1、教学过程一、复习预习一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(xfba,求 在 内的极值；将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，)(xf )(afbf最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf,二、知识讲解常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法。考点 1：利用导数解决恒成立问题若不等式 Axf在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 minfxA若不等式 B在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 aB考点 2：利用导数解决能成立问题若在区间 D上存在实数 x使不等式 Ax
2、f成立,则等价于在区间 D上 maxfA；若在区间 上存在实数 使不等式 B成立,则等价于在区间 上的 inB.解决不等式恒成立问题和能成立问题，注意一个是全称命题，一个是存在性命题，所以转化的时候要注意求的到底是函数最大值和最小值。三、例题精析【例题 1】【题干】设函数 在 及 时取得极值32()8fxaxbc1x2（1 ）求 、 的值；ab（2 ）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围0,2()fc【答案】 （1） ， （2） 的取值范围为34c,1)(9,)【解析】 （1） ，()63fxaxb函数 在 及 取得极值，则有 ， 1()0f(2)f即 ，解得 ， 630241ab3a4
3、b（2） 由（1）可知， ，32()918fxxc2()686)fx当 时， ；当 时， ；当 时，(0,)()0fx(,2()0fx(2,3)()fx当 时， 取得极大值 ，又 ， 1()fx(1)58fc()8fc()98fc则当 时， 的最大值为 0,3x39对于任意的 ，有 恒成立， ，解得 或 ，,2()fxc2c1c因此 的取值范围为 c(,1)(9,)【例题 2】【题干】设函数(1)当 a=1 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)设函数 ，若在l，e上至少存在一组 使 成立，求实数 a 的取值范围.【解析】（1）切线为
4、 （2） ，由题意若函数 在其定义域内为增函数，在（0，+）上恒成立，即， ， ， ， （3）在1，e 上至少存在一组 使 成立；则 ， 9 分在1，e上递减， ，令当 时， 在 上递增， ，当 时时 在 上递增， ，不合题意。当 时， ， ， 在 上递减，当 时， ，在 上递减，ks5u时， ，不合题意。综上： 【例题 3】【题干】已知函数 .（1）当 时，求 的极值；（2）若 在 上是增函数，求 的取值范围.【解析】（1） 当 时， ，在 内单调递减，在 内单调递增， 当 时， 有极小值， 的极小值是（2）在 上， 是增函数，当且仅当 ，即. 当 时，恒成立.当 时，若要成立，则需 ，解得
5、 .当 时，若要成立，则需 ，解得 .综上， 的取值范围是四、课堂运用【基础】1.三次函数 f（x）=x 33bx+3b 在1，2 内恒为正值，则 b 的取值范围是 _ 【答案】【解析】方法 1：拆分函数 f（x） ，根据直线的斜率观察可知在1 ，2范围内，直线 y2与 y1=x3 相切的斜率是 3b 的最大值，求出 b 的取值范围方法 2：利用函数导数判断函数的单调性，再对 b 进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出 b 的范围。2. 对于 总有 成立，则 的值为多少？【答案】a=4【解析】若 ，则不论 取何值， 显然成立；当 ，即 时 可化为 .设 ，则 ，所以 在区间
6、上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 .当 ，即 时， 可化为 ，则在区间 上单调递增，因此 ，从而 .综上所述 .【巩固】1.设 a为实数，函数 2()()|fxax. (1)若 (0)1f，求 的取值范围； (2)求 x的最小值； (3)设函数 (),()hfxa，直接写出( 不需给出演算步骤)不等式 ()1hx的解集.【解析】（1）若 ，则(0)1f20|11a（2）当 时，xa2()3,fxx2min(),0,()3faf当 时，22(),fa2in,0()()0ffaa综上2min,0()3fx（3） 时， 得 ，,a()1hx22310ax2241(8a当 时， ；6或 0
7、,(,)x当 时，0,得：2a2233()0aaxx讨论得：当 时，解集为 ;6(,)2(,)当 时，解集为 ;62(,)a2233(,)aa当 时，解集为 .,2,)2. 已知函数 ，讨论 的单调性.2()(ln),(0fxax(fx【解析】 的定义域是(0,+ ),f221.af设 ,二次方程 的判别式 .2()gxa()0gx28 当 ，即 时，对一切 都有 ,此时 在802a0x()0fx()fx上是增函数。(0,) 当 ,即 时，仅对 有 ,对其余的 都有2a2x()fxx,此时 在 上也是增函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()fx()fx0,) 当 ，即 时，282a
8、方程 有两个不同的实根 , , .()0gx218ax28ax120x1, 2(,)22(,)()fx+ 0 _ 0 +单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增此时 在 上单调递增, 在 是上单调递减, ()fx280,)a228(,)aa在 上单调递增.2(,)【拔高】1.设函数 ()(0)kxfe（）求曲线 在点 处的切线方程；yf,()f（）求函数 的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()x（）若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围.()fx(1,)k【解析】（） , ,0,0kxfxeff曲线 在点 处的切线方程为 .()y()yx（）由 ，得 ，1kxfxe1k若
9、 ，则当 时， ，函数 单调递减，0k,0ffx当 时， ，函数 单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1,xfxfx若 ，则当 时， ，函数 单调递增，0k1,k0ff当 时， ，函数 单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1,xfxfx（）由（）知，若 ，则当且仅当 ，0k1k即 时，函数 内单调递增，1kfx1,若 ，则当且仅当 ，0k即 时，函数 内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m kfx,综上可知，函数 内单调递增时， 的取值范围是 .1k1,0,2. 已知函数 f(x)= x ax+(a 1) ， 。2lnx1a（1）讨论函数 的单调性；w.
