1、12.1.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义把平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距思考：(1)椭圆定义中将“大于| F1F2|”改为“等于| F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于| F1F2|”改为“小于| F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
2、提示 (1)点的轨迹是线段 F1F2.(2)当距离之和小于| F1F2|时，动点的轨迹不存在2椭圆的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2焦点 ( c,0)与( c,0) (0， c)与(0， c)a， b， c 的关系 c2 a2 b2基础自测1思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆 ( )(2)到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 3 的点 M 的轨迹为椭圆( )(3)椭圆 1 的焦点在 x 轴上 ( )x225 y249答案 (1) (2) (3)2已知椭圆 1
3、 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，到另一焦点距离为x2m y2167，则 m 等于( )A10 B5 C15 D25D 由题意知 2a3710， a5， m a225.3椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，8)， F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为( ) 2【导学号：97792051】A. 1 B. 1x2100 y236 y2400 x2336C. 1 D. 1y2100 x236 y220 x212C 由题意知 c8,2 a20， a10， b2 a2 c236，故椭圆的方程为 1.y2100 x236合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标
4、准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点 A( ，2)和点 B(2 ，1)3 3解 (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 1( a b0)x2a2 y2b2 a5， c4， b2 a2 c225169.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1( a b0)y2a2 x2b2 a2， b1.故所求椭圆的标准方程为 x21.y24(3)法一：当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1
5、( a b0)x2a2 y2b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1( a b0)y2a2 x2b2依题意有Error!解得Error!3因为 a b0，所以无解所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25法二：设所求椭圆的方程为 mx2 ny21( m0， n0， m n)，依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25规律方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a， b， c 的等量关系；(4)求 a， b 的值，代
6、入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2 ny21( m n， m0， n0)因为它包括焦点在 x 轴上( m n)或焦点在 y 轴上( m n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算跟踪训练1已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 A(0，2)和 B ，求椭(12， 3)圆的标准方程解 设椭圆的方程为 mx2 ny21( m0， n0， m n)，将 A， B 两点坐标代入方程得Error!解得 Error!所求椭圆方程为 x2 1.y24椭圆中的焦点三角形问题(1)椭圆 1 的焦点为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若| PF1|4，则 F1PF2x29 y
7、22的大小为_(2)已知椭圆 1 中，点 P 是椭圆上一点， F1， F2是椭圆的焦点，且x24 y23 PF1F2120，则 PF1F2的面积为_. 【导学号：97792052】思路探究 (1) 求 |PF2| 求 cos F1PF2 求 F1PF2的 大 小(2) 4解析 (1)由 1，知 a3， b ，x29 y22 2 c .7| PF2|2 a| PF1|2，cos F1PF2 ，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 12 F1PF2120.(2)由 1，可知 a2， b ，所以 c 1，从而| F1F2|2 c2.x24 y23 3 a2 b2在 PF1F
8、2中，由余弦定理得| PF2|2| PF1|2| F1F2|22| PF1|F1F2|cos PF1F2，即|PF2|2| PF1|242| PF1| .由椭圆定义得| PF1| PF2|2 a4 .由联立可得| PF1| .65所以 S PF1F2 |PF1|F1F2|sin PF1F2 2 .12 12 65 32 335答案 (1)120 (2)335规律方法 1.椭圆的定义具有双向作用，即若| MF1| MF2|2 a(2a| F1F2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1， F2构
9、成的 PF1F2，称为焦点三角形在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义| MF1| MF2|2 a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解跟踪训练2(1)已知 P 是椭圆 1 上的一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，且y25 x24 F1PF230，则 F1PF2的面积是_84 由椭圆的标准方程，知 a ， b2，3 5 c 1，| F1F2|2.a2 b2又由椭圆的定义，知|PF1| PF2|2 a2 .5在 F1PF2中，由余弦定理得| F1F2|2| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos F1PF2，即 4(| PF1| P
