1、1章末综合测评(二) 随机变量及其分布(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法不正确的是( )A某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为 0C公式 E(X) np 可以用来计算离散型随机变量的均值D从一副扑克牌中随机抽取 5 张，其中梅花的张数服从超几何分布C 公式 E(X) np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算故选 C.2某一供电网络，有 n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机
2、会是 p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( ) 【导学号：95032222】A np(1 p) B npC n D p(1 p)B 依题意知，用电单位 X B(n， p)，所以 E(X) np.3设随机变量 X 的分布列为 P(X k) m ， k1,2,3，则 m 的值为( )(23)k A. B.1718 2738C. D.1719 2719B P(X1) ， P(X2) ， P(X3) ，由离散型随机变量的分布列的性质知2m3 4m9 8m27P(X1) P(X2) P(X3)1，即 1，解得 m .2m3 4m9 8m27 27384已知 的分布列为 1 0 1 2P 14 38
3、14 18则 的均值为( )A0 B1C D18 142D E( )1 0 1 2 .14 38 14 18 145一道竞赛题， A， B， C 三人可解出的概率依次为 ，若三人独立解答，则仅有1213141 人解出的概率为( ) 【导学号：95032223】A. B.124 1124C. D11724B P P(A ) P( B ) P( C) .B C A C A B 12 23 34 12 13 34 12 23 14 11246若随机变量 X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是 ，则该随机(10，12)变量的方差等于( )A10 B100C D.2 2C 由正态分布密度曲线上的
4、最高点 知 ，即 ，(10，12) 12 12 2 D(X) 2 .27已知 B ， B ，且 E( )15，则 E(3 6)等于( )(n，12) (n， 13)【导学号：95032224】A30 B16C36 D10C 因为 B ，所以 E( ) .又 E( )15，则 n30，所以 B .(n，12) n2 (30， 13)故 E( )30 10.13 E(3 6)3 E( )6368如果随机变量 X N(4,1)，则 P(X2)等于( )(注： P( 2 80) (10.954 5)0.022 128，故成绩高于 80 分的考生人数为 10 0000.022 8228(人)所以该生的综
5、合成绩在所有考生中的名次是第 229 名16甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1， A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号) P(B) ；25 P(B|A1) ；511事件 B 与事件 A1相互独立； A1， A2， A3是两两互斥的事件； P(B)的值不能确定，因为它与 A1， A2， A3中究竟哪一个发生有关. 【导学号：95032228】 从甲罐中取出一球放入乙罐
6、，则 A1， A2， A3中任意两个事件不可能同时发生，即 A1， A2， A3两两互斥，故正确，易知 P(A1) ， P(A2) ， P(A3) ，则 P(B|A1)12 15 310， P(B|A2) ， P(B|A3) ，故对错； P(B) P(A1B) P(A2B) P(A3B)511 411 411 P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3) ，故12 511 15 411 310 411 922错误综上知，正确结论的序号为.6三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)甲、乙两名跳
7、高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率解 记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai， “乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi，依题意得 P(Ai)0.7， P(Bi)0.6，且 Ai， Bi(i1,2,3)相互独立(1)“甲第三次试跳才成功”为事件 A3，且三次试跳相互独立，则 P( A3)A1A2 A1 A2 P( )P( )P(A3)0.30.30.70.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为 0.063.A1 A2(2)设“甲、乙两人在第一次试
8、跳中至少有一人成功”为事件 C.法一 (直接法)因为 C A1 B1 A1B1，且 A1 ， B1， A1B1彼此互斥，B1 A1 B1 A1所以 P(C) P(A1 ) P( B1) P(A1B1) P(A1)P( ) P( )P(B1) P(A1)P(B1)B1 A1 B1 A10.70.40.30.60.70.60.88.法二 (间接法) P(C)1 P( )P( )10.30.40.88.A1 B1所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88.18(本小题满分 12 分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为 X， Y， X 和 Y 的
9、分布列如下表试对这两名工人的技术水平进行比较. 【导学号：95032229】X 0 1 2P 610 110 310Y 0 1 2P 510 310 210解 工人甲生产出次品数 X 的数学期望和方差分别为 E(X)0 1 2 0.7，610 110 310D(X)(00.7) 2 (10.7) 2 (20.7) 2 0.81.610 110 310工人乙生产出次品数 Y 的数学期望和方差分别为E(Y)0 1 2 0.7，510 310 210D(Y)(00.7) 2 (10.7) 2 (20.7) 2 0.61.510 310 210由 E(X) E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术
10、水平相当，但 D(X)D(Y)，可7见乙的技术比较稳定19(本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A， P(A) .A12A13A25 310(2)X 的可能取值为 200,300,400
11、.P(X200) ，A2A25 110P(X300) ，A3 C12C13A2A35 310P(X400)1 P(X200) P(X300)1 .110 310 610故 X 的分布列为X 200 300 400P 110 310 61020.(本小题满分 12 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望(注：若三个数 a， b， c 满足 a b c，则称 b 为这
12、三个数的中位数)解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P .C34 C3C39 584(2)X 的所有可能值为 1,2,3，且P(X1) ，C24C15 C34C39 1742P(X2) ，C13C14C12 C23C16 C3C39 4384P(X3) .C2C17C39 112故 X 的分布列为8X 1 2 3P 1742 4384 112从而 E(X)1 2 3 .1742 4384 112 472821(本小题满分 12 分)现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求：(1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率；(2)第
13、1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率. 【导学号：95032230】解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第2 次都抽到舞蹈节目为事件 AB.(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个的事件数为 n( )A 30，26根据分步计数原理 n(A)A A 20，于是 P(A) .1415n An 2030 23(2)因为 n(AB)A 12，于是 P(AB) .24n ABn 1230 25(3)法一(公式法)：由(1)(2)可得，在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2
14、次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A) .P ABP A2523 35法二：(直接法)因为 n(AB)12， n(A)20，所以 P(B|A) .n ABn A 1220 3522(本小题满分 12 分)北京市政府为做好 APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响16 110(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损 80 元(即获利80 元)
15、已知一箱中有该海产品 4 件，记一箱该海产品获利 元，求 的分布列，并求出均值 E( ).【导学号：95032231】9解 (1)设“该海产品不能销售”为事件 A，则 P(A)1 .(116) (1 110) 14所以，该海产品不能销售的概率为 .14(2)由已知，可知 的可能取值为320，200，80,40,160.P( 320) ，(14)4 1256P( 200)C ，14 (14)3 34 364P( 80)C ，24 (14)2 (34)2 27128P( 40)C ，3414 (34)3 2764P( 160) .(34)4 81256所以 的分布列为 320 200 80 40 160P 1256 364 27128 2764 81256E( )320 200 80 40 160 40.1256 364 27128 2764 81256
