1、江苏省姜堰、溧阳、前黄中学 2018 届高三 4 月联考数学试题一、填空题1.若 ， ， 为实数，则 _.iz231)(1Raiz21za2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取 辆汽车进行测速分析,得到40如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在 以下的汽车有_.hkm/73.已知命题 ， ，则 成立是 成立的_.（选“充分41:ap01,:2axRxqpq必要”， “充分不必要” ， “既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_.5.执行如图所示的程序框图，输出的 值为_.S6.设 满足 ，则
2、的最大值是_.yx,0231yyxz437.若 是周期为 的奇函数，当 时， ，则)(xf2)1,0(x308)(2xf_.108.正方形铁片的边长为 ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为cm8的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为_.49.已知函数 的图象如图所示， ，则 _.)cos()(xAxf 32)(f)0(f10.平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线xOy )0,(1:21 bayxC交于点 ,若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为_.)0(2:pxCBAO2C111.已知点 ，若圆 上恰有两点 ，使得2,1,3A)0()2(ry
3、xNM,和 的面积均为 ，则 的取值范围是_.MBN4r12.设 分别为线段 的中点,且 ,记 为 与 的夹角,则ED,ACB0DEABC的最小值为_.2cos13.已知函数 ，其中 为自然对数的底数,若存在实数xaxexf 4ln32)(使 成立，则实数 的值为_.0xa14.若方程 有四个不同的实数根 ，且 ，则0|12|tx 4321,x4321x的取值范围是_.)()(2314x二、解答题15.在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且ABC, cba,bc22.sinco3sin（1）求 的值；b（2）若 ， 为 的面积，求 的取值范围.4BSABCCAScos2816.如图，在正三棱
4、柱 中，点 在棱 上， ,点 分别是1CBADBCDA1FE的中点.1,BA（1）求证： 为 的中点；DBC（2）求证: 平面 .EF1A17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放) 对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对 市每年的碳排放总量规定不能超过 万吨,否则将采取紧急限排措A50施.已知 市 年的碳排放总量为 万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此201740后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少 .同时,因经济发展和人口增加等因素,每%1年又新增加碳排放量 万吨 .m)(（1）求 市 年的碳排放总量(用含 的式子表示）；A2019（2）若 市永远不需要采取
5、紧急限排措施,求 的取值范围.m18.已知椭圆 的左顶点，右焦点分别为 ，右准线为 .)0(1:2 bayxC FA,m（1）若直线 上不存在点 ，使 为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；mQAF（2）在(1)的条件下，当 取最大值时， 点坐标为 ，设 是椭圆上的三点，e)0,2(NMB,且 ,求:以线段 的中点为圆心,过 两点的圆的方程.ONMB543 FA19.设函数 ，其中 .xaxfln12)(Ra（1）若 ，求过点 且与曲线 相切的直线方程；0),()(xfy（2）若函数 有两个零点 .)xf21,x求 的取值范围；a求证： .0)(21xff20.设 ，正项数列 的前 项的积为
6、，且 ，当 时，NMnanTMkkn都成立.knknT（1）若 ， ， ，求数列 的前 项和；13a2na（2）若 ， ，求数列 的通项公式.4,M1n附加题21A.选修 4-1：几何证明选讲如图，圆 是 的外接圆，过点 的切线交 的延长线于点 ， ，OABCCABD210C，求 以及 的长3D21B.选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 , 的一个特征值 ，其对应的特征向量是 .1 aAb212（1）求矩阵 ； （2）设直线 在矩阵 对应的变换作用下得到了直线 ，求直线 的方程l1 :4mxyl21C.选修 4-4：坐标系与参数方程圆 ： ( )，与极轴交于点 (异于极点 )，求直线 的极坐标方
