1、1课时作业 5 函数的单调性与最值1下列函数 f(x)中，满足“对任意 x1， x2(0，)，当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)”的是( A )A f(x) B f(x)( x1) 21xC f(x)e x D f(x)ln( x1)解析：依题意可得函数在(0，)上单调递减，故由选项可得 A 正确2(2019阜阳模拟)给定函数 y x ， ylog (x1)， y| x1|， y2 x1 .12 12其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B )A B C D解析： y x 在(0,1)上递增；12 t x1 在(0,1)上递增，且 0 1，12故 ylog (x1)在(0,
2、1)上递减；12结合图象可知 y| x1|在(0,1)上递减； u x1 在(0,1)上递增，且 21，故 y2 x1 在(0,1)上递增故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是.3已知 f(x)Error!是(，)上的减函数，则 a 的取值范围是( C )A(0,1) B.(0，13)C. D.17， 13) 17， 1)解析：由 f(x)是减函数，得Error! a ， a 的取值范围是 .17 13 17， 13)4(2019天津河西区一模)函数 f(x)ln(x 22x3)的单调递减区间为( C )A(，1) B(1，)C(，1) D(3，)解析：要使函数 f(x)有意义，则 x22x
3、30，即 x3 或 x3 时，函数 tx 22x3 单调递增；当 xf(log x) f ，19 (12) 19 ( 12)log x 或 log x0，19 12 12 19解得 0 x 或 1 x3.13原不等式的解集为Error!.11(2019西安模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(x y) f(x) f(y)1，当 x0 时， f(x)1.(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数(2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22 x) f(1 x)4.解：(1)令 x y0 得 f(0)1.证明：在 R 上任取 x1 x2，则 x1 x20，
4、 f(x1 x2)1.又 f(x1) f(x1 x2) x2) f(x1 x2) f(x2)1 f(x2)，所以，函数 f(x)在 R 上是单调增函数4(2)由 f(1)1，得 f(2)3， f(3)5.由 f(x22 x) f(1 x)4 得 f(x2 x1) f(3)，又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2 x13，解得 x2 或 x1，故原不等式的解集为 x|x2 或 x112已知函数 f(x)lg ，其中 a 是大于 0 的常数(xax 2)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确
5、定 a 的取值范围解：(1)由 x 20，得 0，ax x2 2x ax当 a1 时， x22 x a0 恒成立，定义域为(0，)，当 a1 时，定义域为 x|x0 且 x1，当 0 a1 时，定义域为 x|0 x1 或 x1 1 a 1 a(2)设 g(x) x 2，当 a(1,4)， x2，)时，ax g( x)1 0.ax2 x2 ax2因此 g(x)在2，)上是增函数， f(x)在2，)上是增函数则 f(x)min f(2)lg .a2(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0.即 x 21 对 x2，)恒成立ax a3 x x2.令 h(x)3 x x2， x2，)由于 h(x) 2 在
6、2，)上是减函数，(x32) 94 h(x)max h(2)2.故 a2 时，恒有 f(x)0.因此实数 a 的取值范围为(2，)13如果函数 y f(x)在区间 I 上是增函数，且函数 y 在区间 I 上是减函数，f xx那么称函数 y f(x)是区间 I 上的“缓增函数” ，区间 I 叫做“缓增区间” 若函数 f(x) x2 x 是区间 I 上的“缓增函数” ，则“缓增区间” I 为( D )12 32A1，) B0， 3C0,1 D1， 3解析：因为函数 f(x) x2 x 的对称轴为 x1，所以函数 y f(x)在区间1，)上12 325是增函数，又当 x1 时， x 1，令 g(x)
7、 x 1( x1)，则 g( x)f xx 12 32x 12 32x ，由 g( x)0，得 1 x ，即函数 x1 在区间1， 12 32x2 x2 32x2 3 f xx 12 32x 3上单调递减，故“缓增区间” I 为1， 314(2019海南阶段性测试)已知函数 f(x)2 017xlog 2 017( x)2 x2 1017 x3，则关于 x 的不等式 f(12 x) f(x)6 的解集为( A )A(，1) B(1，)C(，2) D(2，)解析：因为函数 y12 017x2 017 x是奇函数，函数 y2log 2 017( x)为奇函1 x2数，所以函数 g(x)2 017x
8、2 017 xlog 2 017( x)为奇函数且在(，)上x2 1单调递增， f(12 x) f(x)6 即 g(12 x)3 g(x)36，即 g(x) g(2x1)， x2 x1， x1，不等式 f(12 x) f(x)6 的解集为(，1)故选 A.15设函数 f(x) 2 016sinx， x 的最大值为 M，最小2 017x 1 2 0162 017x 1 2， 2值为 N，那么 M N4_033_.解析： f(x) 2 016sin x2 017x 1 2 0162 017x 1 2 016sin x2 017x 1 2 017 12 017x 12 017 2 016sin x.
9、12 017x 1显然该函数在区间 上单调递增， 2， 2故最大值为 f ，最小值为 f ，( 2) ( 2)所以 M N f f ( 2) ( 2)(2 017 12 0172 1 2 016) (2 017 12 017 2 1 2 016)4 034 12 017 2 12 017 21 2 017 24 03414 033.16(2019中山模拟)已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满足 f f(x1)(x1x2) f(x2)，且当 x1 时， f(x)0， f(3)1.(1)判断 f(x)的单调性；(2)解关于 x 的不等式 f(3x6) f 2；(1x)6(3)若 f(x) m
10、22 am1 对所有 x(0,3， a1,1恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)设 x1 x20，则 1，x1x2当 x1 时， f(x)0， f(x1) f(x2) f 0， f(x1) f(x2)，(x1x2)函数 f(x)在(0，)上为增函数(2)在 f(x1) f(x2) f 中，令 x19， x23，(x1x2) f(9) f(3) f(3)又 f(3)1， f(9)2.不等式 f(3x6) f 2，(1x)可转化为 f(3x6) f f(9)，(1x) f(3x6) f(9) f f(9x)，(1x)由函数 f(x)为(0，)上的增函数，可得 3x69 x0，0 x1，原不等式的解集为(0,1)(3)函数 f(x)在(0,3上是增函数， f(x)在(0,3上的最大值为 f(3)1，不等式 f(x) m22 am1 对所有 x(0,3， a1，1恒成立转化为1 m22 am1 对所有 a1,1恒成立，即 m22 am0 对所有 a1,1恒成立设 g(a)2 ma m2，需满足Error!即Error!解该不等式组，得 m2 或 m2 或 m0，即实数 m 的取值范围为(，202，)7
