1、1第十四届大学生数学建模竞赛PM2.5 监测布点多目标规划模型摘 要：建立的 PM2.5 监测布点多目标规划模型，包含了 3 个目标和一个约束条件，选用多目标评价函数法求解。应用该模型对大气中的 PM2.5 监测布点进行了规划。结果表明，在相同布点数据下，多目标规划布点提供了多种选择，具有节省布点费用、提高布点质量、适应面较宽的优点。PM2.5 监测布点优化是指用尽可能少的监测点获得尽可能多的准确、全面的大气污染信息。目前主要采用经验法、统计法、模型法、综合法进行布点。在此基础上，我们综合考虑布点质量和费用，运用多目标规划方法对 PM2.5 监测进行进一步的研究。问题：如何在城市的不同区域布局
2、并有效使用 PM2.5 的监测装置,并使 PM2.5 的监测装置能够比较全面地掌握城市在不同时间段、不同气候特点（包括气温、风向和季节）下的 PM2.5 监测数据。关键词：PM2.5 监测；布点；多目标规划；评价函数法23目 录一、问题重述 .3二、符号说明 .3三、模型假设 .4四、问题分析 .4五、模型建立与求解 .4六、误差分析 .7七、模型推广 .7八、模型应用实例 .8九、模型评价 .14十、参考文献 .1541、问题重述PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。它的直径还不到人的头发丝粗细的 1/20。虽然PM2.5 只是地球大气成分中含量很少的
3、组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响。与较粗的大气颗粒物相比，PM2.5 粒径小，富含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响更大。 2012年2月，国务院同意发布新修订的环境空气质量标准增加了PM2.5检测指标。PM2.5监测网的布点，并不是想布哪里就布哪里。例如，香港14个PM2.5 监测站，有11个位于住宅区，还包括一些名符其实的马路监测站。可见，监测点的确定受到许多客观条件的限制，必须充分代表区域内全部PM2.5污染的状况，确定空气质量的变化趋势，为制定地方PM2.5污染防治规划和对策提供依据。二、符号说明F(X)-目标函数Fk(
4、X)-第 k 个目标，Xj-决策变量gi(X)-约束变量Pj-网格作为监测点(j=1);网格作为监测点(j=0)cj-j 网格处的年平均浓度n-j 网格处的超标频率，定义为所有超标的气象条件所对应的联合平率之和Xj-表示极差规格后的值m-网格数目q1-浓度权重系数q2-超标频率权重系数q3-费用权重系数5三、模型假设1、相近地域的气象特性具有较大的相似性和相关性，它们之间的影响可以近似为一种线性关系；2、该地区的地理特性具有一定的均匀性，即地理因素对气象的影响可忽略不计，各站PM2.5的数据分布是相互独立的；3、假定在个监测点在雨季时降雨量一样；4、不考虑该区域以外的其他因素对本地区的气象影响
5、；5、 每个观测站所花费用都是相同的。四、问题分析为了达到经济利益最优化，节省开支，尽量减少观测站个数，但相应得到的信息量也必将减少，因此最优的结果是站数比较少，同时得到的信息量仍足够大，在这两个互相制约的方面，站数和信息量之间，应主要考虑信息量，因为信息量减少到一定程度，PM2.5的观测数据会失去准确性，那么PM2.5的观测就失去了意义。因此，问题就是求怎样减少观测站的个数，在信息量不小于一定值的条件下使站数尽可能的减少。但是，信息量是一个比较模糊的概念，怎样才算信息量足够大，这就涉及观测部门是怎样分析利用PM2.5数据的，为此，必须分析数据的变化规律。我们通过对调查得到下面一些知识：PM2
6、.5的影响因素很多，在观测中，一般应比较全面地观测各种因素，从而汇总出具有一定特点、一定代表性的观测站的数据。大气系统由于其自身的规律、地理位置上的相似性以及各气象因素之间存在的客观联系，当去掉几个观测站时，为了保证信息量，应使剩下的点反映出各自规律。因此在原始数据中反映同一规律，即相关性、相似性好的n个站可以去掉n-1个站，而让剩下的一个站反映这n个站共同的特点，而原始数据中与其他联系不大的站就保留下来。保留下来站中的一个观测点的观测值实际上是作为相似区域或相近区域的代表值而使用，因此出考虑观测站的特点外，还应注意到一个观测站所代表的区域大小。因为去掉的站是相关性好的，因此去掉的站可以用剩下
7、的站来表示，而且误差较小。五、模型建立与求解6多目标规划是研究给定约束条件下同时要求多个目标都尽可能好的最优化问题。多目标优化的数学模型如下: ),(),.(,)(min21XffXFkmigtsi0njxj,.,其中， ， 是目标函数， 是第k个目标。 是决策变量，),.(21xX)(XF)(Xf jx是约束条件。)(gi1、 目标函数的确定目标函数包括最大化布点质量和最小化布点费用两个方面，其中布点质量可从污染物浓度和超标情况来考虑。布点费用基本上与投资费用成正比，故可用监测站的数目来表示。这样就有了3个目标，其相应的表达式如下：最大化各个监测点的浓度之和： jjcpmax最大化各个监测点
