1、12.1.3 分层抽样学习目标 1.理解分层抽样的概念(难点)；2.会用分层抽样从总体中抽取样本(重点)；3.了解两种抽样法的联系和区别.知识点一 分层抽样1.分层抽样的概念一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”.分层抽样具有如下特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)按比例确定每层抽取个体的个数；(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样的方法；(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本
2、具有良好的代表性；(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是 ，而且在每层抽样样 本 容 量 n总 体 容 量 N时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法2.分层抽样的步骤分层抽样的步骤是：(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)1.在分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性是相等的；( )2.在各层中抽取的个体数与该层个体数之比等于抽样比；( )3.分层抽样中，具体分多少层是固定的.( )答案 1. 2.
3、 3.知识点二 抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样的比较如下表所示：类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围2简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少分层抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取在各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【预习评价】分层抽样的总体具有什么特性？提示 分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.题型一 对分层抽样概念
4、的理解【例 1】 为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求_(填序号).每层等可能抽样；每层抽取的个体数相等；每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 ni n (i1,2,3， k)个个体(其中 k 是层数， n 是抽取的样本容量， Ni是NiN第 i 层中个体的个数， N 是总体的容量)；只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制.解析 虽然每层等可能地抽样，但是没有指明每层中应抽取几个个体，故不正确；由于每层的容量不一定相等，每层也不一定抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能情况就不一样了，因此也不正确；对于第 i 层的每个个体，它被抽到的可能
5、性与层数 k 无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故正确；不正确，因为每层抽取的个体数是有限制的.答案 规律方法 分层抽样的特点主要有：(1)适用总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)分成的各层互不交叉；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等，都是 (n 为样本容量， N 为总体容量)，nN与层数及分层无关；(4)是不放回抽样；3(5)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中所占的比例；(6)分层抽样是建立在简单随机抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获得的样本更具有代表性，更充分反映了总体的情况，在实践中的应用更为广泛.【训练 1】 有 40 件产品
6、，其中一等品 10 件，二等品 25 件，次品 5 件.现从中抽出 8 件进行质量分析，则应采取的抽样方法是_.解析 总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样.答案 分层抽样题型二 分层抽样的应用【例 2】 一批产品中，有一级品 100 个，二级品 60 个，三级品 40 个，请用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本，应如何抽取？解 第一步，确定抽样比：20(1006040)110.第二步，确定每层中抽取的样本数：从一级品中抽取 100 10(个)，从二级品中抽取11060 6(个)，从三级品中抽取 40 4(个).110 110第三步，各层抽样：用简单随
7、机抽样法或系统抽样法抽取一级品 10 个，二级品 6 个，三级品 4 个.第四步，将每层抽取的个体组合在一起构成样本.规律方法 利用分层抽样抽取样本的操作步骤：(1)将总体按一定标准进行分层；(2)确定抽样比；(3)按抽样比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本.【训练 2】 一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的有 160 人，具有中级职称的有320 人，具有初级职称的有 200 人，其余人员 120 人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是
8、_.解析 抽样比为 ，故各层抽取的人数依次为40800 120160 8,320 16,200 10,120 6.120 120 120 120答案 8,16,10,6方向 1 抽样方法的选择4【例 31】 某校有教职工 240 人，其中教师 160 人，行政人员 48 人，后勤人员 32 人.为了了解职工的收入情况，需要从中抽取一个容量为 30 的样本，有以下两种抽样方法：方法一：将 240 人按照 1240 进行编号，然后制作出有编号 1240 的 240 个形状、大小相同的号签，并将号签放入一个不透明的箱子里均匀搅拌，然后从中抽取 30 个号签，编号和号签相同的 30 个人被选出.方法二
9、：按照人数的比例，从教师中抽出 20 人，从行政人员中抽出 6 人，从后勤人员中抽出 4 人，可抽到 30 人(从各类人员中抽取所需人员时均采用随机数表法).则方法一是_，方法二是_.解析 根据各个抽样方法的定义，方法一显然为抽签法，属于简单随机抽样；方法二根据各类人数比例来抽样，根据分层抽样的定义，该方法属于分层抽样.答案 简单随机抽样 分层抽样方向 2 抽样方法的比较【例 32】 在 100 个零件中，有一级品 20 个，二级品 30 个，三级品 50 个，从中抽取20 个作为样本.方法 1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号 00,01,02，99，用抽签法抽取 20 个.方法 2：采用
10、分层抽样的方法，从一级品中随机抽取 4 个，从二级品中随机抽取 6 个，从三级品中随机抽取 10 个.对于上述问题，下列说法正确的是_(填序号).不论采用哪种抽样方法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的可能性都是 ；15采用不同的方法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；在上述抽样方法中，方法 2 抽到的样本比方法 1 抽到的样本更能反映总体特征.解析 根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体被抽到的可能性都相等，都是 ，故正确，错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，nN故方法抽到的样本更有代表性，正确，故正确.答案 方向 3 抽样方法
