1、1函数及其表示一、知识梳理1映射的概念设 BA、 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任意元素，在集合 B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 到 B的映射，通常记为 Af: ， f 表示对应法则注意：A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1)函数的定义：设 A、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 中的 x，在集合 B中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A到 B的一个函数，通常记为_(2)函数的定义域、值域在函数 Axfy),(中， 叫做自变量， x 叫做 )(xfy的定义域；与
2、x的值相对应的 值叫做函数值， Af)(称为函数 的值域。(3)函数的三要素： 、 和 3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1下述两个个对应是 到 的映射吗？AB（1） ， ， ；AR|0y:|fxy（2） ， ， |x|R:fx例 2若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 4,31,cbaB,ABB
3、A个例 3设集合 ， ，如果从 到 的映射 满足条件：对 中,0M2,10,NMNfM的每个元素 与它在 中的象 的和都为奇数，则映射 的个数是（ ）x()fxf8 个 12 个 16 个 18 个()AB()C()D2考点 2：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(xf， 3)(xg；（2） f， ;01,（3） xf)(， xg2)(；（4） 2， tt（5） 1)(nxf， 12)()nx（ nN *） ；考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次
4、函数） ，则用待定系数法；（2）若已知复合函数 )(xgf的解析式，则可用换元法（3）配凑法（4）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 )(xf题型 1：用待定系数法求函数的解析式例 1.已知函数 是一次函数 ,且 ,求 表达式.fx49)(xffx例 2.已知 是一次函数且 （ ）f 2315,201,ffffx则A B C D32xxx23例 3.二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)解不等式 f (x)2x5.例 4.已知 g(x)x 23，f( x)是二次函数，当 x 1,2时，f(x) 的最小值为 1，且 f
5、 (x)g(x) 为奇函数，求函数 f(x)的表达式2、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成()fgx()fx()fgx3的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，()gx ()fx而是 的值域。 例 2 已知 ，求 的解析式21)(xxf)0()fx3、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一()fgx ()fx样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析
6、式)(2xgyxy与 )3,2()(xg5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f例 6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式)(xf)(xg,1)(xgxf )(xgf和46、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求1)0(f )12()(yxfyxf)(xf7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出
7、系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有)(xfN1)(f ba,，求abbfa)( )(xf考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）常规方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；例 1.函数 的定义域为（ ）2143fxxA B2， ， 2,
8、3，C D,， ， ，5例 2、函数 的定义域是（ ）xf0)1()A. B. C. D. |x|10|x且 10|x且题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域678练一练：例 1已知 )2(xfy的定义域是 ba， ，求函数 )(xfy的定义域例 2已知 的定义域是（-2，0） ，求 的定义域 121例 3、已知函数 的定义域为-2，3，则 的定义域是_f f考点 5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法(1)直接法：通过对自变量 x 和函数性质的观察，结合函数的解析式直接得出 y=f(x)的取值范围9（2）配方法：对于（可化为） “二次函数型”的函数常用配方法，例 1、 32xy例 2、 （
9、1） （2） （3） 85,x4,1x8,4x（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。例 3、 例 4、 132xy 12xy（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，10例 5、 例 6、 xxy21 13432)(xxf（4）分段函数分别求函数值域，例 7、 53xy例 8、函数 的值域是（ ）2(03)()6xfA B C D R9,8,19,1（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。例 9、 12xy例 10、设函数 的定义域为 ，值域为 ，那么 （ 1yxMN）()A0,0MNy()B0,xyR，C1,xx且 或 01Nyy或 或， ()D或 或 11（9）反函数法
