1、1第二章 圆锥曲线与方程章末复习学习目标 1.梳理本章知识要点,构建知识网络.2.进一步理解并掌握圆锥曲线的定义、标准方程及简单性质.3.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的集合平面内到两定点F1, F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于| F1F2|)的点的集合平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l 不过点 F)距离相等的点的集合标准方程 1x2a2 y2b2或 1( ab0)y2a2 x2b2 1x2a2 y2b2或 1( a0
2、, b0)y2a2 x2b2y22 px 或 y22 px或 x22 py或 x22 py(p0)关系式 a2 b2 c2 a2 b2 c2图形 封闭图形无限延展,但有渐近线 y x 或 y xba ab 无限延展,没有渐近 线变量范围|x| a,| y| b 或|y| a,| x| b|x| a 或| y| ax0 或 x0 或 y0或 y0对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个离心率 e ,ca且 01cae1决定形状的因素e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小2.椭圆的焦点三角形2设 P 为椭圆 1( ab0)上任意一点(不在 x 轴
3、上), F1, F2为焦点且 F1PF2 ,则x2a2 y2b2PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积 S b2tan . 2(2)焦点三角形的周长 L2 a2 c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用的办法是:把标准方程中的 1 换成0,即可得到两条渐近线的方程如双曲线 1( a0, b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 0( a0, b0),即 y x;双曲线 1( a0, b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 0( a0, b0),y2a2 x2b2即 y x.ab(2)当双曲线的渐近线为 0 时,它的双
4、曲线方程可设为 ( 0)xa yb x2a2 y2b24抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点 F 的弦长| AB|的一个重要结论(1)y22 px(p0)中,| AB| x1 x2 p.(2)y22 px(p0)中,| AB| x1 x2 p.(3)x22 py(p0)中,| AB| y1 y2 p.(4)x22 py(p0)中,| AB| y1 y2 p.5三法求解离心率(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上,都有关系式 a2 b2 c2(a2 b2 c2)以及 e ,已知其中的任意两个参数,可以求其他ca的参数,这是基本且常用的方法(2)
5、方程法:建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、简单性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更3形象、直观6直线与圆锥曲线位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况:一是相切;二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方
6、法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等1设 A, B 为两个定点, k 为非零常数,| PA| PB| k,则动点 P 的轨迹为双曲线( )2若直线与曲线有一个公共点,则直线与曲线相切( )3抛物线 y4 ax2(a0)的焦点坐标是 .( )(0,116a)题型一 圆锥曲线定义的应用例 1 设 F1, F2为曲线 C1: 1 的焦点, P 是曲线 C2: y21 与 C1的一个交点,x26 y22 x23求 cos F1PF2的值考点 圆锥曲线定义的应用题点 圆锥曲线定义的应用解 曲线 C1: 1 与曲线 C2: y21 的焦点重合,两曲线共有四个交点,x26 y22 x
7、23不妨设 P 为第一象限的交点,则| PF1| PF2|2 ,6|PF1| PF2|2 ,3解得| PF1| ,| PF2| ,6 3 6 3又| F1F2|4,在 F1PF2中,由余弦定理可求得cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| . 6 3 2 6 3 2 422 6 3 6 3 13反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题,常用定义来解决(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,常用定义解决问题(3)求轨迹问题、最值问题,曲线方程也常常结合定义求解4跟踪训练 1 (1)(2018江西师大附中模拟)设 F1,
8、 F2分别是椭圆 E: x2 1(00)上有 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)三点, F 是它的焦点,若|AF|,| BF|,| CF|成等差数列,则( )A x1, x2, x3成等差数列 B y1, y2, y3成等差数列C x1, x3, x2成等差数列 D y1, y3, y2成等差数列考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的其他应用答案 A解析 如图,过 A, B, C 分别作准线的垂线,垂足分别为 A, B, C,由抛物线定义知,|AF| AA|,| BF| BB|,| CF| CC|.2| BF| AF| CF|,2| BB| AA| CC|.又| AA