8、的超标频率之和： jjn最小化布点费用： jpin其中 网 格 不 作 为 监 测 点网 格 作 为 监 测 点jpj01j网格处的年平均浓度jcj网格处的超标频率，定义为所有超标的PM2.5所对应的联合频率之和。jn由对应的大气扩散模型计算得到。相应的大气扩散模型，可参考国家标准或行业、jc标准。因此，目标函数可表达如下（假设有m个网格） ；,n)(injjjj pcpF其中 ， 是目标函数， 是决策变量。,.21mpP)(j2、 约束条件的确定7对某一区域，监测布点的数目在未确定之前有一个范围，如果假定 为监测点数目21n、的上下限，那么这个约束条件可表达如下： 12npj监测点数目的范围
9、除了用户要求外，还可以按人口数确定、按浓度和范围确定。3、 模型的求解3.1 模型的规格化和标准化由上面讨论可知，PM2.5监测布点的多目标规划模型如下 ,)(minjjj pcpPFts12j由于目标函数中3个目标的量纲是不相同的，并且数值差异较大，所以在求解之前，首先要对多目标规划的各个目标进行规格化处理，选用如下极差规格化公式进行处理； )minax/()in(111 jjnjjjx式中表示极差规格化前的值；jx表示极差规格化后的值。j用此极差规格化公式将 中的污染物浓度、超标频率两个子目标化jjjpcn、为0,1之间的值，而对于第三个目标 可以看作 ，因此不需进行规格化处j 1*jp理
10、。规格化处理后，为了便于求解，要将多目标规划转化为标准形式。如果用 表示njjc、经极差规格化公式处理后的值，那么经过简单的数学变换，所求解的多目标规jjcn、划模型可化为如下的最小化标准形式（假设有m个网格）： ,n,)(i 111 mjjjjmjj pcpPF211,ntsjjjj 8或1，j=1,2，0jpmA3.2 求解方法对于上述多目标规划，根据其具有整数规划的特征，首先采用评价函数法中的线性加权和法，把多目标规格化如下的单目标优化： )n()(min1231jjmjj qpPF211,ntsjjjj 或1，j=1,2，0jpmA式中， 分别表示浓度、超标频率、费用3个目标的权重系数
11、，它们满足21q、，且 。由于目标函数及约束集具有凸性，所以3q,0321q均可等于0。21、上述单目标优化为整数规划中的 0-1 规划，可以采用完全枚举法和隐枚举法进行求解。由于完全枚举法需要检查 个可能的解（j 为决策变量的数目） ，而实际网格数2一般总有几十个，甚至上百个，所以不用完全枚举法，而采用隐枚举法求解，可得到最优监测点。六、误差分析1、实际上任何一个实际问题，严格的说都是非线性的。我们在建立模型前，进行了许多假设，从多方面对实际问题加以限制，但是在实际中，许多情况下，我们的假设是有问题的，这一点是建立模型时应当明确的。2、在有些模型中还要求决策变量取整数值，在线性规划的范围内来
12、处理这一问题，通常是将连续最优解通过四舍五入取整。当变量的最优值都比较大时，这种做法可行。3、本市目前尚未对PM2.5进行监测，本模型所用监测数据是相关城市已有的PM2.5监测数据，是作为本市研究性监测数据，只供参考。9七、模型推广该模型除了对PM2.5进行监测外，还适用于许多与环境污染有关的数据监测中去。例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域。该模型可应用于各城市pm2.5测站点排布。多目标线性规划数学模型在土地研究中，对于许多规划问题，常常考虑多个目标，如经济效益目标、生态效益目标、社会效益目标等等。八、模型应用实例监测PM2.5站点，按照国家标准选址布设。最先选址依据是空气和废气监测
13、分析方法（第四版）及环境空气质量监测规范。PM2.5监测主要反映城区情况，因此监测站布设范围都在规划区内。PM2.5监测主要考察对人体健康的影响，所以监测站多在人口密度较大的地区布设选址。监测点要反映一个区域的整体空气质量状况，因此选址不能靠近污染源， PM2.5空气质量监测站要根据地区人口密度设置30万以上人口的城市须至少设5个监测站。监测站周围50米范围不能有污染源，监测站周围须空旷无遮挡，以便空气流通。只有监测污染源排放水平的监测站点，才会在污染源附近的下风向选址，而路边20米以内设置的监测站只用于监测道路交通污染。这两类监测站测得的数据都不能用于评价环境空气质量。1、庆阳市新区周边环境
14、概况庆阳市新城区因规划不久，各种相关资料奇缺，根据现有资料查阅得到，庆阳市新区北边紧靠老城区，且兰州路车流量和人口流动量较大；东西两侧均为待开发的郊区，人口稀少，并且无大型的工业建筑；南侧紧靠董志乡，西南方向约7公里建有庆化炼油厂。在庆阳新区内，在岐黄大道、兰州路、秦直路两侧有较多的建筑；车流量较多的有岐黄大道、陇东大道、石油路和兰州路。其他已建在建或在规划中的道路均有较少的车流量，污染较少。考虑到根据其他城市测得细颗粒物PM2.5在城市空气中分布相对均匀，即使设在公园中也与设在居民区差异不大的规律，2、划分网格，按几何图形平均布点法综合以上布点要求将规划区域的西南端点作为坐标原点，以正东方向