7、程.C2cos4AOCA21D.选修 4-5：不等式选讲证明： ( 2， ).n12312 *N22. 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数 i,2,其中 i是虚数单位称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （1）求事件 A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率 ()PA与事件 B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率 ()PB；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为 ,ab，求随机变量 ab的分布列与数学期望 .E23已知数列 na满足1230Cnnn *C2nN，（1）求 1a， 2， 3的值；（2）猜想数列 n的
8、通项公式，并证明【参考答案】一 、 填 空 题1 232 163充分不必要4567 248 9 310 211 (,)1272513 1ln14. (8,4二、解答题15解：（1）由正弦定理 ，余弦定理siniacAC2222cos,coabbCc可等价变形为in3sinA22223abccab化简得22bac或40(舍 ）若求范围：（2）由正弦定理 得sinibcBC14sinsin82sin2SbcAACA382cos82cos()82cos()4SACAA在 中，由 得 ，AB30420C 3(,)82A3(0,)432cos(2)(,1)4A.88ScosC若求定值：由 得sin3in
9、ta3tnAC故 24tatat() 11t1BA解得 27tn,3C20acb27tan,3故 tn7,A由正弦定理 得siincBC14sinsin82sin2SbcAACA382co8os()8os(2)(sicos)4SA222sinstan1t()A解得 .8co47SC16证明：（1） 正三棱柱 ， 平面 ，1CBAABC又 平面 ， ，又 ，ADBD1 11D平面 ， C又 正三棱柱 ，1CBA平面 平面 ， ， 为 的中点 DBC（2） 连接 ，连接 交 于点 ，连接 ，111G矩形 ， 为 的中点，1ACG1又由(1)得 为 的中点，DB 中， ，11/又 点 ， 分别是 ，
10、 的中点，EF1A 中， ， ，BA11/DGEF/又 平面 ， 平面DC1C平面 /EF117解：设 2018 年的碳排放总量为 ，2019 年的碳排放总量为 ，1a2a（）由已知， ,140.9am220.9(.)0.9a m= . 34m（） ,2(40.9)3240.90.m12.9nnnam10.940.4.10(.9)nn nnmm.().n由已知有 *,50naN（1）当 即 时,显然满足题意； 401m4（2）当 即 时，由指数函数的性质可得: ，解得 .(01).905m190综合得 ； 4（3）当 即 时，01m4由指数函数的性质可得: ，解得 ,综合得 .055405综上
11、可得所求范围是 .(,18 解：（1）设直线 与 轴的交点是 ，依题意 ，xQFA即 , , , ,2ac2ac12ae210；10e（2）当 且 时，(2,0)A，故 ， (1,)F1ac所以 ，3b椭圆方程是： ，214xy设 ，则 ， 12()()MN， ， ， 2143xy2143xy由 ，得 345OB1212(,)55B因为 是椭圆 C 上一点，所以 ，)(+=143xy即2221 12343()()()45543xyxyxy120因为圆过 两点， 所以线段 的中点的坐标为 ，,AFMN12 (,)y又 22 211121212()()3()444yyyxx由和得 222 21 1
12、21 13312()3()()()()()46x所以圆心坐标为，,4故所求圆方程为 .22157()()16xy19 （1）解：当 a0 时，f(x)1lnx ，f (x) 1x设切点为 T(x0，1lnx 0)，则切线方程为：y1lnx 0 ( xx 0) 1x0因为切线过点(0，1)，所以 11ln x0 (0x 0)，解得 x0e 1x0所以所求切线方程为 y x1 1e（2）解：f (x )ax ，x01x ax2 1x(i) 若 a0，则 f (x)0，所以函数 f(x)在(0 ，)上单调递减，从而函数 f(x)在(0，)上至多有 1 个零点，不合题意(ii)若 a0，由 f (x)
13、0，解得 x 当 0x 时， f (x)0，函数 f(x)单调递减；当 x 时， f (x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)minf( ) ln 1 ln 12 12要使函数 f(x)有两个零点，首先 ln 0，解得 0ae 12当 0ae 时， 1e因为 f( ) 0，故 f( )f( )01e a2e2 1e又函数 f(x)在(0， )上单调递减，且其图像在(0， )上不间断，所以函数 f(x)在区间(0， )内恰有 1 个零点 考察函数 g(x)x 1lnx ，则 g(x)1 1x x 1x当 x(0 ，1)时，g(x)0，函数 g(x)在(0，1) 上单调递减；当 x(1 ，)时，
