1、- 1 -2017 年江苏省常州市前黄中学高考数学模拟试卷（4 月份）一、填空题：1已知全集 U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x 2=x，则 A UB= 2设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为 3某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本进行调查，已知该校有高一学生 600 人，高二学生 400 人，高三学生200 人，则应从高一学生抽取的人数为 4根据如图的伪代码，输出的结果 T 为 5记不等式 x2+x60 的解集为集合 A，函数 y=lg（xa）的定义域为集合 B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数 a 的
2、取值范围为 6已知 （0，） ，sin（+ = ，则 tan= 7已知正三棱锥的体积为 9 cm3，高为 3cm则它的侧面积为 cm 28若实数 x，y 满足不等式组 ，则 z=y2x 最小值等于2，z 的最大值 9设等比数列a n的前 n 项积为 n，若 12=32 7，则 a10的值是 10已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 11已知 f（x）= ，则不等式 f（x 2x+1）12 解集是 12在ABC 中，AB=BC=2，AC=3，设 O 是ABC 的内心，若 =p +q ，则 的值为 - 2 -13设 G 是三角形的重心，且 =0，若存在
3、实数 ，使得 ， ， 依次成等差数列，则实数 为 14已知圆 O：x 2+y2=4 与曲线 C：y=3|xt|，曲线 C 上两点 A（m，n） ，B（s，p）（m、n、s、p 均为正整数） ，使得圆 O 上任意一点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值k（k1） ，则 msn p= 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=4，sin2A=sinC（1）若 b=5，求ABC 的面积；（2）若 b8，证明：角 B 为钝角16已知直三棱柱 ABCA 1B1C1的底面ABC 中，C=90，BC= ，BB 1=2，O 是 A
4、B1的中点，D 是 AC 的中点，M 是 CC1的中点，（1）证明：OD平面 BB1C1C； （2）试证：BMAB 117某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 E=cvnT，其中 v 为进行时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h） ，c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为 4km/h，该生物探测器在水中逆流行进 200km（1）求 T 关于 v 的函数关系式；（2）当能量次级数为 2 时，求探测器消耗的最少能量；当能量次级数为 3 时，试确定 v 的大小，使该探测器消耗的能量最少18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（
5、 ，0） ，F 2（ ，0） ，且椭圆 的上顶点到直线 x+y+1=0 的距离等于 1- 3 -（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 P（1，2）作两条倾斜角互补的两直线 l1，l 2分别交椭圆 于 A，B，C，D 四点，求 kAC+kBD的值19已知函数 f（x）=x 3x+2 （）求函数 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）令 g（x）= +lnx，若函数 y=g（x）在（e，+）内有极值，求实数 a 的取值范围；（）在（）的条件下，对任意 t（1，+） ，s（0，1） ，求证：20已知有穷数列： 的各项均为正数，且满足条件：a 1=ak； （）若 k=3，a 1=2，求出
6、这个数列；（）若 k=4，求 a1的所有取值的集合；（）若 k 是偶数，求 a1的最大值（用 k 表示） 选修 4-2：矩阵与变换21已知，点 A 在变换 T： 作用后，再绕原点逆时针旋转 90，得到- 4 -点、B若点 B 的坐标为（3，4） ，求点 A 的坐标选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是 = （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，当直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB|23
7、如图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中，部分的面积各占转盘面积的 ， ， ， 游戏规则如下：当指针指到，部分时，分别获得积分 100 分，40 分，10 分，0 分；（）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分，则按获得相应的积分，游戏结束；（）若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于 40 分，则最终积分为 0 分，否则最终积分为 100 分，游戏结束设某人参加该游戏一次所获积分为 （1）求 =0 的概率；（2）求 的概率分布及数学期望24设函数 f（x）=ln