11、的具体应用【例 33】 为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察.为了全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14 个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同).从全年级 14 个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取 14 人，考察他们的学习成绩；把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取 100 名学生进5行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有 105 名，良好学生有 420 名，普通学生有 175 名).根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面两种抽取方式中，
12、其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面两种抽取样本的步骤.解 (1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 14 名学生本年度的考试成绩，样本容量为 14；第二种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本年度的考试成绩，样本容量为 100.(2)上面二种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法.(3)第一种方式抽样的步骤如下
13、：第一步：在这 14 个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取 14 名学生，考察其考试成绩.第二种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共 105 人，良好生共 420 人，普通生共 175人，所以在抽取样本中应该把全体学生分成三个层次；第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为 10070017，所以在每层抽取的个体数依次为 ， ， ，即 15,60,25；1057 4207 1757第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人，在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人，在普通生中用简单随机抽样法
14、抽取 25 人.第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本.规律方法 (1)两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系.在应用时要根据实际情况选取合适的方法.(2)两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.课堂达标1.某校对全校 1 200 名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女生抽了 85 人，则该校的男生数是_人.解析 男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生数为 1 2006690(人).200 85200答案 6902.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150,150,400,300 名学生，为了解学生
15、的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中共抽取 40 名学生进行调查，则应在丙专业中抽取的学生人数为_.解析 由题意知按分层抽样法进行抽样，抽样比为 ，所以应在丙40150 150 400 300 125专业中抽取的人数为 400 16.125答案 163.下列问题中宜采用的抽样方法依次为：(1)_；(2)_；(3)_.(1)从 10 台电冰箱中抽取 3 台进行质量检查；(2)某社区有 1 200 户家庭，其中高收入家庭 420 户，中等收入家庭 470 户，低收入家庭310 户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为 120 的样本；(3)某学校有 160 名教职
16、工，其中教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本.解析 题号 判断 原因分析(1) 抽签法 总体容量较小，宜采用抽签法(2) 分层抽样 社区中家庭收入层次明显，宜采用分层抽样(3) 分层抽样由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故宜采用分层抽样答案 抽签法 分层抽样 分层抽样4.央视春晚直播不到 20 天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的猴戏节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：网民态度 支持 反对 无所谓人数(单位：人) 8 000 6 000
17、 10 000若采用分层抽样的方法从中抽取 48 人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为_.解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为 48 48 16.8 0008 000 6 000 10 000 137答案 165.一个单位有职工 160 人，其中有业务人员 112 人，管理人员 16 人，后勤服务人员 32 人.为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，请用分层抽样的方法抽取样本.解 法一 三部分所含个体数之比为 1121632712，设三部分应抽取个体数分别为 7x， x,2x，则由 7x x2 x20，得 x2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取 1
18、4 人，2 人和 4 人.法二 分层抽样中的抽样比为 .由 112 14,16 2,32 4，可得业务人员、20160 18 18 18 18管理人员、后勤服务人员应分别抽取 14 人，2 人和 4 人.确定样本的组成部分之后，下面在层内运用简单随机抽样法抽样.课堂小结1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1) ；样 本 容 量 n总 体 容 量 N 各 层 抽 取 的 样 本 数该 层 的 容 量(2)总体中各层容量之比对应层抽取的样本数之比.2.选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法.(2)当总体容量较大，样本容量较小
19、时，可采用随机数表法.(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法.基础过关1.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是_.解析 由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽样法.答案 分层抽样法2.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中最合理的抽样方法是_(填序号).简单随机抽样；按性别分层抽样；按学段分