15、为正x轴，正北方向为正y轴，10建立相应的坐标系x0y，如图所示。 （由于无法查询到庆阳市新区的具体尺寸、面积、生活区和工业区的分布，及时间因数，因此主要按其规划的几条主次干道布点）在坐标系x0y内，以1、2、3.的顺序进行编号，共得到25个网格单元，在此坐标系内统计污染源数据。庆阳市 PM2.5 监测站平均值PM2.5g/m3测站点号 测站坐标春季 夏季 秋季（雨季） 冬季111 (0，O) 26 30 10 282 (1，O) 29 32 13 233 (2，O) 35 33 18 404 (3，O) 37 36 17 425 (4，O) 25 31 18 336 (0，A) 26 32
16、13 297 (1，A) 30 32 20 308 (2，A) 33 39 25 349 (3，A) 34 42 27 3510 (4，A) 31 33 21 2911 (0，B) 27 30 20 3112 (1，B) 32 34 22 3013 (2，B) 36 40 30 3914 (3，B) 36 44 31 4415 (4，B) 30 34 24 3316 (0，C) 31 33 19 2917 (1，C) 32 35 21 3118 (2，C) 40 45 26 3919 (3，C) 45 49 27 3820 (4，C) 35 40 22 3321 (0，D) 38 41 23
17、3922 (1，D) 38 40 22 4023 (2，D) 40 44 25 4424 (3，D) 44 49 29 5025 (4，D) 39 44 24 45注：由于庆阳市没有对PM2.5进行监测的历史数据，故而根据影响PM2.5的因素（道路扬尘、气温、风向和季节）和某城市已检测的PM2.5历史数据相结合得到此表。2、 浓度计算利用环境影响评价技术导则中的大气扩散模型，计算各网格点在PM2.5下的浓度以及年平均浓度，再利用规格化格式，对各网格点的年平均浓度进行规格化处理，计算结果如下表。庆阳市 PM2.5 监测站平均值PM2.5 平均值 mg/m3测站点号 测站坐标 春季 夏季 秋季(雨
18、季） 冬季 全年1 (0，O) 26 30 10 28 23.52 (1，O) 29 32 13 23 24.253 (2，O) 35 33 18 40 31.54 (3，O) 37 36 17 42 33125 (4，O) 25 31 18 33 26.756 (0，A) 26 32 13 29 257 (1，A) 30 32 20 30 288 (2，A) 33 39 25 34 32.759 (3，A) 34 42 27 35 34.510 (4，A) 31 33 21 29 28.511 (0，B) 27 30 20 31 2712 (1，B) 32 34 22 30 29.513 (
19、2，B) 36 40 30 39 36.2514 (3，B) 36 44 31 44 38.7515 (4，B) 30 34 24 33 30.2516 (0，C) 31 33 19 29 2817 (1，C) 32 35 21 31 29.7518 (2，C) 40 45 26 39 37.519 (3，C) 45 49 27 38 39.7520 (4，C) 35 40 22 33 32.521 (0，D) 38 41 23 39 35.2522 (1，D) 38 40 22 40 3523 (2，D) 40 44 25 44 38.2524 (3，D) 44 49 29 50 4325
20、(4，D) 39 44 24 45 38规格化后的各网格点的年平均浓度庆阳市 PM2.5 监测站平均值PM2.5g/m3测站点号 测站坐标 春季 夏季 秋季（雨季） 冬季1 (0，O) 0.8 1 0 0.92 (1，O) 0.842105 1 0 0.5263163 (2，O) 0.772727 0.681818 0 14 (3，O) 0.8 0.76 0 15 (4，O) 0.466667 0.866667 0 16 (0，A) 0.684211 1 0 0.8421057 (1，A) 0.833333 1 0 0.8333338 (2，A) 0.571429 1 0 0.6428579
21、(3，A) 0.466667 1 0 0.53333310 (4，A) 0.833333 1 0 0.66666711 (0，B) 0.636364 0.909091 0 112 (1，B) 0.833333 1 0 0.66666713 (2，B) 0.6 1 0 0.914 (3，B) 0.384615 1 0 115 (4，B) 0.6 1 0 0.916 (0，C) 0.857143 1 0 0.7142861317 (1，C) 0.785714 1 0 0.71428618 (2，C) 0.736842 1 0 0.68421119 (3，C) 0.818182 1 0 0.520