8、x+ 1（1）求 f（x）的最小值（2）若数列a n满足，a 1=1，a n+1=f（a n）+2（nN *） ，证明：2a n3（n3，nN *） - 5 - 6 -2017 年江苏省常州市前黄中学高考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、填空题：1已知全集 U=Z，A=1，0，1，2，B=x|x 2=x，则 A UB= 1，2 【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】先将 B 化简，求出 C UB，再求出 AC UB【解答】解：B=x|x 2=x=0，1 C UB=xZ|x0，且 x1，AC UB=1，2故答案为：1，22设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 的值为
9、1 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值【解答】解： = 复数 为纯虚数， ，即 a=1故答案为：13某校为了解高中学生的阅读情况，拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本进行调查，已知该校有高一学生 600 人，高二学生 400 人，高三学生200 人，则应从高一学生抽取的人数为 30 【考点】B3：分层抽样方法【分析】利用分层抽样的方法直接求解【解答】解：采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本进行调查，已知该校有高一学生 600 人，高二学生 40
10、0 人，高三学生 200 人，则应从高一学生抽取的人数为： =30- 7 -故答案为：304根据如图的伪代码，输出的结果 T 为 100 【考点】EA：伪代码【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件 T=1+3+5+7+19 时，T 的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件 T=1+3+5+7+19 值T=1+3+5+7+19= =100，故输出的 T 值为 100故答案为：1005记不等式 x2+x60 的解集为集合 A，函数 y=lg（xa）的定义域为集合 B
11、若“xA”是“xB”的充分条件，则实数 a 的取值范围为 （，3 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据条件求出 A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由 x2+x60 得3x2，即 A（3，2） ，由 xa0，得 xa，即 B=（a，+） ，若“xA”是“xB”的充分条件，则 AB，即 a3，故答案为：（，3- 8 -6已知 （0，） ，sin（+ = ，则 tan= 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 cos（+ ） 的值，可得tan（+ ） 的值，再利用两角差的正切公式，求得 ta
12、n 的值【解答】解：已知 （0，） ，sin（+ = ，+ （ ， ） ，cos（+ ）= = ，tan（+ ）= = = ，tan=，故答案为： 7已知正三棱锥的体积为 9 cm3，高为 3cm则它的侧面积为 18 cm 2【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用三棱锥的体积求出底面面积，得到底面边长，求解侧面积即可【解答】解：正三棱锥的体积为 9 cm3，高为 3cm可得底面正三角形的面积为： ，解得 S=9 设底面边长为 xcm由题意可得： ，解得 x=6侧面斜高 h= =2 它的侧面积 S=3 62 =18 故答案为：18 8若实数 x，
13、y 满足不等式组 ，则 z=y2x 最小值等于2，z 的- 9 -最大值 10 【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出 m 的值，然后结合数形结合即可得到结论【解答】解：由 z=y2x，得 y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线 y=2x+z，由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 C 时，直线 y=2x+z 的截距最小，此时 z 取得最小值2，由 得 ，即 C（1，0） ，将 C（1，0）代入 x+y+m=0，得 m=1，即此时直线方程为 x+y1=0，当直线 y=2x+z 经过点 B 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z
14、 取得最大值由 ，得 ，即 B（3，4） ，此时 z 的最大值为 z=42（3）=10，故答案为：109设等比数列a n的前 n 项积为 n，若 12=32 7，则 a10的值是 2 【考点】89：等比数列的前 n 项和- 10 -【分析】利用 12=32 7，求出 a8a9a12=32，再利用等比数列的性质，可求 a10【解答】解：等比数列a n的前 n 项积为 n， 12=32 7，a 1a2a3a12=32a1a2a3a7，a 8a9a12=32，（a 10） 5=32，a 10=2故答案为：210已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 55
