1、初中函数知识1函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-） 3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0） 。4、点的对称特征：已知点 P(m,n),关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于
2、坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点 P（x,y）的几何意义：点 P（x,y）到 x 轴的距离为 |y|，点 P（x,y）到 y 轴的距离为 |x|。点 P（x,y）到坐标原点的距离为 2x8、两点之间的距离：X 轴上两点为 A 、B |AB|)0,(1x),(2|12xY 轴上两点为 C 、D |CD|,1y,2 |12y初中函数知识2已知 A 、B AB|=),(1yx),(
3、2y 2121)()(yx9、中点坐标公式：已知 A 、B M 为 AB 的中点,则：M=( , ),1x),(2y21x12y10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y） ；将点（x,y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y） ；将点（x,y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb） ；将点（x,y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb） 。函数的基本知识：基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过
4、程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y是 x 的函数。*判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应3、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分
5、别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；初中函数知识3第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如 y=kxb(k,b 是常数，k0) ，那么 y 叫
6、做 x 的一次函数当 b=0 时，y=kxb 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式： y=kx+b (k0) 说明： k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数2、解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0)3、图像：一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（- ，0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k0，y 随 x 的增大而增大（单调增） ；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时直线与 y 轴交于原点上方（即 y 轴的正半轴） ；初中函数知识4当 b0 b0增减性（单调性）：图象从左到右上
7、升，y 随 x 的增大而增大，单调增经过第一、二、四象限不经过：第三象限经过第二、三、四象限不经过：第一象限经过第二、四象限不经过：第一、三象限k0，y 随 x 的增大而减小（单调减） ；k0，y 随 x 增大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）（ ） 对 称 性 ： 是 中 心 对 称 图 形 ， 对 称 中 心 是 原 点是 轴 对 称 图 形 ， 对 称 轴 是 直 线 和212() yx（3）反比例函数 （ 为常数， ）中自变量 ，函
8、数值 ，所以双曲线是不xky0k00y经过原点，断开的两个分支（称为左、右支） ，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（ ） 时 两 支 曲 线 分 别 位 于 一 、 三 象 限 且 每 一 象 限 内 随 的 增 大 而 减 小时 两 支 曲 线 分 别 位 于 二 、 四 象 限 且 每 一 象 限 内 随 的 增 大 而 增 大0k yx（4）比例系数 的几何含义（右图）：反比例函数 y (k0)中比例系数 k 的k kx几何意义，即过双曲线 y (k0)上任意一点 P 作 x 轴、 y 轴垂线，设垂足分x别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积(阴影面积) 为 .k（由
9、 y 变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。 ）kx5、反比例函数性质如下表：k 的符号 k0 k0oyxyxo初中函数知识6二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca，0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零bc，二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R2. 解析式（表达式）：一般式： （ ， 是常数）：2yaxbc0a说明： 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc， c
10、2 22 244,-babacyx 对 于 二 次 函 数 ， 经 过 配 方 变 形 为 顶 点 式 ： y=a(+)其 顶 点 坐 标 为 （ ， ）补充：二次函数解析式的表示方法（三种）一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2abxcbc0顶点式： （ ， ， 为常数， ） ； 抛物线的顶点 P（h ，k） ()yhkahka2 22 244,-bcbac对 于 二 次 函 数 ， 经 过 配 方 变 形 顶 点 式 ： y=(+)其 顶 点 坐 标 为 （ ， ）图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限增减性（单调性：单调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随 x 的增大而减小
11、；（-，0）U（0，+）区间内，单调减 在每一象限内,从左到右看y 随 x 的 增大而增大 （-，0）U（0，+）区间内，单调增 图像的对称性 中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=-x初中函数知识7两根式（交点式）： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12()yax0a1x2x仅限于与 x 轴有两个交点 A（x 1，0）和 B（x 2，0）的抛物线，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)221244,bcbcaa 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系: 22212444h=- ,2bcbbcbacxxaaak 注意：任何二次函数的
