1、1专题 14 解三角形一、考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题二、概念掌握及解题上的注意点：1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的.2.1 运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.2 在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用.3 重视在余弦定理中用均值不等式，实现 a2 b2， ab， a b 三者的互化.3.判定三角形形
2、状的两种常用途径1 化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.2 化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.4.解决测量角度问题的注意事项1 应明确方位角或方向角的含义.2 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.3 将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.三、高考考题题例分析：例 1.(2016全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知a ， c2，cos A ，则 b( )523A B2 3C2
3、 D3D 解析：由余弦定理得 5 b 42 b2 ，2 23解得 b3 或 b (舍去)，故选 D132例 2.(2016全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 cos A ，cos 45C ， a1，则 b_513解析：在 ABC 中，cos A ，cos C ，2113 45 513sin A ，sin C ，sin Bsin( A C)sin Acos Ccos Asin 35 1213C .35 513 45 1213 6365又 ， b .asin A bsin B asin Bsin A1636535 2113例 3.(2017全国卷) ABC
4、的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 2bcos B acos C ccos A，则 B_.例 4.(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin .2 B2(1)求 cos B；(2)若 a c6， ABC 的面积为 2，求 b.3解 (1)由题设及 A B C 得 sin B8sin ，2 B2故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos B32cos B150，2 解得 cos B1(舍去)，或 cos B .1517故 cos B .1517(2)由 cos B 得 sin B ，
5、1517 817故 S ABC acsin B ac.12 417又 S ABC2，则 ac .172由余弦定理及 a c6 得 b a c 2 accos B( a c) 2 ac(1cos B)2 2 2 2 362 4.172 (1 1517)所以 b2.例 5.（2018 全国卷 I）在平面四边形 ABCD 中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5（1）求 cosADB；（2）若 DC=2 ，求 BC（2）ADC=90，cosBDC=sinADB= ，DC=2 ，BC=4= =5例 6.（2018 全国卷 II）在ABC 中，cos = ，BC=1，AC=5，则 AB=（ ）A4
6、 B C D2解析：在ABC 中，cos = ，cosC=2 = ，BC=1，AC=5，则 AB= = = =4 故选：A例 7.（2018 全国卷 III）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则 C=（ ）A B C D例 8.（2018 北京卷）在ABC 中，a=7，b=8，cosB= 5（）求A；（）求 AC 边上的高解析：（）ab，AB，即 A 是锐角，cosB= ，sinB= = = ，由正弦定理得 = 得 sinA= = = ，则 A= 例 9.（2018 天津卷）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinA=acos
7、（B ） （）求角 B 的大小；（）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2AB）的值解析：（）在ABC 中，由正弦定理得 ，得 bsinA=asinB，又 bsinA=acos（B ） asinB=acos（B ） ，即 sinB=cos（B ）=cosBcos +sinBsin = cosB+，tanB= ，又 B（0，） ，B= 6（）在ABC 中，a=2，c=3，B= ，由余弦定理得 b= = ，由 bsinA=acos（B ） ，得 sinA= ，ac，cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cos2A1= ，sin（2AB）=sin2AcosBcos2As
8、inB= = 例 10.（2018 江苏卷）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为 解三角形练习一、 选择题：1在 ABC 中，若 ，则 B 的值为( )sin Aa cos Bb7A30 B45C60 D90B 解析：由正弦定理知： ，sin Bcos B， B45.sin Asin A cos Bsin B2在 ABC 中，已知 b40， c20， C60，则此三角形的解的情况是( )A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定C 解析：由正弦定理得 ，bsin B csin
9、Csin B 1.bsin Cc 40 3220 3角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在3 ABC 中， c ， b1， B ，则 ABC 的形状为( )3 6A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形D 解析：根据余弦定理有 1 a233 a，解得 a1 或 a2，当 a1 时，三角形ABC 为等腰三角形，当 a2 时，三角形 ABC 为直角三角形，故选 D.4在 ABC 中，若 AB ， BC3， C120，则 AC( )13A1 B2C3 D45在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，cos 2Asin A， bc2，则ABC 的面积为(
10、 ) A B12 14C1 D2A 解析：因为 cos 2Asin A，所以 12sin 2Asin A，则 sin A (舍负)，则12ABC 的面积为 bcsin A 2 ，故选 A12 12 12 126如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，8灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80D 解析：由条件及题图可知， A B40，又 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.7如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋
11、观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )A a km B a km3C a km D2 a km2B 解析：在 ABC 中， AC BC a， ACB120， AB2 a2 a22 a2cos 1203 a2， AB A38如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与D，测得 BCD15， BDC30， CD30 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于( )A5 m B15 m6 3C5 m D15 m2 699如图，
