1、2018 届高三姜堰中学、溧阳中学、前黄中学联考数 学 2018.04.13一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1.若 iz231， )(1Raiz， 21z为实数，则 a_.2.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取 40辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图,时速在 hkm/7以下的汽车有_.3.已知命题 41:ap， 1,:2axxq，则 p成立是 q成立的_.（选“充分必要” ， “充分不必要” ， “既不充分也不必要”填空）.4.从甲、乙、丙、丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是_.5
2、.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为_.6.设 yx,满足 0231y，则 yxz43的最大值是_.7.若 )(f是周期为 的奇函数，当 )1,0(时， 308)(2xf，则10_.8.正方形铁片的边长为 cm8，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为 4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为_.9.已知函数 )cos()(xAxf的图象如图所示， 32)(f，则 )0(f_.10.平面直角坐标系 Oy中，双曲线 ),0(1:21 bayxC的渐近线与抛物线 )0(2:pxC交于点 BA,若 O的垂心为 2C的焦点，则1的离心率为_.11.已知点
3、)2,1()0,3BA，若圆 )0()2(2ryx上恰有两点 NM,，使得 AB和N的面积均为 4，则 r的取值范围是_.12.设 ED,分别为线段 C,的中点,且 DBE,记 为 AB与 C的夹角,则 2cos的最小值为_.13.已知函数 xaxexf 4ln32)( ，其中 为自然对数的底数,若存在实数 0x使3)(0xf成立，则实数 a的值为_.14.若方程 0|12|tx有四个不同的实数根 4321,x，且 4321x ，则)()(2314x的取值范围是_.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.15.在 ABC中，内角 ,的对边分别为 cba,，已知 bc22，且 CAsinc
4、o3sin.（1）求 b的值；（2）若 4， S为 的面积，求 CAScos28的取值范围.16.如图，在正三棱柱 1CBA中，点 D在棱 BC上， DA1,点 FE分别是 1,BA的中点.（1）求证： D为 的中点；（2）求证: EF平面 1.17.科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对 A市每年的碳排放总量规定不能超过 50万吨,否则将采取紧急限排措施.已知 A市 2017年的碳排放总量为 40万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少 %1.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳
5、排放量 m万吨 )( .（1）求 市 29年的碳排放总量(用含 m的式子表示）；（2）若 A市永远不需要采取紧急限排措施,求 的取值范围.18.已知椭圆 )0(1:2 bayxC的左顶点，右焦点分别为 FA,，右准线为 m.（1）若直线 m上不存在点 Q，使 AF为等腰三角形,求椭圆离心率的取值范围；（2）在(1)的条件下，当 e取最大值时， 点坐标为 )0,2(，设 NMB,是椭圆上的三点，且ONMB543,求:以线段 的中点为圆心,过 FA两点的圆的方程.19.设函数 xaxfln12)(，其中 Ra.（1）若 0，求过点 ),(且与曲线 )(xfy相切的直线方程；（2）若函数 )xf有两
6、个零点 21,x.求 a的取值范围；求证： 0)(21xff.20.设 NM，正项数列 na的前 项的积为 nT，且 Mk，当 kn 时， knknT都成立.（1）若 1， 3， 2，求数列 na的前 项和；（2）若 4,， 1a，求数列 n的通项公式.附加题21A.选修 4-1：几何证明选讲如图，圆 O是 ABC的外接圆，过点 C的切线交 AB的延长线于点 D，210CD， 3，求 D以及 的长21B.选修 4-2：矩阵与变换(本题满分 10 分)OABCD已知矩阵 1 aAb, 的一个特征值 2，其对应的特征向量是 12.（1 ）求矩阵 ； （2）设直线 l在矩阵 1A对应的变换作用下得到
7、了直线 :4mxy，求直线 l的方程21C.选修 4-4：坐标系与参数方程( 本题满分 10 分)圆 C： 2cos( 4)，与极轴交于点 A(异于极点 O)，求直线 CA的极坐标方程.21D.选修 4-5：不等式选讲(本题满分 10 分)证明： n12312 ( 2， *N).22.（本小题满分 10 分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数 i,2,其中 i是虚数单位称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （1 ）求事件 A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率 ()PA与事件 B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概
8、率 ()PB；（2 ）在两次试验中，记两次得到的数分别为 ,ab，求随机变量 ab的分布列与数学期望 .E23 (本小题满分 10 分)已知数列 na满足1230Cnnn *C2nN，（1）求 1， 2， 3的值；（2）猜想数列 na的通项公式，并证明联考数学试题一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位置 上 ）1若 32zi， ()zaiR， 12z为实数，则 a 23 2某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取 40 辆汽车进行测速分
