1、精选高中模拟试卷第 1 页，共 19 页天宁区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学班级_ 姓名_ 分数_一、选择题1 已知函数 f（x）的定义域为 R，其导函数 f（x）的图象如图所示，则对于任意 x1，x 2R（ x1x2），下列结论正确的是（ ）f（x）0 恒成立；（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0；（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0； ； A B C D2 某棵果树前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）A5 B7 C9 D113 若命题 p：xR，x20，命题 q：x R
2、， x，则下列说法正确的是（ ）A命题 pq 是假命题 B命题 p（q）是真命题C命题 pq 是真命题 D命题 p（q）是假命题精选高中模拟试卷第 2 页，共 19 页4 从 1、2、3、4、5 中任取 3 个不同的数、则这 3 个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ）A. B.11015C. D.310255 已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，满足 =0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A（0，1） B（ 0， C（0， ） D ，1）6 命题“xR ，2x 2+10”的否定是（ ）AxR ，2x 2+10 BC D7 已知 x，yR，且 ，则存在 R，使得 xcos
3、+ysin+1=0 成立的 P（x，y）构成的区域面积为（ ）A4 B4 C D +8 已知命题 p：“1，e ，alnx ”，命题 q：“ xR，x 24x+a=0”若“pq” 是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A（1，4 B（0，1 C1，1 D（4，+ ）9 定义运算： ,ab例如 21，则函数 sincofxx的值域为（ ）A 2, B , C 2,1 D1,10若当 时，函数 （ 且 ）始终满足 ，则函数 的图象大致Rx|)(xaf01a1)(xf 3|logxya是（ ）精选高中模拟试卷第 3 页，共 19 页【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻
4、辑推理能力有较高要求，难度中等11已知 ，若存在 ，使得 ，则 的()2)(0)xbgxaea0(1,)x00()gxba取值范围是（ ）A B C. D1,2,(2,0)12设 =（1，2）， =（1，1）， = +k ，若 ，则实数 k 的值等于（ ）A B C D二、填空题13（ ） 0+（ 2） 3 = 14已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x22x+y 2=0 相切，则 m= 15如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，若在平行四边形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点Q 取自ABE 内部的概率是 16已知直线 l 的参数方程是 （t 为参数），曲线 C 的极
5、坐标方程是 =8cos+6sin，则曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点个数有 个17定积分 sintcostdt= 精选高中模拟试卷第 4 页，共 19 页18已知 i 是虚数单位，且满足 i2=1，aR，复数 z=（a 2i）（1+i）在复平面内对应的点为 M，则“a=1” 是“点 M 在第四象限 ”的 条件（选填“ 充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）三、解答题19设函数 f（x）=1+ （1+a）xx 2x 3，其中 a0（）讨论 f（x）在其定义域上的单调性；（）当 x时，求 f（x）取得最大值和最小值时的 x 的值20已知函数 （ ）()xfxkeR（
6、1）求 的单调区间和极值；（2）求 在 上的最小值f1,2（3）设 ，若对 及 有 恒成立，求实数 的取值范围()()gxfx35,2k0,1x()gx21（本小题满分 16 分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量 hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式 hxfgx（ 37， m为常数），其中 f与3x成反比， gx与 7的平方成正比，已知销售价格为 5 元/套时，每日可售出套题 21 千套，销售价格为 3.5 元/套时，每日可售出套题 69 千套.（1） 求 h的表达式；（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题 3
7、元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格精选高中模拟试卷第 5 页，共 19 页的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大（保留 1 位小数）22已知函数 f（x）= x3+ax+2（）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1）处的切线在 y 轴上的截距为定值；（）若 x0 时，不等式 xex+mf（x）am 2x 恒成立，求实数 m 的取值范围23如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AC=AA 1=BC1=2， AA1C1=60，平面 ABC1平面 AA1C1C，AC 1与A1C 相交于点 D（1）求证：BD平面 AA1C1C；（2）求二面角 C1ABC 的余弦值精选高中模拟试卷第 6 页，
8、共 19 页24如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC， BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离精选高中模拟试卷第 7 页，共 19 页天宁区高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1 【答案】 D【解析】解：由导函数的图象可知，导函数 f（x）的图象在 x 轴下方，即 f（x）0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢所以 f（x）的图象如图所示f（x）0 恒成立，没有依据，故 不正确；表示（x 1x2）与f （x 1）f （x 2）异号，即 f（x）为
