1、1阶段训练二(范围：2.12.2)一、选择题1椭圆 1 与 1(0b0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为 ，过 F2的直线 l 交x2a2 y2b2 23C 于 A， B 两点若 AF1B 的周长为 12，则 C 的方程为( )A. y21 B. 1x23 x23 y22C. 1 D. 1x29 y24 x29 y25考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 D解析 由椭圆定义易知 AF1B 的周长为 4a12，解得 a3. e ， c2，ca 23 b2 a2 c25，故椭圆 C 的方程为 1.x29 y255设 F1， F2为椭圆 y21 的左、右焦点，过椭圆中心
2、任作一直线与椭圆交于 P， Q 两x24点，当四边形 PF1QF2的面积最大时， 的值等于( )PF1 PF2 A0B2C4D2答案 D解析 根据题意可知，当 P， Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形 PF1QF2的面积最大此时，F1( ，0)， F2( ，0)， P(0,1)，3 3 ( ，1)， ( ，1)，PF1 3 PF2 3 2.PF1 PF2 6已知椭圆 mx2 ny21( m0， n0)与直线 x y10 交于 A， B 两点，若 ，则过原nm 2点与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为( )A. B. C. D2212 22考点 题点 答案 C解析 设 A(x1， y1)， B(
3、x2， y2)，3则 mx ny 1，21 21mx ny 1，2 2得 m(x1 x2)(x1 x2) n(y1 y2)(y1 y2)0， 1， ，y1 y2x1 x2 nm 2 ，y1 y2x1 x2 22则过原点与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为 .227已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别是 F1， F2，焦距为 2c，若直线x2a2 y2b2y (x c)与椭圆交于 M 点，且满足 MF1F22 MF2F1，则椭圆的离心率是( )3A. B. 1C. D.22 3 3 12 32考点 椭圆的离心率问题题点 由 a 与 c 的关系式得离心率答案 B解析 由已知得 MF1F260
4、.又 MF1F22 MF2F1，所以 MF2F130， MF1 MF2，所以| MF1| c，| MF2| c，3所以| MF1| MF2| c c2 a，3即 e 1.ca 21 3 38已知 A， B 是椭圆 1( ab0)长轴的两个端点， M， N 是椭圆上关于 x 轴对称的两x2a2 y2b2点，直线 AM， BN 的斜率分别为 k1， k2(k1k20)，若椭圆的离心率为 ，则| k1| k2|的最32小值为( )A1B. C. D.232 3考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 A解析 设 M(x， y)， N(x， y)( ab0)中， F1， F
5、2分别为其左、右焦点， M 为椭圆上一点且 MF2 x 轴，x2a2 y2b2设 P 是椭圆上任意一点，若 PF1F2面积的最大值是 OMF2面积的 3 倍( O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率 e_.考点 椭圆的离心率问题题点 由 a 与 c 的关系式得离心率答案 53解析 由题意，可得 M 或 M .(c，b2a) (c， b2a) PF1F2面积的最大值是 OMF2面积的 3 倍，此时 P 点位于上顶点或下顶点， 2cb3 c ，12 12 b2a b a， c a，23 a2 b2 53 e .ca 53511在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，直线
6、y x 被椭x2a2 y2b2 32圆 C 截得的线段长为 ，则椭圆 C 的短轴长为_4105考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程答案 2解析 由题意知 ，a2 b2a 32可得 a24 b2.椭圆 C 的方程可简化为 x24 y2 a2.将 y x 代入可得 x ，5a5因此 ，可得 a2.225a5 4105因此 b1，椭圆的短轴长为 2.三、解答题12.如图，已知椭圆 1( ab0)， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆的上顶x2a2 y2b2点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若 F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且 2