15、【考点】7F：基本不等式【分析】正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，可得 y= 0，解得 0x21则xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ +42=3 +31，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，y= 0，x0，解得0x21则 xy+5x+4y=3x+y+42=3x+ +42=3 +313 +31=55，当且仅当 x=1，y=10 时取等号xy+5x+4y 的最小值为 55故答案为：5511已知 f（x）= ，则不等式 f（x 2x+1）12 解集是 （1，2） 【考点】5B：分段函数的应用【分析】由题意可得函数 f（x）为奇函数
16、，函数 f（x）在 R 上是增函数令 x2+x=12，求得x=3 或 x=4（舍去） 故由不等式 f（x 2x+1）12，可得 x2x+13，由此求得 x 的范围- 11 -【解答】解：f（x）= ，f（x）=f（x）恒成立，函数 f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+）上是增函数，f（0）=0，可得函数 f（x）在 R 上是增函数令 x2+x=12，求得 x=3 或 x=4（舍去） 由不等式 f（x 2x+1）12，可得 x 2x+13，即 （x+1） （x2）0，解得1x2，故答案为：（1，2） 12在ABC 中，AB=BC=2，AC=3，设 O 是ABC 的
17、内心，若 =p +q ，则 的值为 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】在 两边分别同乘以向量 ，从而得到，画出图形并取 AC 边的中点 D，O 在 BD 上，所以，由余弦定理可求得cosBAC= ，这样进行数量积的计算即可得到关于 p，q 的两个方程，解方程组即可求出p，q，从而求出 【解答】解：如图，O 为ABC 的内心，D 为 AC 中点，则：O 在线段 BD 上；cosDAO= ，根据余弦定理：cosBAC=；由 得： ；- 12 - =； ；同理 ；可以得到 ；联立可求得 ； 故答案为： 13设 G 是三角形的重心，且 =0，若存在实数 ，使得 ， 依次成等差数列，则实数
18、 为 【考点】8L：数列与向量的综合；9R：平面向量数量积的运算【分析】利用 G 点为ABC 的重心，且 =0，进一步得到用 、 表示，得到三边关系，将所求转化为三角的弦函数表示整理即得可【解答】解：G 为三角形 ABC 的重心，且 =0， =0，即 =0，b 22c 22bccosA=0又 + = ，即 + = ，- 13 -2=（ + ）= = = = ，故 = ，故答案为： 14已知圆 O：x 2+y2=4 与曲线 C：y=3|xt|，曲线 C 上两点 A（m，n） ，B（s，p）（m、n、s、p 均为正整数） ，使得圆 O 上任意一点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值k（k1
19、） ，则 msn p= 0 【考点】3R：函数恒成立问题【分析】设 p（x 0，y 0） ，则 x02+y02=4，结合且 P 点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值k（k1） ，m、n、s、p 均为正整数，求出 m、n、s、p 的值，可得答案【解答】解：设 p（x 0，y 0） ，则 x02+y02=4，且 P 点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值 k（k1） ，=k（k1） ，4+m2+n22mx 02ny 0=k2（4+s 2+p22sx 02py 0）消去 m，n 得 s2+p2= 4所以 s=p=1，k= ，此时 m=n=2，此时 msn p=0，- 14 -故答案
20、为：0二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=4，sin2A=sinC（1）若 b=5，求ABC 的面积；（2）若 b8，证明：角 B 为钝角【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】 （1）由二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，解方程可得 c，再由三角形的面积公式，计算可得结论；（2）运用二倍角的正弦公式和正弦定理，2acosA=c，A 为锐角，由正弦定理可得c=acosB+bcosA，再由不等式的性质可得 cosB0，可得 B 为钝角【解答】解：（1）a=4，sin2A=sinC，可得 2sinAcosA=si