9、减函数故正确；表示（x 1x2）与f （x 1）f （x 2）同号，即 f（x）为增函数故不正确，左边边的式子意义为 x1，x 2中点对应的函数值，即图中点 B 的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点 A 的纵坐标值，显然有左边小于右边，故不正确，正确，综上，正确的结论为故选 D2 【答案】C【解析】解：若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P（S，n）点则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率由图易得当 n=9 时，直线 OP 的斜率最大即前 9 年的年平均产量最高，故选 C3 【答案】 B【解析】解：xR，x20，即不等式 x20 有解，命题 p 是真命题；
10、精选高中模拟试卷第 8 页，共 19 页x0 时， x 无解，命题 q 是假命题；pq 为真命题，pq 是假命题，q 是真命题，p（q）是真命题，p（q）是真命题；故选：B【点评】考查真命题，假命题的概念，以及 pq，pq，q 的真假和 p，q 真假的关系4 【答案】【解析】解析：选 C.从 1、2 、3、4、5 中任取 3 个不同的数有下面 10 个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故
11、概率 P .3105 【答案】C【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a，b，c， =0，M 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆又 M 点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即 cb，c 2b 2=a2c2e 2= ， 0e 故选：C【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答6 【答案】C【解析】解：命题xR，2x 2+10 是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：“ ”，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础7 【答案】 A【解析】解：作出不
12、等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形 OAB，若存在 R，使得 xcos+ysin+1=0 成立，精选高中模拟试卷第 9 页，共 19 页则 （ cos+ sin）=1，令 sin= ，则 cos= ，则方程等价为 sin（ +）=1，即 sin（+）= ，存在 R，使得 xcos+ysin+1=0 成立，| |1，即 x2+y21，则对应的区域为单位圆的外部，由 ，解得 ，即 B（2，2 ），A（4，0），则三角形 OAB 的面积 S= =4 ，直线 y= x 的倾斜角为 ，则AOB= ，即扇形的面积为 ，则 P（x，y）构成的区域面积为 S=4 ，故选：A【点评】本题主要考查线性规
13、划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键综合性较强8 【答案】A【解析】解：若命题 p：“1 ，e，alnx ，为真命题，精选高中模拟试卷第 10 页，共 19 页则 alne=1，若命题 q：“xR，x 24x+a=0”为真命题，则=16 4a0，解得 a4，若命题“pq” 为真命题，则 p，q 都是真命题，则 ，解得：1a4故实数 a 的取值范围为（1，4故选：A【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题 p，q 的等价条件是解决本题的关键9 【答案】D【解析】考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.10【答案】 C【解
14、析】由 始终满足 可知 由函数 是奇函数，排除 ；当|)(xaf1)(xfa3|logxyaB时， ，此时 ，排除 ；当 时， ，排除 ，因此1,0(x0|log0|log3yA0yD选 11【答案】A 【解析】精选高中模拟试卷第 11 页，共 19 页考点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值. 【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题利用导数研究函数 fx的单调性进一步求函数最值的步骤：确定函数 fx的定义域；对 fx求导；令 0fx，解不等式得的范围就是递增区间；令 0fx，解不等式得的范围就是递减区间；根
15、据单调性求函数 f的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.12【答案】A【解析】解： =（1，2）， =（1，1）， = +k =（1+k ，2+k ） ， =0，1+k+2+k=0，解得 k=故选：A【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题二、填空题13【答案】 精选高中模拟试卷第 12 页，共 19 页【解析】解：（ ） 0+（ 2） 3=1+（2） 2=1+ = 故答案为： 14【答案】8 或18【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直
16、线的距离为半径，求得答案【解答】解：整理圆的方程为（x1） 2+y2=1故圆的圆心为（1，0），半径为 1直线与圆相切圆心到直线的距离为半径即 =1，求得 m=8 或18故答案为：8 或1815【答案】 【解析】解：由题意ABE 的面积是平行四边形 ABCD 的一半，由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为 P= ，故答案为： 【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题16【答案】 2 【解析】解：由 ，消去 t 得：2x y+5=0，由 =8cos+6sin，得 2=8cos+6sin，即 x2+y2=8x+6y，化为标准式得（x4） 2+（y3） 2
17、=25，即 C 是以（4，3）为圆心，5 为半径的圆又圆心到直线 l 的距离是 ，故曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点有 2 个，精选高中模拟试卷第 13 页，共 19 页故答案为：2【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题17【答案】 【解析】解： 0sintcostdt= 0sin2td（2t）= （cos2t ）| = （1+1）= 故答案为：18【答案】 充分不必要 【解析】解：复数 z=（a 2i）（1+i）=a+2+ （a2）i ，在复平面内对应的点 M 的坐标是（a+2，a 2），若点在第四象限则 a+
