1、1第 1 课时 直线的点斜式方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P92P 94，回答下列问题：(1)观察教材图 3.21，直线 l 经过点 P0(x0， y0)，且斜率为 k，设点 P(x， y)是直线l 上不同于点 P0的任意一点，怎样建立 x， y 之间的关系？提示：由斜率公式得 k ，即 y y0 k(x x0)y y0x x0(2)已知直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0， b)，得到的直线 l 的方程是什么？提示：将 k 及点(0， b)代入直线方程的点斜式得： y kx b.2归纳总结，核心必记(1)直线的点斜式方程定义：如图所示，直线 l 过定点
2、P(x0， y0)，斜率为 k，则把方程 y y0 k(x x0)叫做直线 l 的点斜式方程，简称点斜式说明：如图所示，过定点 P(x0， y0)，倾斜角是 90的直线没有点斜式，其方程为x x00，或 x x0.(2)直线的斜截式方程定义：如图所示，直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0， b)，则方程 y kx b叫做直线 l 的斜截式方程，简称斜截式2说明：一条直线与 y 轴的交点(0， b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程问题思考(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程吗？提示：平面直角坐标系下，并不是所有的直线都存在点斜式方程当
3、直线与 x 轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程来表示(2)直线与 y 轴交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概念吗？提示：不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值，可正、可负、可为零课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)直线的点斜式方程是什么？怎样求？；(2)直线的斜截式方程是什么？怎样求？.斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线思考 1 已知某一斜拉索过桥塔上一点 B，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定从一点可引出多条斜拉索3思考 2 若某
4、条斜拉索过点 B(0， b)，斜率为 k，则该斜拉索所在直线上的点 P(x， y)满足什么条件？该直线的方程是什么？提示：满足 k.方程为 y kx b.y bx 0思考 3 怎样理解直线方程的点斜式？名师指津：关于点斜式的几点说明(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点 P(x0， y0)和斜率 k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程 y y0 k(x x0)与方程 k 不是等价的，前者是整条直线，后者表示去y y0x x0掉点 P(x0， y0)的一条直线(3)当 k 取任意实数时，方程 y y0 k(x x0)表示恒过定点( x0， y0)的无数条直线(
5、4)如果直线 l 过点 P0(x0， y0)且平行于 x 轴(或与 x 轴重合)，这时倾斜角为 0，tan 00，即 k0，由点斜式得 y y0，如图甲所示如果直线过点 P0(x0， y0)且与 x 轴垂直，此时它的倾斜角为 90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为 x x0，如图乙所示 讲一讲1求满足下列条件的直线的点斜式方程(1)过点 P(4,3)，斜率 k3；(2)过点 P(3，4)，且与 x 轴平行；(3)过 P(2,3)， Q(5，4)两点尝试解答 (1)直线过点 P(4,3)，斜率 k3，由直线方程的点斜式得直线方程为 y33( x4)(2)与 x 轴平行的直
6、线，其斜率 k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y(4)0( x3)，即 y40.(3)过点 P(2,3)， Q(5，4)的直线的斜率 kPQ 1. 4 35 2 77又直线过点 P(2,3)，直线的点斜式方程为 y3( x2)4求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点( x0， y0)定斜率 k写出方程y y0 k(x x0)(2)点斜式方程 y y0 k(x x0)可表示过点 P(x0， y0)的所有直线，但 x x0除外 练一练1(1)过点(1,2)，且倾斜角为 135的直线方程为_(2)(2016常德高一检测)已知直线 l 过点 A(2,1)且与直线 y14
