1、1第 1 课时 均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式知识点一 算术平均值与几何平均值对任意两个正实数 a， b，数 叫做 a， b 的算术平均值，数 叫做 a， b 的几何平均值，a b2 ab两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值知识点二 均值不等式常见推论1均值定理如果 a， bR ，那么 当且仅当 a b 时，等号成立，以上结论通常称为均值定a b2 ab理，又叫均值不等式均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值2常见推论(1)ab 2 (a， bR)；(a
2、b2 ) a2 b22(2) 2( a， b 同号)；ba ab(3)a2 b2 c2 ab bc ca(a， b， cR)1对于任意 a， bR， a2 b22 ab( )2 nN 时， n 2 ( )2n 23 x0 时， x 2( )1x4 a0， b0 时， ( )1a 1b 4a b题型一 常见推论的证明2例 1 证明不等式 a2 b22 ab(a， bR)证明 a2 b22 ab( a b)20， a2 b22 ab引申探究1求证 (a0， b0)a b2 ab证明 方法一 ( )2( )22 ( )20，当且仅当 a b2 ab 12 a b a b 12 a b a，即 a b
3、 时，等号成立b方法二 由例 1 知， a2 b22 ab当 a0， b0 时有( )2( )22 ，a b ab即 a b2 ， aba b2 ab2证明不等式 2 (a， bR)(a b2 ) a2 b22证明 由例 1，得 a2 b22 ab，2( a2 b2) a2 b22 ab，两边同除以 4，即得 2 ，当且仅当 a b 时，取等号(a b2 ) a2 b22反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识(2)不等式 a2 b22 ab 和均值不等式 成立的条件是不同的，前者要求 a， b 都是aba b2实数，后者要求 a， b 都是正数跟踪训练 1 当 a0，
4、 b0 时，求证： .21a 1b ab证明 a0， b0， a b2 0，ab ， 1a b 12ab 2aba b 2ab2ab ab又 ，2aba b 21a 1b (当且仅当 a b 时取等号)21a 1b ab题型二 用均值不等式证明不等式例 2 已知 x， y 都是正数3求证：(1) 2；yx xy(2)(x y)(x2 y2)(x3 y3)8 x3y3.证明 (1) x， y 都是正数， 0， 0，xy yx 2 2，即 2，yx xy yxxy yx xy当且仅当 x y 时，等号成立(2) x， y 都是正数， x y2 0，xyx2 y22 0， x3 y32 0，x2y2
5、 x3y3( x y)(x2 y2)(x3 y3)2 2 2 8 x3y3，xy x2y2 x3y3即( x y)(x2 y2)(x3 y3)8 x3y3，当且仅当 x y 时，等号成立反思感悟 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” (2)注意事项：多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用跟踪训练
6、 2 已知 a， b， c 都是正实数，求证：( a b)(b c)(c a)8 abc.证明 a， b， c 都是正实数， a b2 0， b c2 0， c a2 0，ab bc ca( a b)(b c)(c a)2 2 2 8 abc，ab bc ca即( a b)(b c)(c a)8 abc，当且仅当 a b c 时，等号成立题型三 用均值不等式比较大小例 3 某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x(a， b， x 均大于零)，则( )A x B xa b2 a b2C x D xa b2 a b2答案 B4解析
7、第二年产量为 A Aa A(1 a)，第三年产量为 A(1 a) A(1 a)b A(1 a)(1 b)若平均增长率为 x，则第三年产量为 A(1 x)2依题意有 A(1 x)2 A(1 a)(1 b)， a0， b0， x0，(1 x)2(1 a)(1 b) 2，(1 a) (1 b)2 1 x 1 ，2 a b2 a b2 x (当且仅当 a b 时，等号成立)a b2反思感悟 均值不等式 一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利a b2 ab用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪训练 3 设 a b1， P ， Q ，lgalgblga lgb2Rlg ，则 P， Q， R 的大小
8、关系是( )a b2A R0，a b2 ablg lg (lgalg b)，即 R Qa b2 ab 12综合，有 P b B b aa b2 ab aba b2C b a D ba a b2 ab a b2 ab答案 C解析 0a b， b a b2 ab ba0， aba2， a故 b aaba b2 ab2下列各式中，对任何实数 x 都成立的一个式子是( )Alg( x21)lg(2 x) B x212 xC 1 D x 22xx2 1 1x6答案 C解析 对于 A，当 x0 时，无意义，故 A 不恒成立；对于 B，当 x1 时， x212 x，故 B不成立；对于 D，当 x B 2 ，
9、故 bca d2 b c2 bc4lg9lg11 与 1 的大小关系是( )Alg9lg111 Blg9lg111Clg9lg110，lg 110，lg 9lg 110， b0，给出下列不等式： a21 a； 4；(a1a)(b 1b)( a b) 4； a296 a(1a 1b)其中恒成立的是_(填序号)答案 解析 由于 a21 a 2 0，故恒成立；(a12) 34由于 a 2， b 2， 4，1a 1b (a 1a)(b 1b)当且仅当 a b1 时，等号成立，故恒成立；由于 a b2 ， 2 ，ab1a 1b 1ab7故( a b) 4，当且仅当 a b 时，等号成立，故恒成立；(1a