12、一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) A8 km/h B6 km/h2C2 km/h D10 km/h34B 解析：设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得0.61 35 452 21 22 21 ，解得 v6 .(110v) (1102) 110 45 210在 ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2Csin B
13、sin C，则 A 的取值范围是( )A B(0， 6 6， )C D(0， 3 3， )1011(2017山东高考)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 为锐角三角形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是( )A a2 b B b2 aC A2 B D B2 AA 解析：等式右边sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin (A C)sin Acos Csin B，等式左边sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin
14、Acos Csin B.由 cos C0，得 sin A2sin B.根据正弦定理，得 a2 b.故选 A12在不等边三角形 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，其中 a 为最大边，如果 sin2(B C)sin 2Bsin 2C，则角 A 的取值范围为( )A B(0， 2) ( 4， 2)C D( 6， 3) ( 3， 2)D 解析：由题意得 sin2Asin 2Bsin 2C，再由正弦定理得 a2 b2 c2，即 b2 c2 a20.则 cos A 0，b2 c2 a22bc0 A，0 A . 2又 a 为最大边， A .因此角 A 的取值范围是 . 3 (
15、3， 2)二、 填空题：13如图所示，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， AD AC，sin BAC ， AB3223， AD 3，则 BD 的长为_21114(2017全国卷改编) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0， a2， c ，则 C_. 2解析：因为 a2， c ， 6 2所以由正弦定理可知， ，2sin A 2sin C故 sin A sin C2又 B( A C)，故 sin Bsin A(sin Ccos C)sin( A C)sin Asin Csin Acos Csin Acos Cc
16、os Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又 C 为 ABC 的内角，故 sin C0，则 sin Acos A0，即 tan A1.又 A(0，)，所以 A .34从而 sin C sin A .12 22 22 12由 A 知 C 为锐角，故 C .34 615在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数列，且 a2 c，则 cos A_. 1216如图 3816，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角 MAN60，
17、 C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.150 解析：根据题图， AC100 m.2在 MAC 中， CMA180756045.由正弦定理得 AM100 m.ACsin 45 AMsin 60 3在 AMN 中， sin 60，MNAM MN100 150(m)332三、 解答题：17. 如图，在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 2acos C c2 b.(1)求角 A 的大小；13(2)若 c ，角 B 的平分线 BD ，求 A2 3解 (1)2 acos C c2 b，由正弦定理
18、得 2sin Acos Csin C2sin B，2sin Acos Csin C2sin( A C)2sin Acos C2cos Asin C，sin C2cos Asin Csin C0，cos A .12又 A(0，)， A .2318(2016全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cos C(acos B bcos A) c.(1)求 C；(2)若 c ， ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长73 32解 (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即 2cos Csin(A B)sin C，
19、故 2sin Ccos Csin C可得 cos C ，所以 C .12 314(2)由已知得 absin C .12 3 32又 C ，所以 ab6. 3由已知及余弦定理得 a2 b22 abcos C7，故 a2 b213，从而( a b)225.所以 ABC 的周长为 5 .719如图，航空测量组驾驶飞机飞行的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，求山顶的海拔高度(取 1.4， 1.7)2 3解 如图，作 CD 垂直直线 AB 于点 D，20如图，渔船甲位于岛屿
20、 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上15(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值21在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 tan Atan C (tan 3Atan C1)(1)求角 B；(2)如果 b2，求 ABC 面积的最大值解 (1)tan Atan C (tan Atan C1)，3即 ，tan( A C) ，tan A tan C1 tan Atan C 3 3又 A B C，tan
21、 B ，3 B 为三角形内角， B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理得 cos B ， a2 c2 ac4，a2 c2 b22ac 12 a2 c22 ac， ac4，当且仅当 a c2 时，等号成立， ABC 的面积 S acsin B1216 4 ，12 32 3 ABC 面积的最大值为 .322 “德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心，如图 3817(记为B， C， D)当返回舱在距地面 1 万米的 P 点时(假定以后垂直下落，并在 A 点着陆)， C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60， B 救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为 30， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向. (1)求 B， C 两救援中心间的距离；(2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离解 (1)由题意知 PA AC， PA AB，则 PAC， PAB 均为直角三角形在 Rt PAC 中， PA1， PCA60，解得 AC ，在 Rt PAB 中，33PA1， PBA30，解得 AB ，3又 CAB90， BC 万米AC2 AB2303
