1、- 1 -课后限时集训(四十六) 直线与圆、圆与圆的位置关系(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标一、选择题1(2019唐山模拟)直线 4x3 y0 与圆( x1) 2( y3) 210 相交所得的弦长为( )A6 B3C6 D32 2A 假设直线 4x3 y0 与圆( x1) 2( y3) 210 相交所得的弦为 AB圆的半径r ，圆心到直线的距离 d 1，弦长105 3 2 42|AB|2 2 23 6.故选 A.r2 d2 10 12圆 C1： x2 y22 x2 y20 与圆 C2： x2 y24 x2 y10 的公切线有且仅有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条B 易得 C1
2、：( x1) 2( y1) 24， C2：( x2) 2( y1) 24.圆心距 d| C1C2| .0 d4，圆 C1与 C2相交，故两圆有 2 条公切线 2 1 2 1 1 2 133圆 C： x2 y2 ax20 与直线 l 相切于点 A(3,1)，则直线 l 的方程为( )A2 x y50 B x2 y10C x y20 D x y40D 由已知条件可得 321 23 a20，解得 a4，此时圆 x2 y24 x20 的圆心为 C(2,0)，半径为 ，所以 kAC1，则直线 l 的方程为 y1 x3，即 x y40.24(2019湘东五校联考)圆( x3) 2( y3) 29 上到直线
3、 3x4 y110 的距离等于2 的点有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个B 圆( x3) 2( y3) 29 的圆心为(3,3)，半径为 3，圆心到直线 3x4 y110 的距离 d 2，圆上到直线 3x4 y110 的距离为 2 的点有 2|33 43 11|32 42个故选 B5(2019福州模拟)过点 P(1，2)作圆 C：( x1) 2 y21 的两条切线，切点分别为A， B，则 AB 所在直线的方程为( )A y B y34 12C y D y32 14- 2 -B 圆( x1) 2 y21 的圆心为(1,0)，半径为 1，以|PC| 2 为直径的圆的方程为( x1) 2(
4、 y1) 21， 1 1 2 2 0 2将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即 y .12二、填空题6若 P(2，1)为圆( x1) 2 y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是_x y30 记题中圆的圆心为 O，则 O(1,0)，因为 P(2，1)是弦 AB 的中点，所以直线 AB 与直线 OP 垂直，易知直线 OP 的斜率为1，所以直线 AB 的斜率为 1，故直线 AB 的方程为 x y30.7(2016全国卷)设直线 y x2 a 与圆 C： x2 y22 ay20 相交于 A， B 两点，若| AB|2 ，则圆 C 的面积为 _34 圆 C： x2 y22
5、 ay20 化为标准方程是 C： x2( y a)2 a22，所以圆心 C(0， a)，半径 r .|AB|2 ，点 C 到直线 y x2 a 即 x y2 a0a2 2 3的距离 d ，由勾股定理得 2 2 a22，解得 a22，|0 a 2a|2 (232) (|0 a 2a|2 )所以 r2，所以圆 C 的面积为 2 24.8点 P 在圆 C1： x2 y28 x4 y110 上，点 Q 在圆 C2： x2 y24 x2 y10 上，则| PQ|的最小值是_3 5 把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式，得5(x4) 2( y2) 29，( x2) 2( y1) 24.圆 C1的圆心坐
6、标是(4,2)，半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是(2，1)，半径是 2.圆心距 d 3 5.故圆 C1与圆 C2相离，所以| PQ|的最小值 4 2 2 2 1 2 5是 3 5.5三、解答题9已知圆 C 经过点 A(2，1)，和直线 x y1 相切，且圆心在直线 y2 x 上(1)求圆 C 的方程； (2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程解 (1)设圆心的坐标为 C(a，2 a)，则 . a 2 2 2a 1 2|a 2a 1|2化简，得 a22 a10，解得 a1.所以 C 点坐标为(1，2)，半径 r| AC| . 1 2 2 2 1 2 2故
7、圆 C 的方程为( x1) 2( y2) 22.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长- 3 -为 2，满足条件当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx，由题意得 1，解得 k ，|k 2|1 k2 34则直线 l 的方程为 y x.34综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4 y0.10圆 O1的方程为 x2( y1) 24，圆 O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆 O1与圆 O2外切，求圆 O2的方程；(2)若圆 O1与圆 O2相交于 A， B 两点，且| AB|2 ，求圆 O2的方程2解 (1)因为圆 O1的方
8、程为 x2( y1) 24，所以圆心 O1(0，1)，半径 r12.设圆 O2的半径为 r2，由两圆外切知| O1O2| r1 r2.又| O1O2| 2 ， 2 0 2 1 1 2 2所以 r2| O1O2| r12 2.2所以圆 O2的方程为( x2) 2( y1) 2128 .2(2)设圆 O2的方程为( x2) 2( y1) 2 r ，2又圆 O1的方程为 x2( y1) 24，相减得 AB 所在的直线方程为 4x4 y r 80.2设线段 AB 的中点为 H，因为 r12，所以| O1H| .r21 |AH|2 2又| O1H| ，|40 4 1 r2 8|42 42 |r2 12|
9、42所以 ，解得 r 4 或 r 20.|r2 12|42 2 2 2所以圆 O2的方程为( x2) 2( y1) 24 或( x2) 2( y1) 220.B 组 能力提升1一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆( x3) 2( y2) 21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A 或 B 或53 35 32 23C 或 D 或 54 45 43 34D 圆( x3) 2( y2) 21 的圆心为(3,2)，半径 r1.作出点(2，3)关于 y 轴的对称点(2，3)由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，3)设反射光线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y(3) k
10、(x2)，即 kx y2 k30.由反- 4 -射光线与圆相切可得 1，即|5 k5| ，整理得|k 3 2 2k 3|1 k2 1 k212k225 k120，即(3 k4)(4 k3)0，解得 k 或 k .故选 D43 342在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上若圆 C 上存在点 M，使 MA2 MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围是( )A. B0,10，125C. D1，125 (0， 125)A 因为圆心在直线 y2 x4 上，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2( a2) 21，设点 M(x， y
11、)，因为 MA2 MO，所以 2 ，x2 y 3 2 x2 y2化简得 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x， y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21| CD|21，即1 3.a2 2a 3 2由 1 得 5a212 a80，解得 aR；由 3 得a2 2a 3 2 a2 2a 3 25a212 a0，解得 0 a .125所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 .故选 A.0，1253(2019唐山模拟)已知直线 l： kx y k20 与圆 C： x2 y22 y70 相交于A， B 两
12、点，则| AB|的最小值为_2 kx y k20.化为 y2 k(x1)，直线过定点 E(1,2)，又 E(1,2)在圆6x2 y22 y70 内，所以，当 E 是 AB 中点时，| AB|最小，由 x2 y22 y70 得 x2( y1) 28，圆心 C(0,1)，半径2 ， |AB|2 2 2 .2 8 |EC|2 8 2 64(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为(0,1)当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由；(2)证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定
13、值解 (1)不能出现 AC BC 的情况理由如下：设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx20，所以 x1x22.又点 C 的坐标为(0,1)，- 5 -故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ， 1x1 1x2 12所以不能出现 AC BC 的情况(2)证明： BC 的中点坐标为 ，可得 BC 的中垂线方程为 y x2 .(x22， 12) 12 (x x22)由(1)可得 x1 x2 m，所以 AB 的中垂线方程为 x .m2联立Error!又 x mx220，可得Error!2所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 ，半径 r .(m2， 12) m2 92故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 3，即过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦r2 (m2)2长为定值
