1、杭州二中 2010 学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理）时间 90 分钟 命题 陈洁 校对 张先军 审核 孙惠华注意：本试卷不得使用计算器，作图时必须使用尺规一选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.原点在直线 上的射影是 ，则直线 的方程是l(2,1)PlA 02yx B 04yx C 052yx D32已知 三点不共线，对平面 外的任一点 ，下列条件中能确定点 与点BC、 、 AOM一定共面的是、 、A BOM 2ABOCC D123O 11333已知平面内两定点 及动点 ，设命题甲是：“ 是定值” ，命题乙
2、是：“点,ABPP的轨迹是以 为焦点的椭圆”，那么 PA甲是乙成立的充分不必要条件 B甲是乙成立的必要不充分条件C甲是乙成立的充要条件 D甲是乙成立的非充分非必要条件4命题：“若 ，则 ”的逆否命题是20(,)abR0abA若 ，则 ,2B若 ，则()C若 且 ，则 0a,baR20abD若 或 ，则()5已知 是两个不同平面， 是直线，下列命题中不正确的是, nm,A若 ， ，则 B若 ， ，则/mn/mn/C若 ， ，则 D若 ， ，则/6. 与双曲线 有共同的渐近线,且经过点 的双曲线的方程为 1692yx 32,A. B C D42 1942xy 1492xy1492yx7椭圆 的两个
3、焦点为 ，过 作垂直于 轴的直线与椭圆相交，一个交点212F、1x为 ，则P2|FA B C D433278点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与到直线 的距离和xy42P)1,0(A1x的最小值是A. B. C2 D 53 29. 已知四面体 的棱长均为 2，其正视图是边长为 2 的等边三角形（如图，其 ABCD中 为水平线） ，则其侧视图的面积是A. B. 2C. D. 336210.从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点为 ，延21(0,)xyabF22xyaT长 交双曲线右支于点 ，若 为线段 的中点， 为坐标原点，则 与FTPMPOMO的大小关系为baA B. MObaOTba
4、C. D.不确定T二填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.11. 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 = .x21xym2m12 椭圆 的一条弦被点 平分, 那么这条弦所在的直线方程是_.19362y)4(A13. 在正 中, 分别为 的中点,则以 为焦点且过点 的双曲线ABCDE、 BC、 BC、 DE、的离心率为 .14若 满足 且 ，则 的最小值为 ,xy20,20yxzxyAB C15 将边长为 ，有一内角为 的菱形 沿较短对角线 折成四面体 ，260ABCDBABCD点 分别为 的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题EF、 AC、序号全填上）： ； 与异
5、面直线 、 都垂直； 当四面体 的体积最大时，/B；6A 垂直于截面 .CDE杭州二中 2010 学年第一学期高二年级期末考试数学答题卷（理）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上11 12 13 14 15 三解答题:本大题共 4 小题，共 50 分.16 （本小题满分 12 分）已知圆 ： 与 轴交于点 、C240(,)xytytRxO，与 轴交于点 、 ，其中 为原点.AyOB（1
6、）求证： 的面积为定值；（2 ）设直线 与圆 交于点 、 ，若 ，求圆 的方程.42xCMNOC17 （本小题满分 12 分）已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程C22(13sin)4l是256xty.()t为 参 数（1 ）求曲线 和直线 的直角坐标方程；Cl（2 ） 设点 为曲线 上任一点，求 到直线 的距离的最大值.MMl18 （本小题满分 12 分）如图，已知 中， ， 平面 ，BCD90ABCD2,3,BCD分别为 上的动点. AEF、A、（1 ）若 ,求证：平面 平面 ；BEFA（2 ）若 ， ，求平面 与平面 所成的锐二面角的大小 .1C2DBCD19 （本小题满分 14
7、 分）过 x轴上动点 (,0)Aa引抛物线 21yx的两条切线 AP、 Q，P、 Q为切点,设切线 P、 Q的斜率分别为 1k和 2(1)求证： ；124k(2)求证：直线 恒过定点，并求出此定点坐标； EFABCD(3)设 的面积为 ，当 最小时，求 AQP的值APQSP杭州二中 2010 学年第一学期高二年级期末考试数学答案（理）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 C D B D B D C D A BOQPAyx案二填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共
8、20 分.把答案填在题中的横线上11 12 13 14 15 32280xy3112三解答题:本大题共 4 小题，共 50 分.16解：（1）由题意知， ,()AtBt，即 的面积为定值4|2|12tOSOAB OAB（2） 垂直平分线段 ,CNMMN， 直线 的方程是 ocNkk xy21，解得： t212t或当 时，圆心 的坐标为 ， ， C)1,(5OC此时 到直线 的距离 ，圆 与直线 相交于4xy9d42xy两点 当 时，圆心 的坐标为 ， ，2tC)1,2(5OC此时 到直线 的距离 , 圆 与直线 不相交，4xy9d42xy不符合题意舍去 2t圆 的方程为C5)1()(2217解
9、：（1） 2:,4xy:60lxy（2）设 ，则 到直线 的距离 ，(cos,in)Ml2sin()62cosi6455d当 ，即 时， 。i()145,(,)4Mmax 1018 （ 1）证明： 平面 ， 。ABCDAB又 平面 .,， 。 平面 ， 平面 ，EF/EFABCEFB平面 平面 。BEFAC（2 ）解法 1：如图建立空间直角坐标系 xyz则 ,(2,0)(,30),(23)D,1,AEC23,(,)AF,343(,0),(,)2BB设 平面 ，,nxyzEF则 ， 。3024xyz设 平面 ，则 可取 ， ，1nBCD1n(0,)12cos,n所以，平面 与平面 所成的锐二面角
10、为 。EF45法 2：延长 ,交 的延长线于 ，连结 ，GB过 作 于 则 平面 ，H,CD过 作 于 ，连结 ,则 ，KBKEG即为所求二面角的平面角。,13,2AEAC在 中，可以解得 ，RtBD2HK在 中， ，即平面 与平面 所成的锐二面角为45EBEFCD。4519 解：（ ）设过 )0,(aA与抛物线 12xy的相切的直线的斜率是 k，则该切线的方程为： ka， 由 21ykxa得 210xa224140ka，则 12,都是方程 k的解，故 124k。zyxEFABCDHKGE FABCD（）法 1：设 12,PxyQ，故切线 A的方程是： ，切线 的方程是：11yxAQ，22yx
11、又由于 点在 P上，则 ， ，12yxa21yxa1yxa， 则直线 Q的方程是 ，则直线 PQ过定点 0,2. 法 2：设 ，221(,),(1)44kk所以,直线 P：，121221 1211()4()()()4 2kkkkyxxax即 ，由（1）知 ，221144yaka2140ka所以，直线 PQ的方程是 xy，则直线 PQ过定点 0,.（3 ） 要使 |AS最小，就是使得 A到直线 的距离最小，而 到直线 的距离22221431341aada，当且仅当 22即 时取等号.设 12,PxyQ， 由 21yx得 20xa，则12a12122112Aa ax 221 9434343xxa.
