1、1第 35 讲 空间点 直线 平面之间的位置关系 1.在下列命题中,不是公理的是 ( )A.平行于同一个平面的两个平面互相平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线2. 是一个平面, m,n 是两条直线, A 是一个点,若 m ,n ,且 A m,A ,则 m,n 不可能 ( )A.垂直 B.相交C.异面 D.平行3.2018泸州一诊 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,与 BA1异面的棱的条数为 ( )A.4 B.5C.6 D.74.2
2、018云南保山普通高中检测 在四棱锥 P-ABCD 中, PA平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA= ,E 为 PC 的中点,则异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为 ( )5A. B. C. D.1310 155 1339 15395.在正四棱锥 V-ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 6.l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是 ( )A.若 l1 l2,l2 l3,则 l1 l3B.若 l1 l2,l2 l3,则 l1 l3C.若 l1 l2 l3,则 l1,l2,
3、l3共面D.若 l1,l2,l3共点,则 l1,l2,l3共面7.若空间中四条不同的直线 l1,l2,l3,l4满足 l1 l2,l2 l3,l3 l4,则下列结论一定正确的是 ( )A.l1 l4B.l1 l4C.l1与 l4既不垂直也不平行D.l1与 l4的位置关系不确定8.2018南京联考 在如图 K35-1 所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别是棱 B1B,AD 的中点,则异面直线 BF 与 D1E 所成角的余弦值为 ( )图 K35-1A. B. C. D.147 57 105 2559.如图 K35-2 所示,在四面体 DABC 中, E,F,G,H 分别为
4、AD,AB,CD,BC 上的点,若直线 EF 和 GH2相交,则它们的交点一定 ( )A.在直线 DB 上 B.在直线 AB 上C.在直线 CB 上 D.以上都不对图 K35-2图 K35-310.已知四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 去截此四棱锥(如图 K35-3),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 ( )A.不存在 B.只有 1 个C.恰有 4 个 D.有无数多个11.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, ,a,且长为 a 的棱与长为 的棱异面,则 a2 2的取值范围是 ( )A.(0, ) B.(0, )2 3C.(1, ) D.(1, )2 312.2
5、018四川广安、眉山诊断 如图 K35-4 表示正方体表面的一种展开图,则其中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面直线且所成角为 60的有 对 . 图 K35-413.如图 K35-5 所示,在三棱锥 P-ABC 中, PA底面 ABC,D 是 PC 的中点,已知 BAC= ,AB=2,AC=2 ,PA=2.求: 2 3(1)三棱锥 P-ABC 的体积;(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 .图 K35-5314.如图 K35-6,四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形, BAD= FAB=90,BC AD,BC= AD,BE FA,BE= FA,G,
6、H 分别是 FA,FD 的中点 .12 12(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;(2)证明: C,D,F,E 四点共面 .图 K35-615.2018太原模拟 如图 K35-7 是正四面体的平面展开图, G,H,M,N 分别是 DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,给出下列结论: DE 与 MN 平行; BD 与 MN 为异面直线; GH 与MN 成 60角; DE 与 MN 垂直 .其中正确结论的个数是 ( )图 K35-7A.1 B.2 C.3 D.416.若两条异面直线所成的角为 60,则称这对异面直线为“黄金异面直线对” .在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直
7、线对”共有 对 . 4课时作业(三十五)1.A 解析 选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的,故选 A.2.D 解析 对于 A,当 m 时,因为 n ,所以 m n;对于 B,当 A n 时, m n=A;对于 C,若 An,则由异面直线的定义知 m,n 异面;对于 D,若 m n,则由于 m ,n ,所以 m ,这与 m =A 矛盾,所以 m,n 不可能平行 .故选 D.3.C 解析 如图,与直线 BA1是异面直线的有直线 DC,DA,D1C1,DD1,CC1,B1C1,共 6 条 .故选C.4.C 解析 如图所示,延长 AD 到 H,使 AD=DH,过 P