7、 x3 垂直，则直线 l 的方程为_解析：(1) ktan 1351，由直线的点斜式方程得 y2( x1)，即 x y10.(2)方程 y14 x3 可化为 y14 ，(x34)由点斜式方程知其斜率 k4.又因为 l 与直线 y14 x3 垂直，所以直线 l 的斜率为 .又因为 l 过点 A(2,1)，所以直线 l 的方程为 y1 (x2)，即 x4 y60.14 14答案：(1) x y10 (2) x4 y60思考 怎样理解直线的斜截式方程？名师指津：斜截式方程和截距的几点说明：(1)方程 y kx b 的特点左端 y 的系数恒为 1，右端 x 的系数 k 和常数项 b 均有明显的几何意义
8、： k 是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上的截距(2)直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的直线与 y 轴的交点(0， b)的纵坐标 b 称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为 0，不能将其理解为“距离”就恒为正同理，直线与 x 轴的交点( a,0)的横坐标 a 称为此直线的横截距不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线 x1 没有纵截距，直线y2 没有横截距(3)直线方程的斜截式 y kx b，当 k0 时就是一次函数的标准形式(4)由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线 y2 x1 的斜率为 k2，纵截距为1.5 讲一讲2根据条
9、件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；(2)倾斜角为 150，在 y 轴上的截距是2；(3)倾斜角为 60，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.尝试解答 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y2 x5.(2)倾斜角 150，斜率 ktan 150 ，33由斜截式可得方程为 y x2.33(3)直线的倾斜角为 60，其斜率 ktan 60 ，3直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3，直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3.所求直线方程为 y x3 或 y x3.3 3直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同
10、时要特别注意截距和距离的区别(2)直线的斜截式方程 y kx b 不仅形式简单，而且特点明显， k 是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的值，直线的图象就一目了然因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用 k， b 的几何意义进行判断 练一练2写出斜率为 2，在 y 轴上截距为 m 的直线方程，当 m 为何值时，直线过点(1,1)?解：由直线方程的斜截式，得直线方程为 y2 x m.直线过点(1,1)，将 x1， y1 代入方程 y2 x m,121 m， m1 即为所求 讲一讲63(1)当 a 为何值时，直线 l1： y x2 a 与
11、直线 l2： y( a22) x2 平行？(2)当 a 为何值时，直线 l1： y(2 a1) x3 与直线 l2： y4 x3 垂直？(链接教材P94例 2)思路点拨 利用 l1 l2k1 k2且 b1 b2; l1 l2k1k21 求解尝试解答 (1)由题意可知： kl11， kl2 a22. l1 l2，Error!解得 a1.故当 a1 时，直线 l1： y x2 a 与直线 l2： y( a22) x2 平行(2)由题意可知， kl12 a1， kl24， l1 l2，4(2 a1)1，解得 a .38故当 a 时，直线 l1： y(2 a1) x3 与直线 l2： y4 x3 垂直
12、38(1)两条直线平行和垂直的判定：已知直线 l1： y k1x b1与直线 l2： y k2x b2，若 l1 l2，则 k1 k2，此时两直线与 y 轴的交点不同，即 b1 b2；反之 k1 k2，且b1 b2时， l1 l2.所以有 l1 l2k1 k2，且 b1 b2.若 l1 l2，则 k1k21；反之 k1k21 时， l1 l2.所以有l1 l2k1k21.(2)若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑 b1 b2这个条件 练一练3判断下列两条直线平行还是垂直(1)l1： y23( x1)， l2： y3 x；(2)l1： y6
13、 x1， l2： y x1；16(3)l1： x30， l2： x20.解：(1)直线 l1的方程化为 y3 x5，则直线 l1的斜率 k13，直线 l1在 y 轴上的截距 b15，直线 l2的方程为 y3 x，则直线 l2的斜率 k23，直线 l2在 y 轴上的截距b20，于是 k1 k2， b1 b2，故 l1 l2.7(2)直线 l1的斜截式方程为 y6 x1，则直线 l1的斜率 k16，直线 l2的斜截式方程为 y x1，则直线 l2的斜率 k2 ，于是 k1k26 1，故 l1 l2.16 16 ( 16)(3)l1是过(3,0)且垂直于 x 轴的直线， l2是过(2,0)且垂直于