21、nC，由正弦定理可得 2acosA=c，即有 cosA= = ，b=5，由余弦定理可得 16=25+c210ccosA，即有 c=6，可得 cosA= ，sinA= = ，则ABC 的面积为 S= bcsinA= 56 = ；（2）证明：a=4，sin2A=sinC，可得 2sinAcosA=sinC，由正弦定理可得 2acosA=c，A 为锐角，由 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，由正弦定理可得 c=acosB+bcosA，即为 8cosA=4cosB+bcosA，b8，可得 8cosA=4cosB+bcosA4cosB+8cosA，可得 cosB0，则 B
22、为钝角- 15 -16已知直三棱柱 ABCA 1B1C1的底面ABC 中，C=90，BC= ，BB 1=2，O 是 AB1的中点，D 是 AC 的中点，M 是 CC1的中点，（1）证明：OD平面 BB1C1C； （2）试证：BMAB 1【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （1）连 B1C 利用中位线的性质推断出 ODB 1C，进而根据线面平行的判定定理证明出OD平面 BB1C1C（2）先利用线面垂直的性质判断出 CC1AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出 AC平面BB1C1C，进而可知 ACMB利用证明BCDB 1BC，推断出CBM=BB 1C，
23、推断出BMB 1C，最后利用线面垂直的判定定理证明出 BM平面 AB1C，进而可知 BMAB 1【解答】证明：（1）连 B1C，O 为 AB1中点，D 为 AC 中点，ODB 1C，又 B1C平面 BB1C1C，OD平面 BB1C1C，OD平面 BB1C1C（2）连接 B1C，直三棱柱 ABCA 1B1C1，CC 1平面 ABCAC平面 ABC，CC 1AC，又 ACBC，CC 1，BC平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C，BM平面 BB1C1C，ACMB在 RtBCM 与 RtB 1BC 中， = = ，BMCB 1BC，- 16 -CBM=BB 1C，BB 1C+B 1BM=CBM+
24、B 1BM=90，BMB 1C，AC，B 1C平面 AB1C，BMAB 1C，AB 1平面 AB1C，BMAB 117某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 E=cvnT，其中 v 为进行时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：h） ，c 为常数，n 为能量次级数，如果水的速度为 4km/h，该生物探测器在水中逆流行进 200km（1）求 T 关于 v 的函数关系式；（2）当能量次级数为 2 时，求探测器消耗的最少能量；当能量次级数为 3 时，试确定 v 的大小，使该探测器消耗的能量最少【考点】5C：根据实际问题选择函数类型【分析】 （1）分别求出探测器相对于河岸的速度，建立条件即可
25、即可求 T 关于 v 的函数关系式；（2）当能量次级数为 2 时，利用分式函数的性质结合基本不等式进行求解当能量次级数为 3 时，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为 ，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于 4km/h，即为 v4，则 =v4，即 T= ， （v4） ；（2）当能量次级数为 2 时，由（1）知，v4，E=200c =200c =200c（v4）+ +8200c2 +8=3200c，当且仅当 v4= ，即 v=8km/h 时取等号，当能量次级数为 3 时，由（1）知，E=200c ，v4，- 17 -则 E=20
26、0c ，由 E=0，解得 v=6，即当 v6 时，E0，当 v6 时，E0，即当 v=6 时，函数 E 取得最小值为 E=21600C18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ： =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，且椭圆 的上顶点到直线 x+y+1=0的距离等于 1（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 P（1，2）作两条倾斜角互补的两直线 l1，l 2分别交椭圆 于 A，B，C，D 四点，求 kAC+kBD的值【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程【分析】 （1）椭圆上顶点（0，b） ，由题意可得： =1，c= ，a 2=b2+c
27、2联立解出即可得出（2）设直线 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为kA（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） 直线 l1，l 2的方程分别为：y2=k（x1） ，y2=k（x1） ，分别与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其斜率计算公式即可得出【解答】解：（1）椭圆上顶点（0，b） ，由题意可得： =1，c= ，a 2=b2+c2联立解得 b=1，a=2- 18 -椭圆的标准方程为： =1（2）设直线 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为kA（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，D（x 4，y 4） 直线 l1