14、g(x) 0，函数 g(x)在(1，) 上单调递增，所以 g(x)g(1)0，故 f( ) 1ln 02a 2a 2a因为 0，故 2a 2a因为 f( )f( )0，且 f(x)在 ( ，)上单调递增，其图像在 ( ，)上不间断，2a所以函数 f(x)在区间( ， 上恰有 1 个零点，即在( ，)上恰有 1 个零点2a综上所述，a 的取值范围是(0，e) 证明：由 x1，x 2 是函数 f(x)的两个零点(不妨设 x1x 2)，得 两式相减，得 a(x12x 22)ln 0，即 a(x1x 2) (x1x 2)ln 0，12 x1x2 12 x1x2所以 a(x1x 2) f (x1)f (
15、x 2)0 等价于 ax1 ax 2 0，即 a(x1x 2) 0，1x1 1x2 1x1 1x2即 0，即 2ln 01x1 1x2 x1x2 x2x1 x1x2设 h(x)2lnx x ，x (0 ，1)则 h(x) 1 0，1x 2x 1x2 2x 1 x2x2 (x 1)2x2所以函数 h(x)在(0，1)单调递减，所以 h(x)h(1)0因为 (0 ，1)，所以 2ln 0，x1x2 x1x2 x2x1 x1x2即 f (x1)f (x 2)0 成立 20 解：(1)当 n2时，因为 M1 ，所以 T nT1，可得 an1 a na1 ， Tn 1Tn 12 故 a 1 3(n2)
16、an 1an 2 又 a1 ，a 23 ，则a n是公比为 3 的等比数列， 3 3故a n的前 n 项和为 3 n (2)当 nk 时，因为 T nTk，所以 T n1 Tk， Tn kTn k Tn 1 kTn 1 k所以 ，即 a n1 ， TnTkTn 1Tk an 1 kan 1 k因为 M3 ，4 ，所以取 k3，当 n3 时，有 an4 an2 a n1 ；2 取 k4，当 n4 时，有 an5 an3 a n1 2 由 an5 an3 a n1 知，2 数列 a2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，a 4n2 ，是等比数列，设公比为 q由 an4 an2 a n1
17、 知，2 数列 a2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，a 3n1 ，是等比数列，设公比为 q1，数列 a3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，a 3n，成等比数列，设公比为 q2，数列 a4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，a 3n1 ，成等比数列，设公比为 q3，由得， q ，且 q 1 ，所以 q1q ；a14a2 3 a14a2 4 由得， q ，且 q 2 ，所以 q2q ；a18a6 3 a18a6 4 由得， q ，且 q 3 ，所以 q3q ；a22a10 3 a22a10 4 所以 q1q 2q 3q 由得，a 6a 2q，a
18、 6a 3q2，所以 q ，a3a2 qq2由得，a 10a 2q ，a 10a 4q3 ，所以 q ，2 2 a4a2所以 a2，a 3，a 4 是公比为 q 的等比数列，所以a n(n2)是公比为 q 的等比数列因为当 n4，k3 时，T 7T1T 4 T3 ；当 n5，k 4 时，T 9T1T 5 T4 ，2 2 2 2 所以(q ) 2a 2 ，且( q ) 2a 2 ，所以 q 2，a 22 7 4 10 6 2又 a1 ，所以a n(nN*)是公比为 q 的等比数列 2故数列a n的通项公式是 an2 n 1 221A. 解：由切割线定理得: ， DBAC， ， 2()DBAC04
19、325DB， ， ABCDCA ，得 5106B21B. 解：（1） ，12 abAb124解得 ，故 ，24ab4 4A（2）设直线 上的任意一点 在矩阵 对应的变换作用下得到点:mxy(,)xyA(,)xy则 , 1224 4yyxy24yx36xy， 直线 的方程为 .x8l80y21C.解：圆 ：Csin2co4cos2所以 ，02yxyx所以圆心 ，与极轴交于 ，, 0,2A直线 的直角坐标方程为 .CAyx即直线 的极坐标方程为 14cos21D.证明： nn)1(323122 1 n22.23解：（1） 12a=， 4， 38a （2）猜想： n 证明：当 1，2，3 时，由上知结论成立； 假设 k时结论成立，则有1230CC2kkkkka则 n时，12310111 C2k+kkk+k 由 1knn得 0213201231CCkkkkka 112kk-k+1232 +kkkkk，120 11( )2kkkkka 1231CC2 +kkkk-kk又 1 1()!()!()!2C112k+ k+=kk 121103CC2( )kk -+k kk，于是 11kka所以 2k， 故 n时结论也成立由得， 2na=*N，
