1、12.3.1 抛物线及其标准方程课后训练案巩固提升1.对抛物线 x2=4y,下列描述正确的是( )A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为 (0,116)C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为 (116,0)解析: 抛物线 x2=4y 开口向上,焦点为(0,1),因此选 A.答案: A2.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 的距离相等的点的轨迹是( )A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线解析: 因为点(1,1)在直线 x+2y=3 上,故所求点的轨迹是过点(1,1),且与直线 x+2y=3 垂直的直线 .答案: A3.(2016 河北石家庄模拟)若
2、抛物线 y2=2px(p0)上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为( )A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=10x解析: 本题考查抛物线标准方程的求法 .由题意可知准线方程为 x=- .p2因为点 P(2,y0)到准线的距离为 4,所以 2+ =4.p2所以 p=4,故抛物线方程为 y2=8x.故选 C.答案: C4.若动点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是( )A.x+4=0 B.x-4=0C.y2=8x D.y2=16x解析: 依题意可知点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 x=-4
3、 的距离,因此其轨迹是抛物线,且 p=8,顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,其方程为 y2=16x.答案: D5.(2016 四川绵阳高二月考)已知双曲线 =1(m0)的一条渐近线方程为 y= x,它的一个焦x2m- y2m+18 3点恰好在抛物线 y2=ax 的准线上,则实数 a 的值等于( )A.24 B.12 C. D.124 112解析: 由题意,可得 =3,解得 m=9,m+18m 双曲线的方程为 =1,焦点坐标为( 6,0),x29-y227 =6,a= 24.a4答案: A6.若抛物线 C:y=ax2经过点(4,2),则抛物线焦点坐标为 . 解析: 依题意有 2=a42,所以
4、a= .18因此抛物线方程为 x2=8y,其焦点坐标为(0,2) .答案: (0,2)7.与圆 x2+y2-4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 .解析: 若动圆在 y 轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线 x=-2 的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在 y 轴左侧,则动圆圆心轨迹是 x 轴负半轴 .答案: y2=8x 或 y=0(x0)的焦点为 F,其准线与双曲线 =1 相交于 A,B 两点,若 ABF 为等边三角x23-y23形,则 p= . 解析: 如图,不妨设 B ,F ,|FD|=p,可解得 B .(x0,-p2) (0,p2) ( 3+p24,-p2)在
5、Rt DFB 中,tan30 = ,|BD|DF|所以 ,解得 p=6.33= 3+p24p答案: 69.(2016 江苏南师附中期中考试)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,准线方程是 x=-1.(1)求此抛物线的方程;(2)设点 M 在此抛物线上,且 |MF|=3,若 O 为坐标原点,求 OFM 的面积 .解: (1)因为抛物线的准线方程为 x=-1,所以 =1,得 p=2.p2所以抛物线的方程为 y2=4x.(2)设 M(x0,y0),因为点 M(x0,y0)在抛物线上,且 |MF|=3,由抛物线的定义,知 |MF|=x0+ =3,得p2x0=2.将(2, y0)代入方程 y2
6、=4x,得 y0=2 ,所以 OFM 的面积为 |OF|y0|= 12 .212 12 2= 210. 导学号 59254029 已知点 A(12,6),点 M 到点 F(0,1)的距离比它到 x 轴的距离大 1.(1)求点 M 的轨迹方程 G;(2)在抛物线 G 上是否存在一点 P,使点 P 到点 A 的距离与点 P 到 x 轴的距离之和取得最小值?解: (1)点 M 到点 F(0,1)的距离比它到 x 轴的距离大 1,即“点 M 到点 F(0,1)的距离等于它到直线y=-1 的距离”,所以点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线 y=-1 为准线的抛物线,此时, p=2.故所求抛物线方程 G 为 x2=4y.(2)如图,易判断点 A 在抛物线外侧,设 P(x,y),则点 P 到 x 轴的距离即为 y 值,设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d,则 y=d-1.故 |PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知 |PF|=d.于是 |PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由图可知,当 A,P,F 三点共线时, |PA|+|PF|取最小值 13.此时直线 AF 的方程为 y= x+1,512由 联立得点 P 坐标为 .x2=4y,y=512x+1,(3,94) 在抛物线 G 上存在点 P ,使得所求距离之和最小为 13.(3,94)3