28、，l 2的方程分别为：y2=k（x1） ，y2=k（x1） ，联立 ，化为：（1+4k 2）x 2+（16k8k 2）x+4k 216k+12=0，0，x 1+x2= ，x 1x2= ，同理可得：x 3+x4= ，x 3，x 4= ，k AC+kBD= + =+= +=，分子=2k +=0k AC+kBD=019已知函数 f（x）=x 3x+2 - 19 -（）求函数 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）令 g（x）= +lnx，若函数 y=g（x）在（e，+）内有极值，求实数 a 的取值范围；（）在（）的条件下，对任意 t（1，+） ，s（0，1） ，求证：【考点】6D：利用
29、导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程（）化简 g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数 h（x）=x 2（a+2）x+1，要使 y=g（x）在（e，+）上有极值，转化为 h（x）=x 2（a+2）x+1=0 有两个不同的实根 x1，x 2，利用判别式推出 a 的范围，判断两个根的范围，然后求解 a 的范围（）转化已知条件为t（ 1，+） ，都有 g（t）g（ x2） ，通过函数的单调性以及最值，推出=，构造函数，利用导数以及单调性求解即可【解答】 （）
30、解：f（1）=1 31+21=2函数 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为：y2=3（x1） ，即 3xy1=0 （）解：- 20 -定义域为（0，1）（1，+）设 h（x）=x 2（a+2）x+1，要使 y=g（x）在（e，+）上有极值，则 h（x）=x 2（a+2）x+1=0 有两个不同的实根 x1，x 2，=（a+2） 240a0 或 a4而且一根在区间（e，+）上，不妨设 x2e，又因为 x1x2=1，又 h（0）=1，联立可得： （）证明：由（）知，当 x（1，x 2） ，g（x）0，g（x）单调递减，x（x 2+）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）在（1，+）上有
31、最小值 g（x 2）即t（1，+ ） ，都有 g（t）g（x 2）又当 x（0，x 1） ，g（x）0g（x）单调递增，当 x（x 1，1） ，g（x）0，g（x）单调递减，g（x）在（0，1）上有最大值 g（x 1）即对s（0，1 ） ，都有 g（s）g（x 1）又x 1+x2=2+a，x 1x2=1，x 1（0， ） ，x 2（e，+） ，=- 21 -= ， ，k（x）在（e，+）上单调递增， 20已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：a 1=ak；（）若 k=3，a 1=2，求出这个数列；（）若 k=4，求 a1的所有取值的集合；（）若 k 是偶数，求 a1的最大值（用 k 表示）
32、 【考点】8B：数列的应用【分析】 （）k=3，a 1=2，由知 a3=2；由知，整理得，a 2即可得出 a3（II）若 k=4，由知 a4=a1由于，解得 或分类讨论即可得出（）依题意，设 k=2m，mN *，m2由（ II）知， 或- 22 -假设从 a1到a2m恰用了 i 次递推关系 ，用了 2m1i 次递推关系，则有 ，其中|t|2m1i，tZ对 i 分类讨论即可得出【解答】解：（）k=3，a 1=2，由知 a3=2；由知， ，整理得，解得，a 2=1 或 当 a2=1 时，不满足 ，舍去；这个数列为 （）若 k=4，由知 a4=a1 ， 或 如果由 a1计算 a4没有用到或者恰用了
33、2 次 ，显然不满足条件；由 a1计算 a4只能恰好 1 次或者 3 次用到 ，共有下面 4 种情况：（1）若 ， ， ，则，解得 ；- 23 -（2）若 ， ， ，则，解得 a1=1；（3）若 ， ， ，则，解得 a1=2；（4）若 ， ， ，则，解得 a1=1；综上，a 1的所有取值的集合为 （）依题意，设 k=2m，mN *，m2由（ II）知， 或假设从 a1到 a2m恰用了 i 次递推关系 ，用了 2m1i 次递推关系，则有 ，其中|t|2m1i，tZ当 i 是偶数时，t0， 无正数解，不满足条件；当 i 是奇数时，由得， 又当 i=1 时，若- 24 -，有 ， ，即a 1的最大值
34、是 2m1 即 选修 4-2：矩阵与变换21已知，点 A 在变换 T： 作用后，再绕原点逆时针旋转 90，得到点、B若点 B 的坐标为（3，4） ，求点 A 的坐标【考点】O5：旋转变换【分析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵 ，从而得出在变换 T：作用后，再绕原点逆时针旋转 90后对应的矩阵再设 A（a，b） ，求 A 点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点 A的坐标【解答】解：根据题意知，在变换 T： 作用后，再绕原点逆时针旋转 90后对应的矩阵为：= ，设 A（a，b） ，则由 = ，得 ， ，即 A（2，3） 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22若以直角坐标系 xOy
