1、- 1 -第 1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础题组练1从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数 a， b组成复数 a bi，其中虚数的个数是( )A30 B42C36 D35解析：选 C.因为 a bi为虚数，所以 b0，即 b有 6种取法， a有 6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6636 个虚数2已知两条异面直线 a， b上分别有 5个点和 8个点，则这 13个点可以确定不同的平面个数为( )A40 B16 C13 D10解析：选 C.分两类情况讨论：第 1类，直线 a分别与直线 b上的 8个点可以确定 8个不同的平面；第 2类，直线 b分别与直线 a上的
2、5个点可以确定 5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513 个不同的平面3已知集合 P x，1， Q y，1，2，其中 x， y1，2，3，9，且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对( x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A9 B14C15 D21解析：选 B.因为 P x，1， Q y，1，2，且 PQ，所以 x y，2所以当 x2 时， y3，4，5，6，7，8，9，共 7种情况；当 x y时， x3，4，5，6，7，8，9，共 7种情况故共有 7714 种情况，即这样的点的个数为 14.4从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列
3、，这样的等比数列的个数为( )A3 B4C6 D8解析：选 D.当公比为 2时，等比数列可为 1，2，4 或 2，4，8；当公比为 3时，等比数列可为 1，3，9；当公比为 时，等比数列可为 4，6，9.同理公比为 ， ， 时，也有 432 12 13 23个故共有 8个等比数列5从集合1，2，3，4，10中，选出 5个数组成子集，使得这 5个数中任意两个- 2 -数的和都不等于 11，则这样的子集有( )A32 个 B34 个C36 个 D38 个解析：选 A.将和等于 11的数放在一组：1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6.从每一小组中取一个，有 C 2 种，共有
4、2222232 个子集故选 A.126某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B， C， D中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字 3，5，6，8，9 中选择，其他号码只想在 1，3，6，9 中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A180 种 B360 种C720 种 D960 种解析：选 D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有 5种选法，第二个号码有 3种选法，其余三个号码各有 4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有 53444960(种)7直线 l： 1 中， a1，3，5，7， b
5、2，4，6，8若 l与坐标轴围成的三xa yb角形的面积不小于 10，则这样的直线的条数为( )A6 B7C8 D16解析：选 B.l与坐标轴围成的三角形的面积为S ab10，即 ab20.12当 a1 时，不满足；当 a3 时， b8，即 1条当 a5，7时， b4，6，8，此时 a的取法有 2种， b的取法有 3种，则直线 l的条数为 236.故满足条件的直线的条数为 167.故选 B.8一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P点处进， Q点处出，沿图中线路游览A， B， C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点 O外)的不同游览线路有( )A6 种 B8 种C12 种 D48 种解析：
6、选 D.从 P点处进入结点 O以后，游览每一个景点所走环形路线都有 2个入口(或- 3 -2个出口)，若先游览完 A景点，再进入另外两个景点，最后从 Q点处出有(44)216 种不同的方法；同理，若先游览 B景点，有 16种不同的方法；若先游览 C景点，有 16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有 31648(种)9如图所示，用 4种不同的颜色涂入图中的矩形 A， B， C， D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A72 种 B48 种C24 种 D12 种解析：选 A.法一：首先涂 A有 4种涂法，则涂 B有 3种涂法， C与 A， B相邻，则 C有2种涂法， D只与 C相邻，
7、则 D有 3种涂法，所以共有 432372 种涂法法二：按要求涂色至少需要 3种颜色，故分两类：一是 4种颜色都用，这时 A有 4种涂法， B有 3种涂法， C有 2种涂法， D有 1种涂法，共有 432124 种涂法；二是用 3种颜色，这时 A， B， C的涂法有 43224 种， D只要不与 C同色即可，故 D有 2种涂法，所以不同的涂法共有 2424272(种)10(2019惠州调研)我们把各位数字之和为 6的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则首位为 2的“六合数”共有( )A18 个 B15 个C12 个 D9 个解析：选 B.依题意，这个四位数的百位数、十位数、
8、个位数之和为 4.由 4，0，0 组成3个数分别为 400，040，004；由 3，1，0 组成 6个数分别为310，301，130，103，013，031；由 2、2、0 组成 3个数分别为 220，202，022；由2，1，1 组成 3个数分别为 211，121，112.共计：363315(个)11满足 a， b1，0，1，2，且关于 x的方程 ax22 x b0 有实数解的有序数对(a， b)的个数为( )A14 B13C12 D10解析：选 B.当 a0 时，关于 x的方程为 2x b0，此时有序数对(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足要求；当 a0 时， 44 ab0
9、， ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)综上，满足要求的有序数对共有 13个，故选 B.12将 1，2，3，9 这 9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每- 4 -一列从上到下分别依次增大，当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有( )3 4A.6种 B12 种C18 种 D24 种解析：选 A.根据数字的大小关系可知，1，2，9 的位置是固定的，如图所示，则剩余5，6，7，8 这 4个数字，而 8只能放在 A或 B处，若 8放在 B处，则可以从 5，6，7 这 3个数字
