1、- 1 -课后限时集训(五十二) 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题(建议用时：60 分钟)1(2018北京高考)已知抛物线 C： y22 px 经过点 P(1,2)，过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线C 有两个不同的交点 A， B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点， ， ，求证： 为定值QM QO QN QO 1 1解 (1)因为抛物线 y22 px 过点(1,2)，所以 2p4，即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24 x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 y kx1
2、( k0)由Error!得 k2x2(2 k4) x10.依题意 (2 k4) 24 k210，解得 k0 或 0 k1.又 PA， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2)从而 k3.所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由(1)知 x1 x2 ， x1x2 .2k 4k2 1k2直线 PA 的方程为 y2 (x1)y1 2x1 1令 x0，得点 M 的纵坐标为 yM 2 2. y1 2x1 1 kx1 1x1 1同理得点 N 的纵坐标为 yN 2. kx2 1x2 1由 ， ，得 1 yM， 1 yN.Q
3、M QO QN QO 所以 1 1 11 yM 11 yN x1 1 k 1 x1 x2 1 k 1 x2 1k 1 2x1x2 x1 x2x1x2 2.1k 12k2 2k 4k21k2所以 为定值1 1- 2 -2已知椭圆 Q： y21( a1)， F1， F2分别是其左、右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与x2a2椭圆 Q 有且仅有两个交点(1)求椭圆 Q 的方程；(2)设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，求| AB|的最小值14， 0)解 (1)由题意可知 c b1，则 a .2故
4、椭圆的方程为 y21.x22(2)设直线 l 方程为 y k(x1)( k0)，代入 y21，x22得(12 k2)x24 k2x2 k220.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 中点 N(x0， y0)， x1 x2 ， x1x2 .4k21 2k2 2k2 21 2k2 x0 (x1 x2) ， y0 k(x01) .12 2k21 2k2 k1 2k2 AB 的垂直平分线方程为 y y0 (x x0)1k令 y0，得 xP x0 ky0 ，12 14k2 2 xP ，14， 0) 0.14 12 14k2 20 k2 .12|AB| |x2 x1|1 k2 1 k216
5、k4 4 2k2 1 2k2 22k2 12 ，212 12 2k2 1 322|AB|的最小值| AB|min .3223已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(1,0)， F2(1,0)，且经过点 E .(3，32)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 ，且AF1 F1B 2 3，求直线 l 的斜率 k 的取值范围- 3 -解 (1)根据题意，设椭圆 C 的标准方程为 1( a b0)，则Error!x2a2 y2b2解得Error!所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)根据题意可设直线 l 的方程为
6、 y k(x1)( k0)，联立方程，得Error!消去 x，得 y2 y90，(3k2 4) 6k 1440.144k2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ，6k3 4k2y1y2 ， 9k23 4k2又 ，所以 y1 y 2 .AF1 F1B 把代入得 y1 ， y2 ，并结合可得 y1y2 6 k 1 3 4k2 6k 1 3 4k2 ，则 ，即 2 . 6k 2 1 2 3 4k2 2 9k23 4k2 1 2 43 4k2 1 43 4k2因为 2 3，所以 2 ，12 1 43即 ，且 k0，解得 0 k .12 43 4k2 43 52故直线 l 的斜率
7、 k 的取值范围是 .(0，524(2019四川模拟)设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心，半径为 4 的圆与 l 交于 A， B 两点， E 是该圆与抛物线 C 的一个交点， EAB90.(1)求 p 的值；(2)已知点 P 的纵坐标为1 且在抛物线 C 上， Q， R 是抛物线 C 上异于点 P 的另两点，且满足直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为1，试问直线 QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解 (1)由题意及抛物线定义，得| AF| EF| AE|4， AEF 为边长为 4 的正三角形，设准线 l 与 x 轴交于点
8、 D，| AD| p |AE| 42.12 12(2)设直线 QR 的方程为 x my t，点 Q(x1， y1)， R(x2， y2)由Error!得 y24 my4 t0，则 16 m216 t0， y1 y24 m， y1y24 t.又点 P 在抛物线 C 上，则 kPQ ，同理可得 kPR .yP y1xP x1 yP y1y2P4 y214 4yP y1 4y1 1 4y2 1- 4 -因为 kPQ kPR1，所以 1，4y1 1 4y2 1 4 y1 y2 8y1y2 y1 y2 1 16m 8 4t 4m 1解得 t3 m .74由Error!解得 m (1，)( ， 72) (12， 1)所以直线 QR 的方程为 x m(y3) ，74则直线 QR 过定点 .(74， 3)