35、 的 O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是 = - 25 -（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，当直线 l 与曲线 C 相交于A，B 两点，求|AB|【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】 （1）曲线 C 的极坐标方程转化为 2sin2=cos，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程，并得到曲线 C 是以 x 轴为对称轴，开口向右的抛物线（2）直线 l 的参数方程消去参数 t，得直线 l 的直角坐标方程为，代入 y2=x，得：2 y22
36、y3 =0，由此利用弦长公式能求出|AB|【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程是 = ， 2sin2=cos，曲线 C 的直角坐标方程为 y2=x，曲线 C 是以 x 轴为对称轴，开口向右的抛物线（2）直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，消去参数 t，得直线 l 的直角坐标方程为 ，代入 y2=x，整理，得：2 y22y3 =0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2= ，y 1y2= ，|AB|= = 23如图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中，部分的面积各占转盘面积的 ， ， ， 游戏规则如下：当指针指到，部分时，分别获得积分 100 分，40 分
37、，10 分，0 分；（）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是 40 分，则按获得相应的积分，游戏结束；（）若参加该游戏转一次获得的积分是 40 分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定- 26 -是否继续游戏正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于 40 分，则最终积分为 0 分，否则最终积分为 100 分，游戏结束设某人参加该游戏一次所获积分为 （1）求 =0 的概率；（2）求 的概率分布及数学期望【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差【分析】 （1）事件“=0”包含：“首次积分为 0 分”和“首次积分为 40 分后再转一次的积
38、分不高于 40 分” ，且两者互斥，利用互斥事件的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2） 的所有可能取值为 0，10，40，100，利用互斥事件的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式和数学期望计算公式即可得出【解答】解：（1）事件“=0”包含：“首次积分为 0 分”事件 A 和“首次积分为 40 分后再转一次的积分不高于 40 分”事件 B，且 A 与 B 两者互斥，P（A）= ，又由题意参加该游戏转一次获得的积分是 40 分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于 40 分，则最终积分为 0 分，P（B）= ；
39、（2） 的所有可能取值为 0，10，40，100，由（1）知 ，又 ， ，- 27 -所以 的概率分布为： 0 10 40 100P因此，（分） 24设函数 f（x）=lnx+ 1（1）求 f（x）的最小值（2）若数列a n满足，a 1=1，a n+1=f（a n）+2（nN *） ，证明：2a n3（n3，nN *） 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）推导出 x0， = ，由此利用导数性质能求出 f（x）的最小值（2）推导出 ，首先证明 an+1a n成立，再由a3=ln2+22，得到当 n3 时，a na 32，再由 1，设h（x）=xlnx ，则 = 0 在（
40、0，+）上恒成立，从而 h（x）在（0，+）上单调递增，从而 a33，由此能证明2a n3（n3，nN *） 【解答】解：（1）函数 f（x）=lnx+ 1，x0， = ，由 f（x）0，得 x1；由 f（x）0，得 0x1f（x）的减区间是（0，1） ，增区间是（1，+） f（x）的最小值 f（x） min=f（1）=ln1+11=0证明：（2）数列a n满足，a 1=1，a n+1=f（a n）+2（nN *） ，- 28 - ，首先证明 an+1a n成立，当 n=1 时，a 1=1，a 2=ln1+1+1=2，a n+1a n成立，假设 ana n1 a n2 a 1成立，由（1）得当 x1 时，f（x）单调递增，则 an+1a n=f（a n）f（a n+1）0，a n+1a n成立，a 3=ln2+22，当 n3 时，a na 32，a n=f（a n1 ）+2f（a n）+2， 1，设 h（x）=xlnx ，则 = 0在（0，+）上恒成立，h（x）在（0，+）上单调递增，h（3）=3ln3 ，h（3）h（a n） ，a 33综上：2a n3（n3，nN *）