10、F2|)22| PF1|PF2|2| PF1|PF2|cos 30，即 420(2 )|PF1|PF2|，3| PF1|PF2|16(2 )35 S F1PF2 |PF1|PF2|sin F1PF2 16(2 ) 84 .12 12 3 12 3(2)设 P 是椭圆 1 上一点， F1， F2是椭圆的焦点，若 PF1F290，则x24 y23F1PF2的面积是_由椭圆方程 1，知 a2， c1，由椭圆定义，得| PF1| PF2|2 a4，32 x24 y23且| F1F2|2，在 PF1F2中， PF1F290.| PF2|2| PF1|2| F1F2|2.从而(4| PF1|)2| PF1
11、|24，则| PF1| ，32因此 S PF1F2 |F1F2|PF1| .12 32故所求 PF1F2的面积为 .32与椭圆有关的轨迹问题探究问题1.如图 211， P 为圆 B：( x2) 2 y236 上一动点，点 A 的坐标为(2,0)，线段 AP的垂直平分线交直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程图 211提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量 a， b， c.所求点 Q 的轨迹方程为 1.x29 y252.如图 212，在圆 x2 y24 上任取一点
12、 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD， D 为垂足当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是什么？为什么？6图 212提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为 M(x， y)，已知曲线上动点坐标为 P(x1， y1)(2)求关系式：用点 M 的坐标表示出点 P 的坐标，即得关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可所求点 M 的轨迹方程为 y21.x24(1)已知 P 是椭圆 1 上一动点； O 为
13、坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨x24 y28迹方程为_(2)一个动圆与圆 Q1：( x3) 2 y21 外切，与圆 Q2：( x3) 2 y281 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.【导学号：97792053】思路探究 (1)点 Q 为 OP 的中点点 Q 与点 P 的坐标关系代入法求解(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹解析 (1)设 Q(x， y)， P(x0， y0)，由点 Q 是线段 OP 的中点知 x02 x， y02 y，又 1.x204 y208所以 1，即 x2 1. 2x 24 2y 28 y22答案 x2 1.y22(2)由已知，得两定圆的圆
14、心和半径分别为 Q1(3,0)， R11； Q2(3,0)， R29.设动圆圆心为 M(x， y)，半径为 R，如图由题设有|MQ1|1 R，|MQ2|9 R，所以| MQ1| MQ2|10| Q1Q2|6.由椭圆的定义，知点 M 在以 Q1， Q2为焦点的椭圆上，7且 a5， c3.所以 b2 a2 c225916，故动圆圆心的轨迹方程为 1.x225 y216规律方法 1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写
15、出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点 P(x， y)与另一个已知曲线 C： F(x， y)0 上的动点 Q(x1， y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x， y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)跟踪训练3(1)已知 x 轴上一定点 A(1,0)， Q 为椭圆 y21 上任一点，求线段 AQ 中点 M 的x24轨迹方程解 设中点 M 的坐标为( x， y)，点 Q 的坐标为( x
16、0， y0)利用中点坐标公式，得Error! Error! Q(x0， y0)在椭圆 y21 上，x24 y 1.x204 20将 x02 x1， y02 y 代入上式，得 (2 y)21. 2x 1 24故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是4 y21.(x12)2 (2)在 Rt ABC 中， CAB90，| AB|2，| AC| ，曲线 E 过 C 点，动点 P 在曲线32E 上运动，且| PA| PB|是定值建立适当的平面直角坐标系，求曲线 E 的方程解 以 AB 的中点 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标8系由题意可知，曲线 E 是以 A， B 为焦点，且过点 C 的椭圆，设其方
17、程为 1( ab0)则 2a| AC| BC| 4,2 c| AB|2，所以 a2， c1，所以x2a2 y2b2 32 52b2 a2 c23.所以曲线 E 的方程为 1.x24 y23当 堂 达 标固 双 基1已知 A(5,0)， B(5,0)动点 C 满足| AC| BC|10，则点 C 的轨迹是( )A椭圆 B直线 C线段 D点C 由| AC| BC|10| AB|知点 C 的轨迹是线段 AB.2已知椭圆 4x2 ky24 的一个焦点坐标是(0,1)，则实数 k 的值是( ) 【导学号：97792054】A1 B2 C3 D4B 椭圆方程可化为 x2 1，由题意知Error!，解得 k
18、2.y24k3已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A. 1 B. y21x24 y23 x24C. 1 D. x21y24 x23 y24A 由题意知 c1，a2， b2 a2 c23.椭圆的方程为 1.x24 y234已知椭圆 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1， F2的连线夹角为直角，则x249 y224|PF1|PF2|_.48 由题意知Error! 2得 2|PF1|PF2|96.所以| PF1|PF2|48.5已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1， F2在 x 轴上，且过点 A(4,3)若F1A F2A，求椭圆的标准方程. 【导学号：97792055】9解 设所求椭圆的标准方程为 1( a b0)设焦点 F1( c,0)， F2(c,0)x2a2 y2b2(c0) F1A F2A， 0，F1A F2A 而 (4 c,3)，F1A (4 c,3)，F2A (4 c)(4 c)3 20， c225，即 c5. F1(5,0)， F2(5,0)2 a| AF1| AF2| 4 . 4 5 2 32 4 5 2 32 10 90 10 a2 ，10 b2 a2 c2(2 )25 215.10所求椭圆的标准方程为 1.x240 y215