10、中选一个放在 C处，剩余两个位置固定，此时共有 3种方法，同理，若 8放在 A处，也有 3种方法，所以共有 6种方法.1 2 D3 4 AC B 913.把 3封信投到 4个信箱，所有可能的投法共有_种解析：第 1封信投到信箱中有 4种投法；第 2封信投到信箱中也有 4种投法；第 3封信投到信箱中也有 4种投法只要把这 3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有 4364 种投法答案：6414从班委会 5名成员中选出 3名，分别担任班级学生委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，
11、所以从剩下的 3人中选 1人担任文娱委员，有 3种选法第二步，从剩下的 4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有 4种选法，再选体育委员有 3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种)答案：3615已知 ABC三边 a， b， c的长都是整数，且 a b c，如果 b25，则符合条件的三角形共有_个解析：根据三边构成三角形的条件可知， c25 a.第一类：当 a1， b25 时， c可取 25，共 1个值；第二类，当 a2， b25 时， c可取 25，26，共 2个值；当 a25， b25 时， c可取 25，26，49，共 25个值；所以三角形的个数为
12、1225325.- 5 -答案：32516在某一运动会百米决赛上，8 名男运动员参加 100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在 1，2，3，4，5，6，7，8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这 8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1，3，5，7 四条跑道可安排故安排方式有43224(种)第二步：安排另外 5人，可在 2，4，6，8 及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有 54321120(种)故安排这 8人的方式共有 241202 880(种)答案：2 880综合题组练1(2019湖南郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，
13、要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A4 320 种 B2 880 种C1 440 种 D720 种解析：选 A.分步进行：1 区域有 6种不同的涂色方法，2 区域有 5种不同的涂色方法，3区域有 4种不同的涂色方法，4 区域有 3种不同的涂色方法，6 区域有 4种不同的涂色方法，5区域有 3种不同的涂色方法根据分步乘法计数原理可知，共有 6543344 320种不同的涂色方法，故选A.2在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用 5局 3胜制的比赛规则，先赢 3局者获胜，直到决出胜负为止若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A6 种 B1
14、2 种C18 种 D20 种解析：选 D.分三种情况：恰好打 3局(一人赢 3局)，有 2种情形；恰好打 4局(一人前3局中赢 2局，输 1局，第 4局赢)，共有 236 种情形；恰好打 5局(一人前 4局中赢 2局，输 2局，第 5局赢)，共有 2 12 种情形所有可能出现的情形共有432261220 种故选 D.3(创新型)(2019湖南十二校联考)若 m， n均为非负整数，在做 m n的加法时各位- 6 -均不进位(例如：1343 8023 936)，则称( m， n)为“简单的”有序对，而 m n称为有序对( m， n)的值，那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是_解析：第 1
15、步，110，101，共 2种组合方式；第 2步，909，918，927，936，990，共 10种组合方式；第 3步，404，413，422，431，440，共 5种组合方式；第 4步，202，211，220，共 3种组合方式根据分步乘法计数原理，值为 1 942的“简单的”有序对的个数为 21053300.答案：3004 x y z10 的正整数解的组数为_解析：可按 x的值分类：当 x1 时， y z9，共有 8组；当 x2 时， y z8，共有 7组；当 x3 时， y z7，共有 6组；当 x4 时， y z6，共有 5组；当 x5 时， y z5，共有 4组；当 x6 时， y x4
16、，共有 3组；当 x7 时， y z3，共有 2组；当 x8 时， y z2，共有 1组由分类加法计数原理可知：共有 87654321 36(组)892答案：365已知集合 M3，2，1，0，1，2，若 a， b， c M，则：(1)y ax2 bx c可以表示多少个不同的二次函数？(2)y ax2 bx c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解：(1) y ax2 bx c表示二次函数时， a的取值有 5种情况， b的取值有 6种情况， c的取值有 6种情况，因此 y ax2 bx c可以表示 566180 个不同的二次函数(2)当 y ax2 bx c的图象开口向上时， a的取值有 2种
17、情况， b， c的取值均有 6种情况，因此 y ax2 bx c可以表示 26672 个图象开口向上的二次函数6(综合型)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数解：法一：按所用颜色种数分类- 7 -第一类：5 种颜色全用，共有 A 种不同的方法；5第二类：只用 4种颜色，则必有某两个顶点同色( A与 C，或 B与 D)，共有 2A 种不同45的方法；第三类：只用 3种颜色，则 A与 C， B与 D必定同色，共有 A 种不同的方法35由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为 A 2A A 420(种)5 45 35法二：以 S， A， B， C， D顺序分步染色第一步： S点染色，有 5种方法；第二步： A点染色，与 S在同一条棱上，有 4种方法；第三步： B点染色，与 S， A分别在同一条棱上，有 3种方法；第四步： C点染色，也有 3种方法，但考虑到 D点与 S， A， C相邻，需要针对 A与 C是否同色进行分类，当 A与 C同色时， D点有 3种染色方法；当 A与 C不同色时，因为 C与S， B也不同色，所以 C点有 2种染色方法， D点也有 2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有 543(1322)420(种)
