1、1第二章 第 12节 利用导数研究函数的极值、最值基础训练组1(导学号 14577206)当函数 y x2x取极小值时， x( )A. B1ln 2 1ln 2Cln 2 Dln 2解析：B 令 y2 x x2xln 20， x .1ln 22(导学号 14577207)函数 f(x) x2ln x的最小值为( )12A. B112C0 D不存在解析：A f( x) x ，且 x0.令 f( x)0，得 x1; 令 f( x)12)A. B.14 13C. D112解析：D f(x)是奇函数， f(x)在(0,2)上的最大值为1.当 x(0,2)时， f( x) a，令 f( x)0 得 x
2、，又 a ，00， f(x)在 上1x 1a 12 1a 1a (0， 1a)单调递增；当 x 时， f( x)0)的极大值为 6，极小值为 2，则f(x)的单调递减区间是 _ .解析：令 f( x)3 x23 a0，得 x ，a则 f(x)， f( x)随 x的变化情况如下表：x ( ， )a a ( ， )a a a ( ，)af( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 从而Error! 解得Error!所以 f(x)的单调递减区间是(1,1)答案：(1,1)9(导学号 14577214)已知函数 f(x) x1 (aR，e 为自然对数的底数)aex(1)若曲线 y f(x)在点(1，
3、f(1)处的切线平行于 x轴，求 a的值；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)由 f(x) x1 ，得 f( x)1 .aex aex又曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线平行于 x轴，得 f(1)0，即 1 0，解得 ae.ae(2)f( x)1 ，aex当 a0 时， f( x)0， f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0时，令 f( x)0，得 ex a，即 xln a.x(，ln a)时， f( x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极
4、大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；4当 a0时， f(x)在 xln a处取得极小值 ln a，无极大值510(导学号 14577215)(文科)已知函数 f(x)ln x .1x(1)求 f(x)的最小值；(2)若函数 F(x) f(x) ax在区间2，)上是单调函数，求实数 a的取值范围解： (1)由题意可知 x0，且 f( x) ，x 1x2当 0 x1 时， f( x)0，当 x1 时， f( x)0，故 f(x)min f(1)1.(2)由 F( x) a ，1x 1x2 ax2 x 1x2当 a0 时， F( x) 0，x 1x2F(x)在区间2，)上单调递增，符合题意
5、，当 a0 时，令 g(x) ax2 x1，此时 F(x)在2，)上只能是单调递减，故 F( x)0，即 0，解得 a .4a 2 14 14当 a0 时， F(x)在2，)上只能是单调递增，故 F( x)0，即 0，得 a ，故 a0.4a 2 14 14综上 a 0，)( ， 1410(导学号 14577216)(理科)(2018烟台市一模)已知函数 f(x)e ax(其中e2.71828)， g(x) .f xx(1)若 g(x)在1，)上是增函数，求实数 a的取值范围；(2)当 a 时，求函数 g(x)在 m， m1( m0)上的最小值12解：(1)由题意知 g(x) 在1，)上是增函
6、数，f xx eaxx g( x) 0 在1，)上恒成立，(eaxx) eax ax 1x2即 ax10 在1，)恒成立， a 在 x1，)上恒成立，1x而 1， a1.1x6当 x2 时， g( x)0， g(x)在2，)递增；当 x2 且 x0 时， g( x)0，即 g(x)在，(，0)，(0,2)递减又 m0， m11，能力提升组11(导学号 14577217)(理科)(2018合肥市二模)已知函数 f(x) xln x aex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 a的取值范围是( )A. B(0，e)(0，1e)C. D(，e)(1e， e)解析：A 若函数 f(x) xln
7、x aex有两个极值点，则 y a和 g(x) 在(0，)有 2个交点ln x 1exg( x) ，( x0)1x ln x 1ex令 h(x) ln x1，1x7则 h( x) 0， h(x)在(0，)递减，而 h(1)0，1x2 1x故 x(0,1)时， h(x)0，即 g( x)0， g(x)单调递增；x(1，)时， h(x)0，即 g( x)0， g(x)单调递减，所以 g(x)max g(1) ，而 x0 时， g(x)； x时， g(x)0.1e若 y a和 g(x)在(0，)有 2个交点，只需 0 a .故选 A.1e11(导学号 14577218)(文科)若函数 f(x) x2
8、 x1 在区间 上有极值点，x33 a2 (12， 3)则实数 a的取值范围是( )A. B.(2，52) 2， 52)C. D.(2，103) 2， 103)解析：C f(x) x2 x1， f( x) x2 ax1.x33 a2若函数 f(x) x2 x1 在区间 上有极值点，则 f( x) x2 ax1 在区间x33 a2 (12， 3)内有零点，由 f( x) x2 ax10，可知 a x .(12， 3) 1x函数 y x 在 上单调递减，在(1,3)上单调递增， y ，即 2 a0)的导函数 y f( x)ax2 bx cex的两个零点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(
9、2)若 f(x)的极小值为e 3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解：(1) f( x) 2ax b ex ax2 bx c ex ex 2 ， ax2 2a b x b cex令 g(x) ax2(2 a b)x b c，因为 ex0，所以 y f( x)的零点就是 g(x) ax2(2 a b)x b c的零点，且f( x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以30，即 f( x)0，当 x0时， g(x)5 f(0)，5e 5所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.14(导学号 14577224)(文科)(2018吴忠市模拟)已知函数 f(x)ln x (a0)1 xax(
10、1)若函数 f(x)在区间1，)内单调递增，求实数 a的取值范围；(2)求函数 f(x)在区间1，e上的最小值解：(1)由已知得 f( x) .1x 1ax2要使函数 f(x)在区间1，)内单调递增，只需 0 在1，)上恒成立1x 1ax2结合 a0 可知，只需 a ， x1，)即可1x易知，此时 max1，所以只需 a1 即可(1x)(2)结合(1)，令 f( x) 0 得 x .a(x 1a)ax2 1a当 a1 时，由(1)知，函数 f(x)在1，e上递增，所以 f(x)min f(1)0；当 ae，故此时 f( x)0 在1，e上恒成立，所以 f(x)在1，e上递减，1e 1a所以 f(x)min f(e)1 .1ae 1a