20、层抽样.解析 因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.为了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方8式具有代表性，比较合理.答案 3.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_.解析 设男生抽取 x 人，则有 ，解得 x25.45900 x900 400答案 254.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年
21、级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生.解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为 30060.44 5 5 6答案 605.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作为样本，若用分层抽样的方法，则 40 岁以下年龄段应抽取_人.解析 40 岁以下年龄段的职工数为 2000.5100，则应抽取的人数为 10020.40200答案 206.选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.(1)有甲厂生产的 30 个篮球，其中一箱 21 个，另一箱 9 个，抽取 3 个；(2)有 30 个篮球，其中甲厂生产的有 21 个，乙厂生产的有
22、 9 个，抽取 10 个；(3)有甲厂生产的 300 个篮球，抽取 10 个.解 (1)总体容量较小，用抽签法.将 30 个篮球编号，编号为 00,01，29；将以上 30 个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；从袋子中逐个抽取 3 个号签，并记录上面的号码；找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.(2)总体由差异明显的两层组成，需选用分层抽样.确定抽取个数.因为 ，所以甲厂生产的应抽取 21 7(个)，乙厂生产的应抽取1030 13 1399 3(个)；13用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球 7 个，乙厂生产的篮球 3 个，这些篮球便组成了我
23、们要抽取的样本.(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.将 300 个篮球用随机方式编号，编号为 001,002，300；在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第 8 行第 29 列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在 001300 中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到 10 个号码，这就是所要抽取的 10 个样本个体的号码.7.一个单位有职工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35 岁至 49 岁的有 280 人，50 岁及以上的有 95 人.为了了解这个单位的职工与身体状态有关的某项指标
24、，要从中抽取 100 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将 500 名职工分成三层：不到 35 岁的职工；35 岁到 49 岁的职工；50 岁及以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为 ，则在不到 35 岁的职工中抽取100500 15125 25(人)；15在 35 岁至 49 岁的职工中抽取 280 56(人)；15在 50 岁及以上的职工中抽取 95 19(人).15(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.(4)将每层抽取的个体组合在一起构成样本.能力提升8.问题：有 1 000 个乒乓球分别装在
25、3 个箱子内，其中红色箱子内有 500 个，蓝色箱子内有 200 个，黄色箱子内有 300 个，现从中抽取一个容量为 100 的样本；从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会.方法：.简单随机抽样；.分层抽样.其中问题与方法能配对的是_.解析 对于，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样.答案 ，9.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1 200 辆，6 000 辆和 2 000 辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆10数为_.解析 设三种型号的轿车依次抽取
26、x 辆， y 辆， z 辆，则有Error!解得Error!故填 6,30,10.答案 6,30,1010.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和如图所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_.解析 由题意知样本容量为(3 5004 5002 000)2%200，其中高中生人数为 2 0002%40，高中生的近视人数为 4050%20.答案 200,2011.某企业三月中旬生产 A， B， C 三种产品共 3 000 件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中 A， C 产品
27、的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10.根据以上信息，可得 C 产品的数量是_件.解析 设 C 产品的数量为 x 件，则 A 产品的数量为(1 700 x)件， C 产品的样本容量为 a，则 A 产品的样本容量为 10 a，由分层抽样的定义可知 ，解得 x800.1 700 xa 10 xa 1 300130答案 80012.甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，求乙设备生产的产品总数.解 由题设，抽样比为 .804 800 160
28、设甲设备生产的产品为 x 件，则 50， x3 000.x60故乙设备生产的产品总数为 4 8003 0001 800(件).13. (选做题)某社区小学三个年级各班人数如下表所示.11班级年级 1 班 2 班 3 班一 45 48 52二 46 54 50三 45 55 55学校计划召开学生代表座谈会，请根据上述基本数据设计一个样本容量为总体容量的 的120抽样方案.解 第一步 确定一年级、二年级、三年级的被抽个体数.一年级、二年级、三年级的学生数分别为：一年级：454852145，二年级：465450150，三年级：455555155.由于总体容量与样本容量的比为 201，所以样本中包含的各部分个体数应为145207,150208,155208.第二步 将一年级的被抽个体数分配到一年级 1 班、2 班、3 班中.因为一年级 1 班、2 班、3 班的人数比为 454852，所以一年级 1 班、2 班、3 班的被抽个体数分别为 7145452,7145482,7145523.第三步 用同样的方法将二年级的被抽个体数分配到二年级 1 班、2 班、3 班中，结果分别为 2 人、3 人、3 人.第四步 用同样的方法将三年级的被抽个体数分配到三年级 1 班、2 班、3 班中，结果分别为 2 人、3 人、3 人.第五步 再用简单随机抽样在对应班级中抽取.