10、 1b)当 a3 时， a296 a，故不恒成立综上，恒成立的是1两个不等式 a2 b22 ab 与 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取a b2 ab等号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当 a b 时， ；另一方面：当a b2 ab 时，也有 a ba b2 ab2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式一、选择题1 a， bR，则 a2 b2与 2|ab|的大小关系是( )A a2 b22| ab| B a2 b22| ab|C a2 b22| ab| D a2 b22|ab|答案 A解析 a2 b2
11、2| ab|(| a| b|)20， a2 b22| ab|(当且仅当| a| b|时，等号成立)2若 a， bR 且 ab0，则下列不等式中恒成立的是( )A a2 b22ab B a b2 abC D 21a 1b 2ab ba ab答案 D解析 a2 b22 ab( a b)20，A 错误；对于 B，C，当 a0， 2 2，ba ab baab当且仅当 a b 时，等号成立3对于 a0， b0，下列不等式中不正确的是( )A B abab2 1a 1b a2 b228C ab 2 D 2(a b2 ) (a b2 ) a2 b22答案 A解析 当 a0， b0 时，因为 ，所以 ，当且仅
12、当 a b 时等号成立，21a 1b ab 2ab 1a 1b故 A 不正确；显然 B，C，D 均正确4设 f(x)ln x,0pD p rq答案 B解析 因为 0 a b2 ab又因为 f(x)ln x 在(0，)上单调递增，所以 f f( )，即 pa2 b2ab ab 2aba b ab答案 D解析 a b 2 2 ，1ab ab 1ab 2当且仅当 a b 时，等号成立，A 成立；22(a b) 2 2 4，(1a 1b) ab 1ab当且仅当 a b 时，等号成立，B 成立； a2 b22 ab0， 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立，C 成立；a2 b2ab ab9 a b2 ，
13、且 a， b(0，)，ab 1， ，2aba b 2aba b ab当且仅当 a b 时，等号成立，D 不成立6下列说法正确的是( )A若 x k， kZ，则 min4(sin2x4sin2x)B若 a0， b0，则 lgalg b2 lgalgbD若 a0， 04a a 4，4a ( a) ( 4a)当且仅当 a ，即 a2 时，等号成立4a对于 C，若 a(0，1)， b(0，1)，则 lga0， 0，ba ab 2 2，ba ab baab当且仅当 ，即 a b 时，等号成立ba ab二、填空题7设正数 a，使 a2 a20 成立，若 t0，则 logat_loga .(填“” “”12
14、 t 12“”或“”)答案 解析 a2 a20， a1 或 a2(舍)，10 ylog ax 是增函数，又 ，log a log a logatt 12 t t 12 t 128设 a， b 为非零实数，给出不等式： ab； 2； ； 2其中恒成立的不等式是a2 b22 a2 b22 (a b2 ) a b2 aba b ab ba_答案 解析 由重要不等式 a2 b22 ab，可知正确； 2， 可 知 正 确 ；a2 b22 2(a2 b2)4 (a2 b2) (a2 b2)4 a2 b2 2ab4 (a b)24 (a b2 )当 a b 1 时 ， 不 等 式 的 左 边 为 1，右边为
15、 ，可知不正确；当a b2 aba b 12a1， b1 时，可知不正确9已知 a b c，则 与 的大小关系是(a b) (b c)a c2_答案 (a b) (b c)a c2解析 因为 a b c，所以 a b0， b c0，所以 ，当且仅当 a b b c 时，等号成立a c2 (a b) (b c)2 (a b) (b c)10设 a1， mlog a(a21)， nlog a(a1)， plog a(2a)，则 m， n， p 的大小关系是_(用“”连接)答案 m p n解析 a1， a212 a a1，log a(a21)log a(2a)log a(a1)，故 m p n三、解
16、答题11设 a， b， c 都是正数，求证： a b cbca cab abc证明 a， b， c 都是正数， ， ， 也都是正数，bcacab abc 2 c， 2 a， 2 b，bca cab cab abc bca abc三式相加得 2 2( a b c)，(bca cab abc)11即 a b c，bca cab abc当且仅当 a b c 时，等号成立12已知 a0， b0， a b1，求证：(1) 8；(2) 91a 1b 1ab (1 1a)(1 1b)证明 (1) 2 ，1a 1b 1ab 1a 1b a bab (1a 1b) a b1， a0， b0， 2 224，1a
17、1b a ba a bb ab ba 8(当且仅当 a b 时，等号成立)1a 1b 1ab 12(2)方法一 a0， b0， a b1，1 1 2 ，1a a ba ba同理，1 2 ，1b ab (11a)(1 1b) (2 ba)(2 ab)52 549，(ba ab) 9(当且仅当 a b 时，等号成立)(11a)(1 1b) 12方法二 1 (11a)(1 1b) 1a 1b 1ab由(1)知， 8，1a 1b 1ab故 1 9，当且仅当 a b 时，等号成立(11a)(1 1b) 1a 1b 1ab 1213设 02答案 C解析 00，log ba0，(log ab)(log ba)(log ab) 2，(1logab)12当且仅当 ab1 时，等号成立，log ablog ba214设 x， y 为正实数，且 xy( x y)1，则( )A x y2( 1) B xy 12 2C x y( 1) 2 D xy2( 1)2 2答案 A解析 x， y 为正实数，且 xy( x y)1， xy 2， 2( x y)10，解得(x y2 ) (x y2 )x y2( 1)，当且仅当 x y1 时取等号2 213