9、| x1 ,| BB| x2 ,| CC| x3 ,p2 p2 p252 x1 x3 ,即 2x2 x1 x3.(x2p2) p2 p2题型二 圆锥曲线的性质及其应用例 2 (1)已知 ab0,椭圆 C1的方程为 1,双曲线 C2的方程为 1, C1与 C2x2a2 y2b2 x2a2 y2b2的离心率之积为 ,则 C2的渐近线方程为( )32A x y0 B. xy02 2C x2y0 D2 xy0考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题答案 A解析 ab0,椭圆 C1的方程为 1,x2a2 y2b2C1的离心率为 ,a2 b2a双曲线 C2的方程为 1, C2的离心率为 .x2a2
10、 y2b2 a2 b2a C1与 C2的离心率之积为 ,32 , 2 , ,a2 b2a a2 b2a 32 (ba) 12 ba 22 C2的渐近线方程为 y x,即 x y0.22 2(2)已知抛物线 y24 x 的准线与双曲线 y21 交于 A, B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若x2a2 FAB 为直角三角形,则该双曲线的离心率是_考点 圆锥曲线的综合问题题点 圆锥曲线的综合问题答案 6解析 抛物线 y24 x 的准线方程为 x1,又 FAB 为直角三角形,则只有 AFB90,如图,则 A(1,2)应在双曲线上,代入双曲线方程可得 a2 ,156于是 c .a2 165故 e .ca
11、 6反思感悟 求解离心率的方法(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2 b2 c2(a2 b2 c2)以及 e ,已知其中的任意两个参数,可以求其他的ca参数,这是基本且常用的方法;(2)方程法:建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法跟踪训练 2 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 1( ab0)的右焦点,直x2a2 y2b2线 y 与椭圆交于 B, C 两点,且 BFC90,则该椭圆的离心率是_b2考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案
12、 63解析 由Error!可得 B , C .(32a, b2) (32a, b2)又由 F(c,0),得 ,FB ( 32a c, b2) .FC (32a c, b2)因为 BFC90,所以 0,FB FC 化简可得 2a23 c2,即 e2 ,c2a2 237故 e .63(2)已知抛物线 x28 y 的焦点 F 到双曲线 C: 1( a0, b0)的渐近线的距离为 ,x2a2 y2b2 455点 P 是抛物线 x28 y 上的一动点, P 到双曲线 C 的右焦点 F2的距离与到直线 y2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的标准方程为_考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合
13、的有关问题答案 y21x24解析 抛物线焦点为 F(0,2),准线为 y2,双曲线 C: 1( a0, b0)的一条渐近线方程为 y x,x2a2 y2b2 ba依题意可得 ,| 2a|a2 b2 455即 ,ac 25又 P 到双曲线 C 的右焦点 F2的距离与到直线 y2 的距离之和的最小值为 3,所以| PF| PF2| FF2|3,在 Rt FOF2中,| OF2| ,32 22 5所以 c ,所以 a2, b1,5所以双曲线方程为 y21.x24题型三 直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆 C: 1( ab0)的右焦点为( ,0),离心率为 .x2a2 y2b2 2 63(1)求
14、椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆经过原点 O,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值;(3)在(2)的条件下,求 OAB 面积的最大值考点 转化与化归思想的应用题点 转化与化归思想的应用(1)解 因为椭圆的右焦点为( ,0),离心率为 ,263所以Error! 所以 a , b1.3所以椭圆 C 的方程为 y21.x238(2)证明 设 A(x1, y1), B(x2, y2),当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y kx m,代入椭圆方程,消元可得(13 k2)x26 kmx3 m230, 36 k2m24(13
15、 k2)(3m23)0,所以 x1 x2 , x1x2 ,6km1 3k2 3m2 31 3k2因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,所以 0.OA OB 所以 x1x2 y1y20,即(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m20,所以(1 k2) km m20,3m2 31 3k2 6km1 3k2所以 4m23( k21),所以原点 O 到直线的距离为 d .|m|k2 1 32当直线 AB 斜率不存在时,由椭圆的对称性可知 x1 x2, y1 y2,因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,所以 0,所以 x1x2 y1y20,OA OB 所以 x y 0,21 21因为 x 3 y 3
16、,所以| x1| y1| ,21 2132所以原点 O 到直线的距离为 d| x1| ,32综上,点 O 到直线 AB 的距离为定值(3)解 当直线 AB 的斜率存在时,由弦长公式可得|AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 36k2 12m2 12 1 3k2 2 2,3 129k2 1k2 63 126 29k21k2当且仅当 k 时,等号成立,33所以| AB|2.9当直线 AB 斜率不存在时,| AB| y1 y2| 0 B00,即 3k2 m210.设 P(x1, y1), Q(x2, y2),线段 PQ 的中点 N(x0, y0),则Error!| AP| AQ|, PQ AN.