18、20，a 20，2 a2，“a=1”是“点 M 在第四象限”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题三、解答题19【答案】 【解析】解：（）f（x）的定义域为（ ，+ ），f （x）=1+a 2x3x 2，由 f（x）=0，得 x1= ，x 2= ，x 1x 2，由 f（x）0 得 x ，x ；由 f（x）0 得 x ；故 f（x）在（， ）和（ ，+）单调递减，在（ ， ）上单调递增；精选高中模拟试卷第 14 页，共 19 页（）a0，x 10，x 20，x，当 时，即 a4当 a4 时，x
19、 21，由（）知，f（x）在上单调递增， f （x）在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值当 0a4 时，x 21，由（）知，f（x）在单调递增，在上单调递减，因此 f（x）在 x=x2= 处取得最大值，又 f（0）=1，f（1）=a，当 0a1 时，f （x）在 x=1 处取得最小值；当 a=1 时，f （ x）在 x=0 和 x=1 处取得最小值；当 1a4 时，f （x）在 x=0 处取得最小值20【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，()f (1,)k(,1)k，无极大值；（2） 时 ， 时1()kfxe极 小 值 2()fxfe最 小 值 23k， 时， ；
20、（3） .f最 小 值 32fxe最 小 值 【解析】（2）当 ，即 时， 在 上递增， ；1k2k()fx1,2()(1)fxfke最 小 值当 ，即 时， 在 上递减， ；3 2最 小 值当 ，即 时， 在 上递减，在 上递增，()f,k,k 1()()kfxfe最 小 值（3） ， ，2xg23)xge精选高中模拟试卷第 15 页，共 19 页由 ，得 ，()0gx32k当 时， ；32k()0gx当 时， ，x 在 上递减，在 递增，()g,)k3(,)2k故 ，3(2xe最 小 值又 ， ，当 时， ，5,k0,1k0,1x 32()()kgxke最 小 值 对 恒成立等价于 ；()
21、gx,32()kge最 小 值又 对 恒成立32ke最 小 值 35,2 ，故 132min()k考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快
22、速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.21【答案】（1） 210473hxx（ 37x）（2） 134.x试精选高中模拟试卷第 16 页，共 19 页题解析：（1） 因为 fx与 3成反比， gx与 7的平方成正比，所以可设：1k，22k， 12.0k， ，则21273hxfgxx则 2 分因为销售价格为 5 元/套时，每日可售出套题 21 千套，销售价格为 2.5 元/ 套时，每日可售出套题 69 千套所以， 521,3.69h，即121496k，解得：1204k， 6
23、分所以，2047xx（ 37x） 8 分（2） 由（1）可知，套题每日的销售量210473hx， 答：当销售价格为 4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.16 分考点：利用导数求函数最值22【答案】 精选高中模拟试卷第 17 页，共 19 页【解析】（）证明：f（x）的导数 f（x）=x 2+a，即有 f（1）=a+ ，f（1）=1+a，则切线方程为 y（a+ ）= （1+a）（x 1），令 x=0，得 y= 为定值； （）解：由 xex+mf（x） am2x 对 x0 时恒成立，得 xex+mx2m2x0 对 x0 时恒成立，即 ex+mxm20 对 x0 时恒成立，则（e x+
24、mxm2） min0，记 g（x）=e x+mxm2，g（x）=e x+m，由 x0，e x1，若 m1，g （x） 0，g（x）在0，+）上为增函数， ，则有1m1，若 m1，则当 x（0，ln（m ）时，g（x）0，g（x）为减函数，则当 x（ln（m），+ ）时，g（x）0，g（x）为增函数， ，1ln（ m）+m0，令m=t ，则 t+lnt10（t1），（t）=t+lnt 1，显然是增函数，由 t1，（t） （1）=0，则 t1 即 m 1，不合题意综上，实数 m 的取值范围是 1m1【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考
25、查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想23【答案】 【解析】解：（1）四边形 AA1C1C 为平行四边形，AC=A 1C1，AC=AA 1， AA1=A1C1，AA 1C1=60，AA 1C1为等边三角形，同理ABC 1是等边三角形，D 为 AC1的中点，BDAC 1，精选高中模拟试卷第 18 页，共 19 页平面 ABC1平面 AA1C1C，平面 ABC1平面 AA1C1C=AC1，BD 平面 ABC1，BD平面 AA1C1C（2）以点 D 为坐标原点，DA、DC 、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，平面 ABC1的一个法向量为 ，设平面 ABC
26、的法向量为 ，由题意可得 ， ，则 ，所以平面 ABC 的一个法向量为 =（ ，1，1），cos= 即二面角 C1ABC 的余弦值等于 【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题24【答案】 【解析】解：（1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PDBC由BCD=90，得 CDBC，又 PDDC=D， PD、DC平面 PCD，所以 BC平面 PCD因为 PC平面 PCD，故 PCBC（2）（方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：易证 DEC
27、B，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F精选高中模拟试卷第 19 页，共 19 页易知 DF= ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 （方法二）等体积法：连接 AC设点 A 到平面 PBC 的距离为 h因为 ABDC ，BCD=90，所以ABC=90从而 AB=2，BC=1，得ABC 的面积 SABC =1由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 PABC 的体积 因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC又 PD=DC=1，所以 由 PC BC，BC=1，得PBC 的面积 由 VAPBC=VPABC， ，得 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力
