1、1选修 4系列专项强化练(三) 选修 45：不等式选讲(理科)题型一 含绝对值不等式1解不等式：| x2| x|x2|2.解：当 x2 时，不等式化为(2 x) x( x2)2，即 x23 x0，解得3 x2；当2 x2 时，不等式化为(2 x) x(x2)2，即 x2 x0，解得2 x1 或 0 x2；当 x2 时，不等式化为( x2) x(x2)2，即 x23 x40，解得 x2.所以原不等式的解集为 x|3 x1 或 x02解不等式| x2| x1|1.解：令 f(x)| x2| x1|.当 x2 时， f(x)( x2)(1 x)3，此时 f(x)| x2| x1|1 恒成立；当2 x
2、1时， f(x)( x2)(1 x)2 x1，令 f(x)1，即 2x11，解得 x0，由于2 x1，则有2 x0；当 x1 时， f(x)( x2)( x1)3，此时 f(x)1 不成立综上所述，不等式| x2| x1|1 的解集为(，03已知 x， yR，且| x y| ，| x y| ，求证：| x5 y|1.16 14证明：因为| x5 y|3( x y)2( x y)|.由绝对值不等式性质，得|x5 y|3( x y)2( x y)|3( x y)|2( x y)|3| x y|2| x y|3 2 1.16 14即| x5 y|1. 临门一脚1形如| x a|x b| c( c)不
3、等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值2绝对值不等式也可用| x a1|x a2|的几何意义求解集3应用绝对值不等式| a| b| ab| a| b|求最值，一定要写出等号成立的条件题型二 基本不等式的应用1已知 a， b是正数，求证： a24 b2 4.1ab2证明：因为 a， b是正数，所以 a24 b24 ab.所以 a24 b2 4 ab 2 4，1ab 1ab 4ab1ab当且仅当 a2 b，且 ab 时取等号12即 a24 b2 4.1ab2已知
4、a， b， c均为正数，求证： a2 b2 c2 26 .(1a 1b 1c) 3证明：法一：因为 a， b， c均为正数，由均值不等式得a2 b2 c23( abc) ， 3( abc) ，23 1a 1b 1c 13所以 29( abc) .(1a 1b 1c) 23故 a2 b2 c2 23( abc) 9( abc) ，(1a 1b 1c) 23 23又 3(abc) 9( abc) 2 6 ，所以原不等式成立23 23 27 3法二：因为 a， b， c均为正数，由基本不等式得a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca，所以 a2 b2 c2 ab bc ca.同
5、理 .所以 a2 b2 c2 2 ab bc ca 6 ，1a2 1b2 1c2 1ab 1bc 1ca (1a 1b 1c) 3ab 3bc 3ca 3当且仅当 a b c 时取等号所以原不等式成立43临门一脚1基本不等式应用于证明关键是和积转化，所以进行证明前一定要观察不等式两边式子结构的特征系数、方次2要根据条件特征选择使用三元还是两元的基本不等式，等号成立条件一定要写3多次使用基本不等式时要关注多个等号成立条件是否能够同时成立题型三 柯西不等式的应用1求函数 y3sin x2 的最大值2 2cos 2x解： y3sin x2 3sin x4 ，2 2cos 2x cos2 x由柯西不等
6、式得y2(3sin x4 )2(3 24 2)(sin2xcos 2x)25，cos2x当且仅当 4sin x3|cos x|，即 sin x ，|cos x| 时等号成立，所以 ymax5.35 45所以函数 y3sin x2 的最大值为 5.2 2cos 2x2已知 a， b， cR,4 a2 b22 c24，求 2a b c的最大值3解：由柯西不等式，得(2 a)2 b2( c)2 (2 a b c)2.2 12 12 (12)2因为 4a2 b22 c24，所以(2 a b c)210.所以 2 a b c ，10 10所以 2a b c的最大值为 ，当且仅当 a ， b ， c 时等
7、号成立10105 2105 1053设 x， y， z均为正实数，且 xyz1，求证： xy yz zx.1x3y 1y3z 1z3x证明： x， y， z均为正实数，且 xyz1， ，1x3y 1y3z 1z3x zx2 xy2 yz2由柯西不等式可得 (xy yz zx) 2(zx2 xy2 yz2) (xyzx xyzy xyzz )2( xy yz zx)2.(xyzx xyzy xyzz) xy yz zx.1x3y 1y3z 1z3x4设 a1， a2， a3均为正数，且 a1 a2 a3 . 求证： 1.92 1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1证明：法一：因为 (a1 a2
8、)( a2 a3)( a3 a1)3(1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1)3 1a1 a21a2 a31a3 a13 9，当且仅当 a1 a2 a3时等号成立3 a1 a2 a2 a3 a3 a1又 a1 a2 a3 .92所以 2 9，(1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1) 92所以 1.1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1法二：由柯西不等式得 9 (a1 a2)( a2 a3)(1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1) ( 1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1)( a3 a1) 2 2 2( )2( )2( )(1a1 a2) ( 1a2 a3) ( 1a3 a1)
9、a1 a2 a2 a3 a3 a12 29，1a1 a2 a1 a2 1a2 a3 a2 a3 1a3 a1 a3 a1当且仅当( )2( )2( )2，a1 a2 a2 a3 a3 a14即 a1 a2 a3 时取等号，32所以 1.1a1 a2 1a2 a3 1a3 a1临门一脚1二元柯西不等式：( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2， a， b， c， dR，当且仅当ad bc时，等号成立2三元柯西不等式可以用向量形式记忆：即| | | |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，得 k 时，等号成立3利用柯西不等式来证明不等式和基本不等式一样也要关注式子结构特点、系数、方次、等号成立条件，如果不能够直接使用，要对所给条件进行变形后才能使用4利用柯西不等式求最值等问题， 也要关注式子结构特点、系数、方次，最后一定要写出等号成立条件5