10、w.w.k.s.5.u.c.o.m ()f（2）证明：若 ，则对任意 x ，x ，x x ，有 。5a12(0,)1212()1ffx【解析】 (1) 的定义域为 。()fx,2 11()1)()aaxafx（i）若 即 ,则1a22()xf故 在 单调增加。()f0,)(ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ;1a12a(1,)xa()0fx当 及 时，(,)x()x()0f故 在 单调减少，在 单调增加。f,)(iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加.1a2()fx1a(0,1),)a(II)考虑函数 ()gxf2ln则 21()()2(1)(1)agxxag由于 11,证
11、明对任意的 c,都有 M2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()若 MK 对任意的 b、c 恒成立，试求 k 的最大值。【解析】 ，由 在 处有极值2()fxx()fx143可得104()33fbc解得 或,1c若 ，则 ，此时 没有极值；,b22()1()0fxx()fx若 ，则3c 31x当 变化时， ， 的变化情况如下表：x()fxf,(,)1 (,)()fx0 + 0 A极小值 12A极大值 43A当 时， 有极大值 ，故 ， 即为所求。1x()fx43b3c（）证法 1： 2|()|gfx当 时，函数 的对称轴 位于区间 之外。|b)y1.在 上的最值在两端点处取得()fx
12、,故 应是 和 中较大的一个M1g()即2()|2|12|4|,bcbc2M证法 2（反证法）：因为 ，所以函数 的对称轴 位于区间 之外，|()yfxb1,在 上的最值在两端点处取得。()fx1,故 应是 和 中较大的一个Mg()假设 ，则2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)|bc将上述两式相加得：，导致矛盾，4|2|12|4|ccb2M（）解法 1： 2()|()|gxfxc（1）当 时，由（）可知 ；|bM（2）当 时，函数 ）的对称轴 位于区间 内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m |(yfxxb1,此时 ma1),)g由 有(1)4,fb2(10ff若 则 ，0,
13、),)max(1),bggb于是 21ax|(1|(|(|()22Mffff若 ，则01b()(1),ffb(1max(1),ggb于是 21max|,|)|()|)22Mffff综上，对任意的 、 都有c而当 时， 在区间 上的最大值10,2b21()gx,12M故 对任意的 、 恒成立的 的最大值为 。Mkbck2解法 2： 2()|()|gxfxbc（1）当 时，由（）可知 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m |M（2）当 时，函数 的对称轴 位于区间 内，|b()yfx1,此时 max(1),Mgbw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 242|hcbc，即22|()()|bc
14、1M2. 已知函数 ,其中 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31)fxabx0a（1） 当 满足什么条件时, 取得极值?)(f（2） 已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.0)(xf1b【解析】(1)由已知得 ,令 ,得 ,2abx0)(f210ax要取得极值,方程 必须有解,)(xf 0x所以 ,即 , 此时方程 的根为240b22xb, ,1abax224aba所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12()(fx当 时,0ax (-,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+)f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以
15、 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.)(当 时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0ax (-,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+)f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数所以 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.)(综上,当 满足 时, 取得极值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m baa)(xf(2)要使 在区间 上单调递增,需使 在 上恒成立.)(xf0 2()10fxabx(,即 恒成立, 所以1,(2ma)b设 , ,()axg2(1()2xag令 得 或 (舍去), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 01x当 时, ,当 时 , 单调增函数;a(0,)a(0gx1()2ax当 时 , 单调减函数,1(,x()gx1()2所以当 时, 取得最大,最大值为 .a()()ga所以 b当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区间01a()0gx(1 1()2axg上单调递增,当 时 最大,最大值为 ,所以()agb综上所述,当 时, ; 当 时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1aba012b
