在正方形 ABCD 中， 1245AB=BC，BE= BE ABE CBE3= 4，又 H 是 RtFCG 斜边上的中点CGE53690例 10、已知：如图在平行四边形 ABCD 中，AE= CF，BM=DN求证：四边形 EMFN 是平行四边形分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。证法一：ABCD 是平行四边形AD/BC，AD=BC12,AEFCDNBMDE=BF,DM=

10、BNDMB34ME/NFEMFN 是平行四边形证法二：证 （同证法一）EFNME=NF 同理可证 DEBFMEN=FMEMFN 是平行四边形。例 11、如图：等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，对角线 AC 和 BD 相交于 E，已知，ABD=60， BD=12，且 BEED=5 1，S 梯形ABCD= ，求这个梯形的周长？36分析：由 BD=12，且 BE ED=51，可得BE=10，ED =2，易证， 故ABDC为等边三角，AD=DE=2，同理ADBCE060,BC=10，作 AF BC 于 F，DG BC 于 G，则四边形 AFGD 是矩形，由梯形面积公式可求出 = ，再由3,而 2BA

11、D1204勾股定理求出 AB=CD = 21故梯形周长为 12+4解： BDEE15102,;且 梯形 ABCD 为等腰梯形， ABCAD=AD DD60为等边三角形A60,2同理可求：BC=10作 AF BC 于 F，DG BC 于 G，则四边形 AFGD 为矩形GADBACDB2,90BFF11204SACD梯 形 362336AF,即 B， 中RtABF22634123同理：DC= 1梯形周长=AD+BC+AB+ CD=2+10+ + =12+41此题综合性较强，涉及到的知识点很多，但证明的关键是证出 是等边ABC三角形，从而求出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。【综合练习】：一、

12、填空题：（1） 中，AB=AC，DE 是 AB 的中垂线，ABC的周长为 14 厘米，BC=5 厘米，那么 AB 的长E为 厘米。（2）若 的三个外角的度数之比为 345，则最大边 AB 与最小边 BC 关系是 ；而三条边之间的关系是 ；（3）等腰三角形的周长为 ，腰长为 1，则底角等 度。2（4）如图在 Rt 中， BD 平分ABC90交 AC 于 D，DE 是斜边 AB 的垂直平分线，AB且 DE=1 厘米，则 AC= 厘米。（5）把长为 8cm 的长方形纸片对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则找开后的梯形中位线长为 cm。（6）若等腰三角形的底角为 15，腰长为 2，则腰上的高为 。

13、（7）若等腰梯形的周长 80cm，中位线与腰长相等，则它的中位线等于 cm。（8）已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，如果AOB 的面积是 3，那么平行四边形 ABCD 的面积是 。（9）已知菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，那么它的边长是 。（10）菱形中有一个内角是 60，菱形的边长为 6，则菱形两条对角线的长为 。三、选择题：（1）如果等边三角形的边长为 3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）A9 B6 C3 D 92（2）在 ABC 中，已知 b=4，c =5, A=30,则 ABC 的面积是（ ）A10 B C5 D 1053（3）如果一个

14、多边形的内角和等于 720，那么这个多边形是（ ）A四边形 B五边形 C六边形 D七边形（4）下列多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A平行四边形 B正方形 C等边三角形 D直角梯形（5）已知：平行四边形 ABCD 的周长为 24，ABAD=12，那么 AB 的长是（ ） A4 B6 C8D16（6）设 F 为正方形 ABCD 的边 AC 上一点，CECF 交 AB 的延长线于 E，若正方形 ABCD 的面积为 64， CEF 面积为 50，则 CBE 的面积为（ ）A20 B24 C25 D26（7）在 ABC 中，若 ，AB= , AC=3，则 S ABCD=（ ）A602

15、3A9 B C D92（8）如图在四边形 ABCD 中，AD=BC，E、F、G 分别是 AB、CD、AC 的中点，若 DAC=20， ACB=66， 则 FEG=（ ）A47 B46 C 41D23（9）已知一个等腰梯形的高是 2m，它的中位线长是 5m,一个底角为 45，这个梯形的周长是（ ）A14 B 52cmC D102m104（10）已知正方形的面积为 8cm2,则正方形的对角线长为（ ）A B C4cm D2cmc4c【答案】：一、（1）9 （2）AB=2 BC， （3）30 （4）3 （5）512 （6）1 （7）20 （8）12 （9）5 （10）6，二、（1）D （2）C （3