8、 作 PG AH,PG=AH,F 为 PG 的中点,连接FD,GH,BF,FH,BH,则 BFH 为异面直线 BE 与 PD 所成的角或其补角 .在 BFH 中,由余弦定理得 cos BFH= = ,故选 C.13+9-202133 13395. 解析 如图所示,设 AC BD=O,连接 VO.因为四棱锥 V-ABCD 是正四棱锥,所以 VO平 2面 ABCD,故 BD VO.又四边形 ABCD 是正方形,所以 BD AC,所以 BD平面 VAC,所以 BD VA,即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 26.B 解析 在 A 中, l1 l2,l2 l3,l1与 l3可能平行,也可能
9、相交或异面 .在 B 中, l1 l2,l2 l3,则 l1 l3.在 C 中, l1 l2 l3时,三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱不共面 .在 D 中,共点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱不共面 .故选 B.7.D 解析 构造如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1,取 l1为 AD,l2为 AA1,l3为 A1B1.当取 l4为 B1C1时, l1 l4;当取 l4为 BB1时, l1 l4.故排除 A,B,C,故选 D.8.D 解析 如图,过 E 点作 EM AB,过 M 点作 MN AD,取 MN 的中点 G,连接 GE,GD1.易知EG BF,则异面直线 B
10、F 与 D1E 所成的角即为 D1EG.不妨设正方体的棱长为 2,则GE= ,D1G= ,D1E=3.在 D1GE 中,由余弦定理得 cos D1EG= = ,故选 D.5 29+5-223525559.A 解析 直线 EF 和 GH 相交,设交点为 M,EF 平面 ABD,HG平面 CBD,M 平面 ABD,且 M平面 CBD,又 平面 ABD平面 BCD=BD,M BD,EF 与 HG 的交点在直线 BD 上 .故选 A.10.D 解析 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线分别为 m,n,直线 m,n 确定了一个平面 ,作与 平行的平面 ,与四棱锥的各个侧面相交,则截得的四边形必为平行四边形,
11、而这样的平面 有无数多个 .11.A 解析 如图所示的四面体 ABCD 中,设 AB=a,则由题意可得 CD= ,其他棱的长都为21,故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直角三角形 .取 CD 的中点 E,连接AE,BE,则 AE CD,BE CD 且 AE=BE= = ,显然 A,B,E 三点能构成三角形,应满12-(22) 2 22足任意两边之和大于第三边,可得 + a, 0a .故选 A.22 22 212.3 解析 观察平面图形翻折前后相对位置的变化,可知 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,且所成角为 60,而 AB 与 EF 相交
12、, CD 与 GH 相交, CD 与 EF 平行,故四条线段AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面直线且所成角为 60的有 3 对 .13.解:(1) = 22 =2 ,S ABC12 3 3故三棱锥 P-ABC 的体积V= PA= 2 2= .13 S ABC 13 3 433(2)如图所示,取 PB 的中点 E,连接 DE,AE,则 DE BC,所以 ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角 .6在 ADE 中, DE=2,AE= ,AD=2,2则 cos ADE= = = ,DE2+AD2-AE22DEAD 22+22-222234即异面直线 BC 与 AD 所成角的
13、余弦值为 .3414.证明:(1)因为 G,H 分别是 FA,FD 的中点,所以 GH AD,GH= AD,12又因为 BC AD,BC= AD,所以 BC GH,BC=GH,12所以四边形 BCHG 是平行四边形 .(2)因为 BE FA,BE= FA,G 为 FA 的中点,12所以 BE FG,BE=FG,所以四边形 BGFE 是平行四边形,所以 BG EF.又由四边形 BCHG 是平行四边形,可得 BG CH,所以 EF CH,所以 C,H,F,E 四点共面 .又 D FH,FH平面 CHFE,所以 D平面 CHFE,所以 C,D,F,E 四点共面 .15.C 解析 将正四面体的平面展开
14、图复原为正四面体 A(B,C)-DEF,如图所示 .对于 ,M,N 分别为 EF,AE 的中点,则 MN AF,而 DE 与 AF 异面,故 DE 与 MN 不平行,故 错误;对于 ,易知 BD 与 MN 为异面直线,故 正确;对于 ,依题意知 GH AD,MN AF, DAF=60,故 GH 与 MN 成 60角,故 正确;对于 ,连接 GF,则 A 点在平面 DEF 上的射影 A1在 GF 上, DE 平面 AA1F,DE AF,而 AF MN,DE 与 MN 垂直,故 正确 .综上所述,正确结论的序号是 .故选 C.16.24 解析 正方体如图所示,若要出现所成角为 60的异面直线,则其中一条直线为面对角线,以 AC 为例,与之构成“黄金异面直线对”的直线有 4 条,分别是 AB,BC,AD,CD,正方体的面对角线有 12 条,所以“黄金异面直线对”共有 =24(对)(每一对被计算两次,所1242以要除以 2).7