12、解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析x20c式的这三种形式可以互化.二次函数 与 的比较2yahk2yaxb从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前xc者，即 ，其中 224bacyax 242babhk，3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最
13、大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数 图象的画法2yaxbc五点绘图法： 利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及2yaxbc2()yaxhk顶点坐标; 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点y、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没0c，0c， 2h， 102xx有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.x3、 二次函数的图像：抛物
14、线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线 ,对称轴与抛物线唯一的交点为抛2ba对 称 轴 ： 直 线 =-物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0）（2）抛物线有一个顶点 P，24-bac坐 标 为 （ ， ）初中函数知识8当 =0 时，P 在 y 轴上；当 = =0 时，P 在 x 轴上。-2ba24bac4、 a.b.c 与抛物线的关系（ 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项）a（1 ） a 决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：a 为正(a0)，开口朝上，有最小值；a 为负(a0)，开口朝下，有最大值；开口大小：a 的绝对值越大，抛物线
15、的开口越小。（2 ） a、 b 共同决定 x2ba对 称 轴 ： 直 线 =-的符号决定对称轴 的位置，分两种情况：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右侧。概括的说就是“左同右异”（3）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（0，c） ，分三种情况： 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；xy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；y 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负c总之，只要 都确定，
16、那么这条抛物线就是唯一确定的ab，6、 抛物线与 x 轴交点个数= 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。A（x 1,0）和 B（x 2,0）24c= =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 Pba )0,(ab= 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。2c配图：开口向上(开口向下，情况类似)7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数） 2yaxbc当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程） ，即 20axbc此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。y=5x2y=x2xyy =0x0yx0yxA B P初中函数知识9yxO函数与 x 轴交
17、点的横坐标即为方程的根。 8、二次函数 的图像和性质224bacya0 0a图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值 当 x 时，y 有最 值，y 当 x 时，y 有最 值，y在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增减性 在对称轴右 侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 9. 应用：（1 ）最大面积；（2）最大利润；（3）其它10、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移？2yax，2. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移
18、，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）ba)()( mxbxy)()(2综合练习初中函数知识10（1）下列函数， . . ；其中是1)2(yx1xy2xy1213yxy 关于 x 的反比例函数的有：_。（2）函数 是反比例函数，则 的值是（ ）2)(aaA1 B2 C2 D2 或2（3）如果 是 的反比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（ ）ymxyxA反比例函数 B正比例函数 C一次函数 D反比例或正比例函数
19、（4）如果 是 的正比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（ ）（5）如果 是 的正比例函数， 是 的正比例函数，那么 是 的（ ）yxyx（6）反比例函数 的图象经过（2，5）和（ ， ） ，(0kx） 2n求（1） 的值；（2）判断点 B（ ， ）是否在这个函数图象上，并说明理由n4（7）已知函数 ，其中 与 成正比例, 与 成反比例，且当 1 时， 1； 3 时，12y1yx2yxxyx5求：（1）求 关于 的函数解析式； （2）当 2 时， 的值y y（8）若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的值是（ ）)(mmA、 1 或 1; B、小于 的任意实数; C、1; 、不能确定1
20、2（9）已知 ，函数 和函数 在同一坐标系内的图象大致是（ ）0kykxkyx(10)、如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，(0)ykx2yx过点 A 作 AB 轴于点 B，连结 BC则 ABC 的面积等于（ ）xA1 B2 C4 D随 的取值改变而改变11、已知函数 ，其中 成正比例, 成反比例,且当12y1xy与 2xy与,;3,5xx时 当 时 求 当 时 的 值12、 （8 分）已知,正比例函数 图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数 在每一a kyx象限内 的增大而减小,一次函数 过点 .y随 24yxka,（1）求 的值.a（2）求一次函数和反比例