17、设 kAN表示直线 AN 的斜率,又 k0, kANk1.即 k1, 1 m1 3k23km1 3k2得 3k22 m1.3 k20, m .12将代入得 2m1 m210,即 m22 m0 恒成立设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有 y1 y28 m,由 8m4,得 m .12所以直线 l 的方程为 2x y20.(2)假设 C, D 两点存在,则可设 lCD: y x n,与抛物线 y28 x 联立,12消去 y 得 x2( n8) x n20,14其中 ( n8) 2 n216 n640,则 n4.(*)又 xC xD4( n8),所以 CD 的中点为(2( n8),8),
18、代入直线 l 的方程,得 n ,不满足(*)式192所以满足题意的 C, D 两点不存在素养评析 (1)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解(2)按照逻辑推理的形式与规则,探索论证结论的存在性,有助于培养学生的合乎逻辑的思想品质和理性精神.1中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )A. 1 B. 1x281 y272 x281 y29C. 1 D. 1x281 y225 x281 y236考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆的标准方程答案 A解析 两焦点恰好将长轴三
19、等分,2 a18,2 c 2a6, c3,1313又 b2 a2 c272,故椭圆的方程为 1.x281 y2722已知双曲线 1( a0, b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦点在抛x2a2 y2b2 3物线 y24 x 的准线上,则双曲线的方程为( )7A. 1 B. 1x221 y228 x228 y221C. 1 D. 1x23 y24 x24 y23考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题答案 D解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x,x2a2 y2b2 ba又渐近线过点(2, ),所以 ,即 2b a,32ba 3 3抛物线 y24 x 的准线方程
20、为 x ,7 7由已知,得 ,即 a2 b27,a2 b2 7联立解得 a24, b23,所求双曲线的方程为 1,故选 D.x24 y233双曲线 1( a0, b0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )x2a2 y2b2A2B. C. D.3 232考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 双曲线 1 的两条渐近线方程为 y x.x2a2 y2b2 ba依题意 1,故 1.ba ( ba) b2a2所以 1,即 e22,所以双曲线的离心率 e .c2 a2a2 24设椭圆 1 (m0, n0)的右焦点与抛物线 y28 x 的焦点相同,离心率为 ,则此x2m2 y
21、2n2 12椭圆的标准方程为_14考点 圆锥曲线的综合应用题点 椭圆与抛物线的综合应用答案 1x216 y212解析 y28 x 的焦点为(2,0), 1 的右焦点为(2,0),x2m2 y2n2 mn 且 c2.又 e , m4.12 2m c2 m2 n24, n212.椭圆方程为 1.x216 y2125抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 1 相交于 A, B 两点,若x23 y23ABF 为等边三角形,则 p_.考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 6解析 如图,在正三角形 ABF 中, DF p, BD p,33所以 B 点坐标为 .(33p, p2)又点 B 在双曲线上,故 1,解得 p6.p233p243在解决圆锥曲线问题时,待定系数法, “设而不求”思想,转化与化归思想是最常用的几种思想方法,设而不求,在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具,很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题15