1、1课下层级训练(五十三) 几何概型A 级 基础强化训练1如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为( )23A B43 83C D无法计算23B 正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率 P ，即 S阴 影S正 方 形 23 S阴 影4，解得 S 阴影 .23 832 “抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约 812 毫米的杆上系一根长度为 1 m 的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于 0.2 m 的概率为( )A B 12 35C D25 23B 与两端都大于 0.2 m 即空
2、竹的运行范围为(10.20.2)m0.6 m，记“空竹与两端距离都大于 0.2 m”为事件 A，则所求概率满足几何概型，即 P(A) .1 0.2 0.21 353(2017全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A B14 8C D12 4B 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S 正方形 42由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑 S 白 S 圆12 ，所以由几何概型知所求概率 P . 2 S黑S
3、正 方 形 24 84已知正棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正棱锥内任取一点 P，使得 VPABCVSABC的概率是( )12A B34 78C D12 14B 由题意知，当点 P 在三棱锥的中截面以下时，满足 VPABC VSABC，故使得 VPABC12VSABC的概率 P 1 3 .12 大 三 棱 锥 的 体 积 小 三 棱 锥 的 体 积大 三 棱 锥 的 体 积 (12) 785如图所示， A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A，连接 AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A B12 32C D13 14C 当 AA的长度等于半径长度时，
4、 AOA ， A点在 A 点左右都可取得，故由 3几何概型的概率计算公式得 P .232 136设复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x 的概率为( )A B 34 12 14 123C D 12 1 12 1B 由| z|1 可得( x1) 2 y21，表示以(1,0)为圆心，1 为半径的圆及其内部，满足 y x 的部分为如图阴影部分所示，由几何概型概率公式可得所求概率为P .14 12 1212 12 4 12 14 127(2019山东临沂月考)一只昆虫在边分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于 2 的地方的概率为_如图所示，
5、该三角形为直角三角形，其面积为 51230，阴影部分的面积为15 122 22，所以所求概率为 .12 230 158(2019山东济南模拟)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为_设事件 M“动点在三棱锥 AA1BD 内” ，16P(M)V三 棱 锥 AA1BDV长 方 体 ABCDA1B1C1D1V三 棱 锥 A1ABDV长 方 体 ABCDA1B1C1D113AA1S ABDV长 方 体 ABCDA1B1C1D14 .13AA112S矩 形 ABCDAA1S矩 形 ABCD 169在边长为 2 的正方形 ABCD
6、内部任取一点 M，则满足 AMB90的概率为_如图，如果 M 点位于以 AB 为直径的半圆内部，则 AMB90，否则， M 点位于 8半圆上及空白部分，则 AMB90，所以 AMB90的概率 P .12 1222 810在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为 m 和 n，则方程 1 表示焦点x2m2 y2n2在 x 轴上的椭圆的概率是_方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， mn.如图，12 x2m2 y2n2由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m， n)，点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线 m n 恰好将矩形平分，所求的概率为 P .12B 级 能力提升训练11已
7、知在 ABC 中， ABC60， AB2， BC6，在 BC 上任取一点 D，则使 ABD为钝角三角形的概率为( )A B16 13C D12 23C 如图，当 BE1 时，5 AEB 为直角，则当点 D 在线段 BE(不包含 B， E 点)上时， ABD 为钝角三角形；当BF4 时， BAF 为直角，则当点 D 在线段 CF(不包含 C， F 点)上时， ABD 为钝角三角形，所以 ABD 为钝角三角形的概率为 .1 26 1212(2018河北石家庄模拟)已知 P 是 ABC 所在平面内一点， 2 0，现PB PC PA 将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在 PBC 内的概率是( )
8、A B14 13C D23 12D 则 ，因为 2 0，所以 2 ，得 2 ，由此PB PC PD PB PC PA PB PC PA PD PA 可得， P 是 ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 距离的 ，所以12S PBC S ABC，所以将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，黄豆落在 PBC 内的概率为 12 S PBCS ABC.1213在边长为 4 的等边三角形 OAB 及其内部任取一点 P，使得 4 的概率为( )OA OP A B12 14C D13 18D 设 在 上的投影为| |，又 | | |， 4，OP OA OQ OA OP
9、 OA OQ OA OP 则| |1.取 OB 的中点 M，作 MN OA 于 N，则满足条件的 P 构成的区域为图中阴影部OQ 分， N 为 OA 的四等分点，所以使得 4 的概率为 .OA OP S OMNS OAB 1814若 m(0,3)，则直线( m2) x(3 m)y30 与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积小于 的概率为_98对于直线方程( m2) x(3 m)y30，236令 x0，得 y ；令 y0，得 x ，33 m 3m 2由题意可得 | | | ，因为 m(0,3)，所以解得 0 m2，由几何概型12 3m 2 33 m 98计算公式可得，所求事件的概率 P .231
10、5平面区域 A1( x， y)|x2 y24， x， yR， A2( x， y)|x| y|3， x， yR在 A2内随机取一点，则该点不在 A1内的概率为_1 分别画出区域 A1， A2，如图中圆内部分和正方形及其内部所示，29根据几何概型可知，所求概率为 1 .18 418 2916某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_(用数字作答)设小张与小王的到校时间分别为 7：00 后第 x 分钟，第 y 分钟根据题意可画出932图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030) 2400.小张比小王至少早 5 分钟到校表示的事件 A( x， y)|y x5, 30 x50， 30 y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为 1515 ，所以小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为12 2252P(A) .2252400 9327