14、x 轴的直线，故 l1 l2.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念难点是了解直线方程的点斜式的推导过程2本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤，见讲 1.(2)求斜截式方程的求解策略，见讲 2.(3)两条直线平行与垂直的判定方法，见讲 3.3本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况，如讲 3.课下能力提升(十七)学业水平达标练题组 1 直线的点斜式方程1已知直线的方程是 y2 x1，则( )A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(
15、1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为 1解析：选 C 方程变形为 y2( x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.2(2016汕头高一检测)直线 y2 (x1)的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为( )3A60，2 B120，2 3C60，2 D120，23解析：选 B 该直线的斜率为 ，当 x0 时， y2 ，其倾斜角为 120，在3 3y 轴上的截距为 2 .33已知直线 l 的倾斜角是直线 y x1 的倾斜角的 2 倍，且过定点 P(3,3)，则直线8l 的方程为_解析：直线 y x1 的斜率为 1，所以倾斜角为 45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的 2 倍，所以所求直线的
16、倾斜角为 90，其斜率不存在又直线过定点 P(3,3)，所以直线 l 的方程为 x3.答案： x34直线 l1过点 P(1,2)，斜率为 ，把 l1绕点 P 按顺时针方向旋转 30角得直线33l2，求直线 l1和 l2的方程解：直线 l1的方程是 y2 (x1)，即 x3 y6 0. k1 tan 33 3 3 33 1， 1150.如图， l1绕点 P 按顺时针方向旋转 30，得到直线 l2的倾斜角为 215030120， k2tan 120 ，3 l2的方程为 y2 (x1)，即 x y2 0.3 3 3题组 2 直线的斜截式方程5直线 y ax 的图象可能是( )1a解析：选 B 由 y
17、 ax 可知，斜率和截距必须异号，故 B 正确1a6在 y 轴上的截距为 2，且与直线 y3 x4 平行的直线的斜截式方程为_解析：直线 y3 x4 的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3.又截距为 2，由斜截式方程可得 y3 x2.答案： y3 x27直线 y kx2( kR)不过第三象限，则斜率 k 的取值范围是_解析：当 k0 时，直线 y2 不过第三象限；当 k0 时，直线过第三象限；当 kk2， b1b2，不合题意；在选项 D 中， k1k2，故 D 错4若 AC0， BC0，则直线 Ax By C0 不通过( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 C 将 Ax
18、 By C0 化为斜截式为y x ， AC0， BC0， AB0， k0， b0.故直线不通过第三象限，选 C.AB CB5过点(4，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为_解析：依题意设 l 的方程为 y3 k(x4)令 x0，得 y4 k3；令 y0，得 x .4k 3k因此4 k3 .解得 k1 或 k .4k 3k 34故所求方程为 y x1 或 y x.34答案： y x1 或 y x346(2016合肥高一检测)直线 y ax3 a2( aR)必过定点_解析：将直线方程变形为 y2 a(x3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)答案：(3,2)7求倾斜角是直线
19、y x1 的倾斜角的 ，且分别满足下列条件的直线方程314(1)经过点( ，1)；3(2)在 y 轴上的截距是5.解：直线 y x1 的斜率 k ，3 3其倾斜角 120，由题意，得所求直线的倾斜角 1 30，1411故所求直线的斜率 k1tan 30 .33(1)所求直线经过点( ，1)，斜率为 ，333所求直线方程是 y1 (x )33 3(2)所求直线的斜率是 ，在 y 轴上的截距为5，33所求直线的方程为 y x5.338已知直线 l 的斜率为 ，且和两坐标轴围成的三角形的面积为 3，求直线 l 的方16程解：设直线 l 的斜截式方程为 y x b.16则 x0 时， y b， y0 时， x6 b.由已知可得 |b|6 b|3，12即 b21，所以 b1.从而所求直线 l 的方程为 y x1 或 y x1.16 1612