7、 ，求椭圆的方程AF2 F2B 考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程解 (1)由 F1AB90及椭圆的对称性知 b c，则 e .ca c2a2 c2b2 c2 22(2)由已知 a2 b21， A(0， b)，设 B(x， y)，则 (1， b)， ( x1， y)，AF2 F2B 由 2 ，即(1， b)2( x1， y)，AF2 F2B 6解得 x ， y ，则 1，32 b2 94a2 b24b2得 a23，因此 b22，椭圆的方程为 1.x23 y2213.如图所示，椭圆 C 的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为F1， F2，线段
8、 OF1， OF2的中点分别为 B1， B2，且 AB1B2是面积为 4 的直角三角形(1)求椭圆 C 的离心率和标准方程；(2)过 B1作直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，使 PB2 QB2，求直线 l 的方程考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 (1)由对称关系可知| AB1| AB2|， AB1B2是面积为 4 的直角三角形，| AB1| AB2|2 ，2| OB1| OA|2， A(0,2)， F2(4,0)，设椭圆方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2则 c 4， b2， a2 .a2 b2 5椭圆的标准方程为 1，x220 y24离心率 e .ca 255(2
9、)由(1)知， B1(2,0)， B2(2,0)，显然 PQ 的斜率不为 0.设直线 PQ 的方程为 x my2，代入椭圆方程，消元可得(m25) y24 my160， 0 显然成立设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， y1 y2 ， y1y2 ，4mm2 5 16m2 5 x1x2( my12)( my22) 7 m2y1y22 m(y1 y2)4 ， 20m2 20m2 5x1 x2 my1 my24 m(y1 y2)4 . 20m2 5 ( x12， y1)， ( x22， y2)，B2P B2Q ( x12)( x22) y1y2B2P B2Q x1x22( x1 x2)4
10、y1y2 .16m2 64m2 5 PB2 QB2， 0，即 0，B2P B2Q 16m2 64m2 5得 m2，直线 PQ 的方程为 x2 y20 或 x2 y20.14已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆 C 上，线段x2a2 y2b2PF2与圆： x2 y2 b2相切于点 Q，若 Q 是线段 PF2的中点， e 为 C 的离心率，则 的最a2 e23b小值是_考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 53解析 如图，连接 PF1， OQ，由 OQ 为 PF1F2的中位线，可得 OQ PF1，| OQ| |PF1|.12
11、由圆 x2 y2 b2，可得| OQ| b，则| PF1|2 b.由椭圆的定义可得| PF1| PF2|2 a，8即| PF2|2 a2 b.又 OQ PF2，所以 PF1 PF2，即(2 b)2(2 a2 b)2(2 c)2，即 b2 a22 ab b2 c2 a2 b2，化简得 2a3 b，即 b a.23 c a，则 e .a2 b253 ca 53 2 ，a2 e23b a2 592a 12(a 59a) 12 a59a 53当且仅当 a ，即 a 时等号成立，59a 53 的最小值为 .a2 e23b 5315.如图所示，已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F(1,0)，过点
12、F 作 x 轴的垂线x2a2 y2b2交椭圆于 A， B 两点，且| AB|3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 M， N 为椭圆上异于点 A， B 的两点，且直线 AM， AN 的倾斜角互补，问直线 MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)由题意可知椭圆的半焦距 c1，将 x c 代入椭圆方程可得 y ，b2a所以 3，2b2a又 a2 b21，两式联立解得 a24， b23，所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)易知 A .( 1，32)因为直线 AM， AN 的倾斜角互补，
13、9所以直线 AM 的斜率与 AN 的斜率互为相反数可设直线 AM 的方程为 y k(x1) ，32代入 1，x24 y23消去 y 得(34 k2)x24 k(32 k)x4 k212 k30.设 M(xM， yM)， N(xN， yN)，所以1 xM ，4k2 12k 33 4k2可得 xM ， yM kxM k ，4k2 12k 33 4k2 32又直线 AM 的斜率与 AN 的斜率互为相反数，所以在上式中以 k 代替 k，可得 xN ， yN kxN k ，4k2 12k 33 4k2 32所以直线 MN 的斜率 kMN ，yM yNxM xN k xM xN 2kxM xN 12即直线 MN 的斜率为定值，该定值为 .1210