16、）C （4）C （5）A（6）B （7）B （8）D （9）D （10）C【综合练习二】：证明与计算：1、已知：等腰三角形 ABC 的顶角 A 为120，底边长为 20cm，求：腰长2、已知；如图， 中，AB= AC，D，E，F 分ABC别为 AB、BC、CA 上的点，且 BD=CE，DEF,求证： 是等腰三角形3、已知：如图，四边形 ABCD 为矩形四边形ABDE 为等腰梯形，AE /BD，求证： BCD4、如图：平行四边形 ABCD 中，BE CD，BFAD，垂足分别为 E、F ，CE=2 ，DF=1，求平行四边形 ABCD 的面积。EF605、已知：四边形 ABCD 中，E、F、G、H

17、分别为 AB，CD，AC，BD 的中点，并且E，F，G，H 不在同一直线上，求证：EF 和 GH 互相平分6、如图，已知：在等边三角形 ABC 中，延长 BC 到 M，使 CM=BC，AD BC 于点D，E 是 AM 的中点，EF /MC 交 AC 于点 F求证：四边形 DCEF 是菱形7、已知：梯形 ABCD 中，AD/BC，AB= DC，在 ABDC上各取一 F，G，使 BF=CG，E 是 AD 的中点求证： E8、已知：在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，M ， N 分别是 DE，BF 的中点求证：四边形 ENFM 是平行四边形9、已知：如图，在三角形 ABC 中，AB= AC，AD

18、 是 BC 边上的高，AD 的中点为 M， CM 的延长线交 AB 于 K，求证：AKAB 的值10、已知：如图，周长为 40cm 的等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，梯形中位线 EF=AB，梯形的高 AH=6cm,求：梯形 ABCD 的面积11、已知：如图，正方形 ABCD，点 E，F分别在 BC，DC 上，且 A45求证：BE+DF=EF12、已知：如图，正方形 ABCD 中，AC，BD交于 O 点， 的平分线交 AC 于 E，交 DCDBC于 F，求证：OE = 1213、已知：在平行四边形 ABCD 中，EF/AC 交 AB 于 E，BC 于 F，求证： SADECF【答案】：1、

19、；203cm2、利用三角形外角定理证明： 再证 即可；BDEFC,DBECF3、利用矩形，等腰梯形的性质可以得到证两个三角形全等的条件；4、可以利用分别延长 CD 和 BF 相交后构成 Rt ，求出一个 角，再通过 30和 求出 CD=4，BC=6 ，就可以利用平行四边形面积公式得到其结AFBECD果为 65、提示：连结 EG、GF 、FH、HE ，通三角形中位线定理再根据平行四边形的判定定理证出四边形 EGFH 是平行四边形，即可6、提示：可根据三角形中位线定理，证出：CE/AB ，EF/MC 可得四边形，DCEF 是平行四边形，再证出 DF=DC，可证出四边形 DCEF 是菱形7、提示：很

20、容易通过等腰梯形同一底上的两个底角相等证出 ，AEFDG从而证得 EFG8、可利用三角形全等证出 FN=ME，再通过证明 FB/DE，得到 FN/ME 即可证得9、解： DABCKE/交 于 点123412123， ，得 ，又 ， ，而 ， ，故 MDBCEABAKK/10、提示：2EF=AD+BC2EF=AB+DC而 AB+BC+CD+DA=404EF=40，得 EF=10，又 AH=6梯形 ABCD 的面积 S=EF，AH=106=60 （cm ） 211、分析提示：证明线段的各差倍分问题，要将具体问题具体分析创造出它们之间的有机联系，使之为一个整体，该题 BE 与 DF 分别在正方形的两

21、个不同的边上，因此想办法把它们放在一起，再与 EF 进行比较。证：延长 CB 到 G，使 BG=DF，连结 AG，通过证 ，得到ABGDF，再证 ，得到GAE45AEF， EFE，12、分析：观察图形，在 中，DF 是底边，O 是 BD 中点，若 E 也是 BFBD中点，那么可得 但显然 E 不是 BF 中点，所以我们作出这个三角O12，形的中位线，再证明 OE 就等于中位线长，作 OG/DF，那么 OG= DF，只需12证 OG=OE，看 和 ，因为 ， ，但34490290BFC，所以由 可推出，这样就得到了 OG=OE，从而证明3BFC1。OED12证明：过点 O 作 OG/DC，交 BF 于 G， 3，在正方形 ABCD 中， DCBA，90BF， 14902390124212,/又，是 中 点 ，是 中 点 ， OGEBDFFDE13、提示：连结 AF、CE 平行在四边形 ABCD 中，SSFACDEDPAFCEF/， ，