9、析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在 70 km/h 以下的汽车有 辆 163已知命题 1:4pa，命题 210qxRax： ， ，则 p成立是 q成立的 条件（选“充分必要” ， “充分不必要” ， “必要不充分” ， “既不充分也不必要”填空） 充分不必要4从甲、乙、丙、丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为 235执行如图所示的程序框图，输出的 S值为 45 6设 ,xy满足约束条件1023xy,则 34zxy的最大值是 57已知 ()f是周期为 2 的奇函数且当 0,1x时 2830fx,则 1f 24 8正方形铁片的边长为 8cm，以
10、它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为 的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为 79已知函数 ()fxAcosx 的图象如图所示， 2()3f，则 (0)f 2310平面直角坐标系 y中，双曲线 21:0,yCab的渐近线与抛物线2:0Cxp交于点 ,OB，若 A的垂心为 2C的焦点，则 1的离心率为 211已知点 3,()2(A， ，若圆 2()xyr上恰有两点 MN， ，使得 AB和NB的面积均为 4，则 r的取值范围是 9(,)12设 D， E 分别为线段 AB， AC 的中点，且 0，记 为 与 的夹角，BE CD AB AC cos2的最小值为
11、 72513已知函数 2()3ln4xaxfxe，其中 e为自然对数的底数，若存在实数 0x使0()3fx成立，则实数 a的值为 1ln214. 若方程 2|1|0xt有四个不同的实数根 134,x，且 1234xx，则4132()()x的取值范围是 . (85二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在 ABC中，内角 BC、 、 的对边分别为 abc、 、 ，已知 2acb，且3sincosin.（1）求边 b的值；（2）若 4， S为 A的面积，求 82cosSAC的取值范围解：（1）由正
12、弦定理 siniacC ，余弦定理2222,cosabbcaAsinco3AC可等价变形为22223abc化简得22ba3 分c4或 0(舍 ） 6 分若求范围：（2）由正弦定理 sinibcBC得 14sinsin82sin2SbcAACA 382cos82cos()82cos()4SACAA10 分在 AB中，由30420C得 (,)82A 3(0,)4A， 32cos(2)(,1)4A82cos(8,2)S14 分若求定值：由 sin3inAC得 ta3tnAC故 24tatat() 11t1B 解得 27tn320acb27tan3C故 tn7A 由正弦定理 siincB得 14sin
13、sin82sin2SbcAACA 382co8os()8os(2)(sicos)4SAC222sinstan1t()A解得 8co47S14 分16 （本小题满分 14 分）如图，在正三棱柱 1CBA中，点 D在棱 BC上， DA1，点 E， F 分别是 1， 的中点（1 ）求证： D为 的中点；AA1BCB1C1DEF（2 ）求证： /EF平面 1ADC解：（1） 正三棱柱 1CBA， 平面 ABC，又 AD平面 ， D，又 1， 1CD平面 1，3 分又 正三棱柱 1，平面 平面 ， ， D为BC的中点6 分（2 ） 连接 B1，连接 C1交 1A于点 G，连接矩形 A， 为 的中点，又由
14、(1)得 D为 的中点， 1中， 1/9 分又 点 E， F分别是 ， B的中点， B中， ， DE/，12 分又 平面 1AC， G平面 1AC/平面 14 分17 （本小题满分 14 分）科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对 A 市每年的碳排放总量规定不能超过 550 万吨，否则将采取紧急限排措施 .已知 A 市 2017 年的碳排放总量为 400 万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少 10%同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量 m 万吨（m0 ）.（）求 A 市
15、2019 年的碳排放总量(用含 m 的式子表示)；（）若 A 市永远不需要采取紧急限排措施，求 m 的取值范围 .解：设 2018 年的碳排放总量为 1a，2019 年的碳排放总量为 2a，（）由已知， 140.9, 22.()40.9a= 3. （4 分）（） 2.9 32.0.9m, 1240.90.9nnnam.41(.)n().n. （8 分）由已知有 *,50Na（1 ）当 401即 时,显然满足题意；（9 分）AA1BCB1C1DEFG（2 ）当 401m即 40时，由指数函数的性质可得: (1).950m，解得 190.综合得 ；（11 分）（3 ）当 即 时，由指数函数的性质可
16、得: 05，解得 ,综合得 45.（13 分）综上可得所求范围是 (,. （14 分）18 （本小题满分 16 分）已知椭圆2:1xyCab(0)的左顶点，右焦点分别为 ,AF，右准线为 m（1 ）若直线 m上不存在点 Q，使 AF为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围;（2 ）在（1 ）的条件下，当 e取最大值时， 点坐标为 (2,0)，设 B、 M、 N是椭圆上的三点，且345OBMN，求：以线段 MN的中点为圆心，过 AF两点的圆方程解： （1）设直线 与 x轴的交点是 ，依题意 Q，即2ac,2ac, 12a, e, 2100e4 分（2 ）当 1且 (2,0)A时，(,)F，故 ac， 5 分所以 3b，椭圆方程是：214xy6 分设 12()()MN， ， ， ，则 2143xy，2143xy由 345OB，得 1212(,)55B 因为 是椭圆 C 上一点，所以 22113()()+=4xy8 分即2221 124()()()353543yxy1204xy 10 分