21、函数的解析式.xxxyxyyx初中函数知识11二次函数提高题:1 是二次函数，则 的值为（ ）23myxmA0 或3 B0 或 3 C0 D32已知二次函数 与 轴的一个交点 A（2，0） ，则 值为（ ）2(1)4kxkA2 B1 C2 或1 D任何实数3与 形状相同的抛物线解析式为（ ）2()3yxA B C D2()yx2(1)yx2yx4关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）2yaxbA若 ，则 随 增大而增大 B 时， 随 增大而增大。00C 时， 随 增大而增大 D若 ，则 有最小值xay5函数 经过的象限是（ ）23yA第一、二、三象限 B第一、二象限 C第三、四象限 D第一、
22、二、四象限6已知抛物线 ，当 时，它的图象经过（ ）2axb0b，A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第一、二、三、四象限7对 的叙述正确的是（ ）2yxA当 1 时， 最大值 2 B当 1 时， 最大值 8yxyC当 1 时， 最大值 8 D当 1 时， 最大值 2x8二次函数 的图象过点（1，0） 、 （0，3） ，对称轴 12yabxcx求函数解析式；5、图象与 轴交于 A、B（A 在 B 左侧） ，与 y 轴交于 C，顶点为 D，求四边形 ABCD 的面积x9、抛物线 与 的形状相同，而开口方向相反，则 =（ ）23yx2axa（A） （B） （C） （D）1
23、331310把二次函数 配方成顶点式为（ ）12xyA B C D2)1(xy)(2 1)(2xy 2)1(xy11函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ）36k kA B C D30且 303k且12、若抛物线 的开口向下，顶点是（1，3） ， 随 的增大而减小，则 的取值范围是nmxay2)( yxx初中函数知识12（ ）（A） （B） （C） (D)3x3x1x0x13抛物线 过第二、三、四象限，则 0， 0， 0)0(2acby abc14抛物线 可由抛物线 向 平移 个单位得到)1(626y15顶点为（2，5）且过点（1，14）的抛物线的解析式为 16对称轴是 轴且过点 A（
24、1，3） 、点 B（2，6）的抛物线的解析式为 y17已知抛物线 与 轴交于点 A，与 轴的正半轴交于 B、C 两点，且 BC=2，S ABC =3，则cbx2yx= ， = bc18、已知二次函数 的图象经过点（1，0）和（-5，0）两点，顶点纵坐标为 ，求这个2ya 92二次函数的解析式。对称轴、顶点、平移：1.抛物线 的顶点坐标为 213yx2.抛物线 的顶点坐标是 3.抛物线 与 轴的一个交点为 ，则这个抛物线的顶点坐标是 26yxcx(10)，4.二次函数 的最小值是 )1(5.已知二次函数 的对称轴和 轴相交于点 ，则 的值为_22yxcxm，6.抛物线 的对称轴是直线 327.将
25、抛物 向左平移 1 个单位后，得到的抛物线的解析式是 ()yx8.把抛物线 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是cb2，则有 a、b、c 的值分别是 532xy图像交点、判别式：9已知抛物线 与 轴相交于 两点，且线段 ，则 的值为 2(1)(2)mxxAB，2ABm10.已知二次函数不经过第一象限，且与 轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 11.若抛物线 的顶点在 轴的下方，则 的取值范围是（ ）2yxaxa 1a11 112.已知二次函数 ，且 ， ，则一定有（ ）cb200cbA. B. C. D. 0042cb4a42aacb42初中
26、函数知识13利用图像：1若直线 y m（ m 为常数）与函数 y 的图像恒有三个不同的交点， m 的取值范围是x2（ x 2）4x（ x 2） )。2.下列图形：其中，阴影部分的面积相等的是（ ） 3.若 为二次函数 的图象上的三点，则123354AyByCy， ， ， ， ， 245yx的大小关系是（ ）123y， ， y321y312y213y4二次函数 图象上部分点的对应值如下表：2axbc0 1 2 3 4y6 0 4640 6则使 的 的取值范围为 0yx5.二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）2abbyx6.二次函数 的图象如图所示，则直线2yaxbc ybxc
27、的图象不经过（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限7.在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数yaxb 2yax的图象可能为（ ）O2yxxyxOyx3y2121yOOxyOxyOOyyOxOxyOxOx初中函数知识148.二次函数 的图象如右图，则点 在cbxay2 ),(acbM（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限9.二次函数 的图象如图所示，反比列函数2yxc与ayx正比列函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）b第 9 题O xyOyxAOyxBOyxDOyxC1. 已知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 y2= 在同一直角坐标系中的图象如图所
28、示，则当 y1y 2时，x 的kx取值范围是（ ）Ax1 或 0x3 B1x0 或 x3 C1x0 Dx31. 2.2.如图，双曲线 y= 与直线 y=kx+b 交于点 M N，并且点 M 的坐标为（1，3） ，点 N 的纵坐标为1根mx据图象信息可得关于 x 的方程 =kx+b 的解为（ ）A3，1 B3，3 C1，1 D1，33.如图，直线 l 和双曲线 交于 A、B 两点，P 是线段 AB 上的点（不与 A、B 重合），过点(0)kyA、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D、E，连接 OA、OB、0P，设AOC 的面积为 S1、BOD 的面积为 S2、POE 的面积为 S3，则（ ）A、S 1S 2S 3 B、S 1S 2S 3 C、S 1=S2S 3 D、S 1=S2S 33. 4.O x y 初中函数知识154.如图，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 的图象交于xy24和点 A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 AC、 BC，则 ABC 的面积为（ ）A3 B4 C5 D65.若一次函数的图象经过反比例函数 图象上的两点（1， m）和（ n，2） ，则这个一次函数的解析xy4式是 6.若一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数 的图象没有公共点，则实数 k 的xy1取值范围是