22、(4，C) 0.722222 1 0 0.61111121 (0，D) 0.833333 1 0 0.88888922 (1，D) 0.888889 1 0 123 (2，D) 0.789474 1 0 124 (3，D) 0.714286 0.952381 0 125 (4，D) 0.714286 0.952381 0 15、浓度和超标频率计算用上述计算所得的各种气象条件下的浓度，以国家二级标准中的PM2.5是否为超标的判断依据（国家标准见附录） ，计算各个网格点中相应的超标频率，对超标频率进行规格化处理，计算结果如下表。测站点号 测站坐 标 采集样品数 超标样品数 超标倍数1 (0，O)
23、4 0 02 (1，O) 4 0 03 (2，O) 4 1 04 (3，O) 4 3 1.048（1.029-1.057）5 (4，O) 4 0 06 (0，A) 4 0 07 (1，A) 4 0 08 (2，A) 4 1 1.1149 (3，A) 4 1 1.210 (4，A) 4 0 011 (0， B) 4 0 012 (1， B) 4 0 013 (2， B) 4 3 1.100（1.029-1.143）14 (3， B) 4 3 1.143（1.029-1.257）15 (4， B) 4 0 016 (0， C) 4 0 017 (1， C) 4 0 018 (2， C) 4 3 1
24、.181（1.114-1.286）19 (3， C) 4 3 1.257（1.086-1.400）20 (4， C) 4 1 1.14321 (0，D) 4 3 1.124（1.086-1.171）22 (1，D) 4 3 1.124（1.086-1.143）23 (2，D) 4 3 1.219（1.143-1.257）24 (3，D) 4 3 1.362（1.257-1.429）25 (4，D) 4 3 1.219（1.143-1.286）146、 多目标规划布点在本例中，假设该区域最少应布置4个点，而庆阳市最多可承受10个点的费用，所以n 1=10、n 2=4。所以，要求解的多目标模型可以
25、转化为如下的单目标优化模型： ,)(mi jjjj pcpPFS t 4,102525jjjjPj=0或1，j=1,2，,25.对于上述单目标优化，当权重系数一定时，经计算就可以达到唯一的最优解，这个解相当于多目标规划的一个非劣解，相应的随着权重系数的不断变化，就会产生一系列最优解，一列多目标规划的非劣解。庆阳市可根据自己的需求，选择适合自己的方案。例如，该市重视污染状况，而布点费用处于次要地位，因此需要在非劣解中选择相符合的布点方案。经计算，在下面非劣解的条件下（q 1=0.50，q 2=0.30，q 3=0.20） ；计算结果如下图，选择点3、5、6、9、15、19、20、25网格作为监测
26、点。PM2.5mg/m测站点号测站坐标 春季 夏季 秋季(雨) 冬季 年度 点位排序 最优点1 (0，O) 0.1513 0.1574 0.089 0.1551 0.077175 242 (1，O) 0.1687 0.1679 0.1156 0.1274 0.08415 213 (2，O) 0.2036 0.1731 0.1601 0.2216 0.094175 14 34 (3，O) 0.2153 0.1889 0.1512 0.2327 0.10105 125 (4，O) 0.1454 0.1626 0.1601 0.1828 0.077 25 56 (0，A) 0.1513 0.1679
27、 0.1156 0.1607 0.0798 22 67 (1，A) 0.1745 0.1679 0.1779 0.1662 0.0856 208 (2，A) 0.192 0.2046 0.2224 0.1884 0.09915 139 (3，A) 0.1978 0.2203 0.2402 0.1939 0.104525 9 910 (4，A) 0.1804 0.1731 0.1868 0.1607 0.088375 1711 (0，B) 0.1571 0.1574 0.1779 0.1718 0.078625 2312 (1，B) 0.1862 0.1784 0.1957 0.1662 0.0
28、9115 1613 (2，B) 0.2094 0.2098 0.2669 0.2161 0.1048 1114 (3，B) 0.2094 0.2308 0.2758 0.2438 0.11005 615 (4，B) 0.1745 0.1784 0.2135 0.1828 0.088225 19 1516 (0，C) 0.1804 0.1731 0.169 0.1607 0.088375 1717 (1，C) 0.1862 0.1836 0.1868 0.1718 0.09245 1518 (2，C) 0.2327 0.2361 0.2313 0.2161 0.1172 419 (3，C) 0.
