1、 中考复习专题 -圆的切线的判定与性质2009 年 5 月 10 日2009 年中考复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：【例 1】如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于 E 点，过 E 点作O 的切线，交 BC 于 D 点， DEDC，作 EFAC 于 F 点，交 AD 于 M 点。（1）求证：BC 是O 的切线；（2）EMFM。分析：（1）由于 AC 为直径
2、，可考虑连结 EC，构造直角三角形来解题，要证 BC 是O 的切线，证到13 900 即可；（2）可证到 EFBC，考虑用比例线段证线段相等。证明：（1）连结 EC，DECD，12DE 切O 于 E，2BACAC 为直径，BAC390 01390 0，故 BC 是O 的切线。（2）1390 0，BCAC又EFAC，EF BC CDMFABBDCD，EMFM【例 2】如图，ABC 中，ABAC，O 是 BC 的中点，以 O 为圆心的圆与 AB 相切于点 D。求证：AC 是O 的切线。分析：由于O 与 AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向 AC 作垂线段 OE，证 OE 就是O 的半径即可。
3、证明：连结 OD、OA，作 OEAC 于 EABAC ，OBOC，AO 是BAC 的平分线AB 是O 的切线，OD AB又OEAC，OEODAC 是O 的切线。【例 3】如图，已知 AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦AD，OA 。r（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求 的值；CAD（3）若 ADOC ，求 CD 的长。r29分析：（1）要证 CD 是O 的切线，由于 D 在O 上，所以只须连结 OD，证ODDC 即可；（2）求 的值，一般是利用相似把 转化为其它线段长的 CA乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由，ADOC 可求出 AD、O
4、C，根据勾股定理即可OCADr29求出 CD。例 1图 321MFOEDCBA例 2图 EODCBA例 3图 321ODCBA证明：（1）连结 OD，证ODC90 0 即可；（2）连结 BDAB 为O 的直径，ADB 90 0OBC90 0，ADBOBC又A3， ADBOBC CBD 2rA（3）由（2）知 ，又知 ADOCOr29AD、OC 是关于 的方程 的两根x02rx解此方程得 ，1r42OC ，OCCD rrODC15622探索与创新：【问题一】如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG 切半圆于 E，交 AD 于 F，交 BA 的延长线于 G，
5、GA 8。（1）求G 的余弦值；（2）求 AE 的长。略解：（1）设正方形 ABCD 的边长为 ，FAFE6，在 RtFCD 中，a， ，解得 。2CDF22)()(bab4 54cosABCD ，GFCD， cosG（2）连结 BE，CG 切半圆于 E，AEGGBEG 为公共角，AEGEBG 2136BEA在 Rt AEB 中，可求得 54A【问题二】如图，已知ABC 中，ACBC，CAB （定值） ，O 的圆心 O 在AB 上，并分别与 AC、BC 相切于点 P、Q 。（1）求POQ；（2）设 D 是 CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点 M，点 E 在 CB 的延长线上，试判断
6、DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。分析：（1）连结 OC，利用直角三角形的性质易求POQ；（2）试将DOE 用含的式子表示出来，由于 为定值，则DOE 为定值。问 题 一 图 G F EO DCBA解：（1）连结 OCBC 切O 于 P、Q，12，OPCA，OQCBCACB，COABCOPCAB ， COQ CBACAB ，POQCOPCOQ2（2）由 CD、DE、CE 都与O 相切得：ODE CDE ，OED CED2121DOE180 0（ ODE OED）180 0 （CDECED）180 0 （180 0ACB）21180 0 1800（180 0 ）2 18DOE 为定值。跟踪
7、训练：一、选择题：1、 “圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在 RtABC 中，A90 0，点 O 在 BC 上，以 O 为圆心的O 分别与 AB、AC 相切于 E、F，若 AB ，AC ，则O 的半径为（ ）abA、 B、 C、 D、bba2ba3、正方形 ABCD 中，AE 切以 BC 为直径的半圆于 E，交 CD 于 F，则 CFFD（ ）A、12 B、13 C、14 D、254、如图，过O 外一点 P 作O
8、的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，连结 AB，在AB、PB、PA 上分别取一点 D、E、F，使 ADBE，BDAF，连结 DE、DF、EF，则EDF（ ）A、90 0P B、90 0 P C、180 0P D、45 0 P2 21问 题 二 图 NQPEODCBA第 3题 图 O FE DCBA第 4题 图 POFEDBA第 6题 图 COEDB A二、填空题：5、已知 PA、PB 是O 的切线， A、B 是切点，APB78 0，点 C 是O 上异于 A、B 的任一点，则ACB 。6、如图，ABBC，DCBC，BC 与以 AD 为直径的O 相切于点 E，AB9，CD 4，则四边形 A
9、BCD 的面积为 。7、如图，O 为 RtABC 的内切圆，点 D、E、F 为切点，若 AD6，BD 4，则ABC的面积为 。8、如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点 B 的切线，过O 上 A 点的直线ADOC，若 OA2 且 ADOC6，则 CD 。第 7题 图 FCOEDBA第 8题 图 CODBA第 9题 图 CO DBA9、如图，已知O 的直径为 AB，BDOB，CAB30 0，请根据已知条件和所给图形写出 4 个正确的结论（除 OAOBBD 外）： ； ； ； 。10、若圆外切等腰梯形 ABCD 的面积为 20，AD 与 BC 之和为 10，则圆的半径为 。三、计算
10、或证明题：11、如图，AB 是半O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动（不与点 M 重合） ，点 Q 在半 O 上运动，且总保持 PQPO，过点 Q 作O 的切线交BA 的延长线于点 C。（1）当QPA60 0 时，请你对QCP 的形状做出猜想，并给予证明；（2）当 QPAB 时，QCP 的形状是 三角形；（3）则（1） （2）得出的结论，请进一步猜想，当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时，QCP 一定是 三角形。12、如图，割线 ABC 与O 相交于 B、C 两点，D 为O 上一点，E 为 的中点，BCOE 交 BC 于 F，DE 交 AC 于 G，AD
11、GAGD。（1）求证：AD 是O 的切线；（2）如果 AB2，AD4，EG2，求O 的半径。第 1题 图 MQPC O BA第 12题 图 DE FGCBA第 13题 图 ODE CBA13、如图，在ABC 中，ABC90 0，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D，AD2，AE1，求 。BCDS14、如图，AB 是半圆（圆心为 O）的直径，OD 是半径， BM 切半圆于 B，OC 与弦AD 平行且交 BM 于 C。（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设 AD 长为 ，点 A 到直线 CD 的距离为 ，xy试求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。yx第 14题 图 MODCBA第 15题 图 TEPOC BA15、如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 的半径 AO 上运动， PCAB 交O 于E，PT 切O 于 T，PC2.5。（1）当 CE 正好是O 的半径时，PT2，求O 的半径；（2）设 ， ，求出 与 之间的函数关系式；yPxAyx（3）PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出PTC 的面积；若不能，请说明理由。