29、2618 0.2571 0.2402 0.2105 0.129725 1 1920 (4，C) 0.2036 0.2098 0.1957 0.1828 0.10335 10 2021 (0，D) 0.2211 0.2151 0.2046 0.2161 0.10905 71522 (1，D) 0.2211 0.2098 0.1957 0.2216 0.107725 823 (2，D) 0.2327 0.2308 0.2224 0.2438 0.115875 324 (3，D) 0.256 0.2571 0.258 0.277 0.128275 225 (4，D) 0.2269 0.2308 0.
30、2135 0.2493 0.114425 5 25九、模型评价权重系数对多目标规划结果的影响当权重系数p 2（p 2=0.30）和p 1（p 1=0.50）不变时，监测点数与p 3的关系如下两图所示。图1 q 2不变时q 3对监测点数的影响图1、图2表明在相同布点数据的情况下，监测点总是随着q 3增大而阶跃性减少，直至检测点数下限为止。这是因为只要权重系数q 3增加，权重系数q 1和q 2之和就会减少，即意味着对布点费用的重视程度增加，对布点质量的重视程度减少，那么多使用一个监测点所付出的代价与相应提高布点质量所得的效益之差就会越来越大，这样多目标规划会尽可能的减少监测点的数目，以尽可能的保证
31、总体效益的最大化，因此检测点数就会不断减少，直至满足约束条件而无法减少为止。所以在多目标规划布点中，不同的权重系数会产生不同的非劣解、不同的布点方16案，城市可以根据自己的需求，在非劣解中挑选相应的布点规划方案。这样就可以让不同的城市根据自己的实际情况，选择不同的布点方案，使得所产生的布点方案具有很好的复制性和可移植性。图2 q1不变时q 3对监测点数的影响十、参考文献1姜启源.谢金星，叶俊.数学模型，第三版.北京：高等教育出版社，20032刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.第2版.北京：北京师范大学出版社，20023任善强，雷鸣.数学模型与数学建模.第2版.北京：北京师范大学出版社，200
32、24杨启帆，方道元.数学建模.杭州：浙江大学出版社，19995唐焕文，贺明峰.数学模型引论，第二版.北京：高等教育出版社，20016寿纪麟.数学建模方法与范例.西安：西安交通大学出版社，19937徐全智，杨晋浩.数学建模.北京：高等教育出版社，20048沈继红，施久玉，高振滨，张晓威.数学建模.哈尔滨工程大学出版社，19969李尚志主编.数学建模竞赛教程.南京：江苏教育出版社，199610袁震东等.数学建模.上海：华东师范大学出版社，19971711朱道元等.数学建模案例精选.北京：科学出版社，200312雷功炎.数学模型讲义.北京：北京大学出版社，199913周义仓，赫孝良.数学建模实验.西
33、安：西安交通大学出版社，199914萧树铁主编.数学实验.北京：高等教育出版社，199915赵静，但琪.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，200316刘成平.数学建模方法.北京：高等教育出版社，200217边馥萍等.数学模型方法与算法.北京：高等教育出版社，200518李大潜主编.中国大学生数学建模竞赛，第二版.北京：高等教育出版社，2001十一、附 录【PM2.5浓度的等级】依照国家最新公布的环境空气质量标准，PM2.5浓度设置了两个等级的标准：一、级标准限值为年平均为15微克/立方米，24小时平均为35微克/立方米；二、级标准限值为年平均为35微克/立方米，24小时平均为75微克/立方米。其中 一、级标准适用于自然保护区、风景名胜区和其他需要特殊保护的区域；二、级标准适用于居住区、商业交通居民混合区、文化区、工业区和农村地区。【环境质量监测规范】
